Função homogênea: diferenças entre revisões
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[[File:HomogeneousDiscontinuousFunction.gif|thumb|right|Uma função homogénea não é necessariamente contínua, como mostrado por este exemplo. Esta função '''f''' é definida por:<br> <math>f(x,y)=x</math> se <math>xy>0</math> ou <br><math>f(x,y)=0</math> se <math>xy \leq 0</math>.<br> Esta função é homogénea de grau 1, i.e. <math>f(\alpha x, \alpha y)= \alpha f(x,y)</math> para quaisquer números reais <math>\alpha,x,y</math>. É descontínua em <math>y=0</math>.]] |
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Uma [[função]] f(x) diz-se {{PBPE|'''homogênea'''|homogénea}} de grau <math>k</math> se: |
Uma [[função (matemática)|função]] f(x) diz-se {{PBPE|'''homogênea'''|homogénea}} de grau <math>k</math> se: |
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:<math>f \left ( t \mathbf{x} \right ) = t^{k} f\left ( \mathbf{x} \right )</math> <ref>INTRILIGATOR, Michael D. mathematical optimization and economic theory. Prentice Hall, 1971. Página 467.</ref> |
:<math>f \left ( t \mathbf{x} \right ) = t^{k} f\left ( \mathbf{x} \right )</math> <ref>INTRILIGATOR, Michael D. mathematical optimization and economic theory. Prentice Hall, 1971. Página 467.</ref> |
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Seja <math>f(x_1, x_2, x_3,...,x_n)</math> uma função homogénea de grau <math>n</math>, então verifica-se a seguinte igualdade:<br> |
Seja <math>f(x_1, x_2, x_3,...,x_n)</math> uma função homogénea de grau <math>n</math>, então verifica-se a seguinte igualdade:<br> |
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:<math>x_1 {\partial f\over\partial x_1}+x_2 {\partial f\over\partial x_2}+x_3 {\partial f\over\partial x_3}+...+x_n {\partial f\over\partial x_n}=n.f</math> |
:<math>x_1 {\partial f\over\partial x_1}+x_2 {\partial f\over\partial x_2}+x_3 {\partial f\over\partial x_3}+...+x_n {\partial f\over\partial x_n}=n.f</math> |
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===Exemplo=== |
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<math>f(x,y)=x^2+y^2</math> é homogénea de grau <math>n=2</math>. Então |
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:<math>x {\partial f\over\partial x}+y {\partial f\over\partial y}=x(2x)+y(2y)=2(x^2+y^2)=2.f(x,y)</math> |
:<math>x {\partial f\over\partial x}+y {\partial f\over\partial y}=x(2x)+y(2y)=2(x^2+y^2)=2.f(x,y)</math> |
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Revisão das 01h16min de 9 de julho de 2013
Uma função f(x) diz-se homogênea (português brasileiro) ou homogénea (português europeu) de grau se:
Ou seja, uma função homogênea é aquela que, se sofrer transformação em suas variáveis, resulta em uma outra função que é proporcional à função original.
O conceito de função homogênea é essencial no tratamento da Análise Dimensional. Além disso, é fundamental em física. De acordo com o teorema da homogeneidade, também conhecido como teorema de Vashy-Buckingam, em toda a expressão, equação ou fórmula física, as dimensões de todos os seus termos devem ser idênticas (equação homogênea).[2]
Exemplos
- é uma função homogênea de grau 2, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos:
- é uma função homogênea de grau 0, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos:
Homogeneidade em monômios
Em monômios, o grau de homogeneidade é deduzido diretamente. Isso é bastante útil para descobrir o grau de polinômio.
Seja a equação genérica de um monômio:
Se a for diferente de 0, esta equação terá grau n. Isso porque se multiplicarmos a variável x por uma constante t, , obteremos um novo monômio (que chamaremos de g):
Derivadas de funções homogêneas
Se é homogênea de grau , então, para qualquer n, a função de derivada parcial é homogênea de grau (h-1) [3][Nota 1]
Identidade de Euler
A identidade de Euler aplicada às funções homogéneas dita o seguinte.
Seja uma função homogénea de grau , então verifica-se a seguinte igualdade:
Exemplo
é homogénea de grau . Então
Notas e referências
Notas
- ↑ Note que a função constante, f(x) = c, é homogênea em grau zero, e a função nula, f(x) = 0, é homogênea em qualquer grau
Referências
- ↑ INTRILIGATOR, Michael D. mathematical optimization and economic theory. Prentice Hall, 1971. Página 467.
- ↑ LOPES, Hélio Bernardo. A importância da noção de função homogênea. Disponível em: <http://www.ensino.eu/em-artigo19.pdf>. Acesso em: 29 de março de 2011
- ↑ MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry R. Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995, página 928.