Parte inteira: diferenças entre revisões
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Revisão das 12h09min de 5 de abril de 2012
Em matemática, a função chão, denotada por , converte um número real no maior número inteiro menor ou igual a . Enquanto que a função tecto (português europeu) ou teto (português brasileiro), denotada por , converte um número real no menor número inteiro maior ou igual a .[1] As definições formais para essas função são
- ,
- .
O conceito de parte inteira ou valor inteiro de um número é definido de duas maneiras por diferentes autores[2]. Para Graham et al.[3], a parte inteira de é o mesmo que . Para Spanier e Oldham, a parte inteira de é igual a para positivo e igual a para negativo. A segunda definição será representada neste artigo como .
O mesmo acontece para parte fraccionária ou valor fraccionário (português europeu) (ou parte fracionária ou valor fracionário (português brasileiro)). Para Graham et al., a parte fracionária de é igual a . Para Spanier e Oldham, a parte fracionária de é igual a . A segunda definição será representada neste artigo como .
Tanto os nomes floor e ceiling (chão e teto em inglês) como as notações e foram introduzidos por Kenneth E. Iverson em 1962[1].
Propriedades da função chão
- Tem-se
- com igualdade à esquerda se e só se x for inteiro.
- a função chão é idempotente: .
- Para qualquer inteiro k e real x,
- O habitual arredondamento de x ao inteiro mais próximo expressa-se como chão(x + 0,5).
- A função chão não é contínua, mas semi-contínua. É linear por troços e a sua derivada é zero onde existe, ou seja, em todos os não inteiros.
- Se x for um real e n um inteiro, então n ≤ x se e só se n ≤ chão(x). A função chão é parte de uma correspondência de Galois; é o adjunto superior da função que aplica os inteiros nos reais.
- Para os reais não inteiros, a função chão tem uma representação de série de Fourier
- Se m e n são inteiros positivos coprimos, então
- O Teorema de Beatty mostra que qualquer número irracional positivo permite particionar os números naturais em duas sequências pela função chão.
- Para todo o inteiro k, o seu número de algarismos é dado por:
- É fácil ver que:
- e:
- Para qualquer inteiro k, verifica-se:
- .
Referências
Bibliografia
- Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics : A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley. ISBN 0-20155-802-5
- Iverson, Kenneth E. (1962), A Programming Language, John Wiley & Sons Inc. ISBN 0-47143-014-5
- Spanier, J.; Oldham, K. B. (1987) "The Integer-Value Int(x) and Fractional-Value frac(x) Functions." In An Atlas of Functions, Hemisphere, Cap. 9, p. 71–78. ISBN 0-89116-573-8
- Weisstein, Eric W. Integer Part MathWorld--A Wolfram Web Resource (em inglês). Página visitada em 6 de Fevereiro de 2011.
tendo assim a parte completa do numero inteiro dada pela fração denominada 0