Corrente de deslocamento

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Em eletromagnetismo, a corrente de deslocamento é uma quantidade que é definida em termos da taxa de variação do campo de deslocamento elétrico. A corrente de deslocamento possui as unidades de densidade de corrente elétrica, e tem um campo magnético associado, assim como as correntes reais. Contudo, ela não é uma corrente elétrica de cargas em movimento, mas um campo elétrico variável no tempo. Na matéria, há também uma contribuição do ligeiro movimento das cargas ligadas em átomos, a polarização dielétrica,.

A idéia foi concebida por Maxwell em seu artigo Acerca das Linhas Físicas de Força, de 1861, em conexão com o deslocamento de partículas elétricas em um meio dielétrico. Maxwell acrescentou a corrente de deslocamento ao termo corrente elétrica na Lei de Ampère. Em seu artigo Teoria Dinâmica do Campo Eletromagnético, de 1861, Maxwell usou esta versão modificada da Lei de Ampère para deduzir a equação da onda eletromagnética. Esta dedução é aceita atualmente geralmente como um marco histórico da física, em virtude da unificação da eletricidade, magnetismo e ótica numa só teoria. O termo corrente de deslocamento é agora visto como um complemento crucial que completou as equações de Maxwell, e é necessário para explicar muitos fenômenos, principalmente a existência das ondas eletromagnéticas.

Explanação

O campo deslocamento elétrico é definido como:

${\boldsymbol {D}}=\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {P}}\ .$

onde:

ε₀ é a permissividade do espaço livre

E é a intensidade do campo elétrico

P é a polarização do meio

Diferenciando esta equação em relação ao tempo, define-se a corrente de deslocamento que, portanto, se compõe de dois termos em um dielétrico:

${\boldsymbol {J}}_{\boldsymbol {D}}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {P}}}{\partial t}}\ .$

O primeiro termo do 2º membro está presente nos meios materiais e no espaço livre. Ele não implica necessariamente em qualquer movimento real das cargas, mas possui um campo magnético associado, tal como uma corrente devido a cargas em movimento. Alguns autores aplicam o termo corrente de deslocamento somente para essa contribuição.

O segundo termo do 2º membro está associado com a polarização das moléculas individuais do material dielétrico. A polarização ocorre quando as cargas das moléculas se movem um pouco sob a influência de um campo elétrico aplicado. As cargas positivas e negativas das moléculas se separam, causando um aumento do estado de polarização P. Um estado de polarização variável corresponde a um movimento de cargas e por isso é equivalente a uma corrente.

Esta polarização é a corrente de deslocamento, tal como foi originalmente definida por Maxwell. Maxwell não fez nenhum tratamento especial para o vácuo, tratando-o como um meio material. Para Maxwell, o efeito de P era simplesmente variar a permissividade relativa ε_r na relação D = ε_rε₀ E.

A justificativa atual para a corrente de deslocamento é explicada abaixo.

Dielétricos isotrópicos

No caso de um material dielétrico muito simples, a relação constitutiva é:

${\boldsymbol {D}}=\varepsilon {\boldsymbol {E}}\ ,$

onde na permissividade ε = ε₀ ε_r,

• ε_r é a permissividade relativa do dielétrico, e
• ε₀ é a constante dielétrica.

Nesta equação, o uso de ε explica a polarização do dielétrico.

O valor escalar da corrente de deslocamento também pode ser expresso em termos do fluxo elétrico:

$I_{\mathrm {D} }=\varepsilon {\frac {\partial \Phi _{E}}{\partial t}}.$

As formas em termos de ε estão corretas apenas para materiais isotrópicos lineares. Mais geralmente, ε pode ser substituído por um tensor e pode depender do campo elétrico em si, e pode apresentar dependência temporal (dispersão).

Para um dielétrico isotrópico linear, a polarização P é dada por:

${\boldsymbol {P}}=\varepsilon _{0}\chi _{e}{\boldsymbol {E}}=\varepsilon _{0}(\varepsilon _{r}-1){\boldsymbol {E}}$

onde χ_e é conhecida como a susceptibilidade elétrica do dielétrico. Note que:

$\varepsilon =\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}=(1+\chi _{e})\varepsilon _{0}.$

Necessidade da corrente de deslocamento

Algumas implicações que concordam com a observação experimental seguem da corrente de deslocamento, com os requerimento da consistência lógica para a teoria do eletromagnetismo.

Generalizando a lei circuital de Ampère

Corrente em capacitores

Um exemplo que ilustra a necessidade da corrente de deslocamento surge em capacitores sem nenhum meio entre as placas (espaço livre). Considere o capacitor da figura. O capacitor pertence a um circuito que transfere carga (por meio de um fio externo para o capacitor) da placa da esquerda para a placa da direita, carregando o capacitor e aumentando o campo elétrico entre suas placas. A mesma corrente que entra na placa da direita (digamos I) sai da placa da esquerda. Embora a corrente esteja fluindo através do capacitor, nenhuma carga de verdade é transportada no vácuo entre suas placas. No entanto, existe um campo magnético entre as placas, como se uma corrente estivesse presente. A explicação é que uma corrente de deslocamento I_D flui no vácuo, e esta corrente produz o campo magnético na região entre as placas, de acordo com a lei de Ampère:

Capacitor sendo carregado e uma superfície cilíndrica imaginária ao redor da placa esquerda. A superfície da direita R encontra-se no espaço entre as placas, e a superfície da esquerda L está à esquerda da placa esquerda. Nenhuma corrente de condução entra na superfície cilíndrica R, enquanto que uma corrente I sai da superfície L. A consistência da lei de Ampère exige que uma corrente de deslocamento I_D = I flua através da superfície R.

$\oint _{C}\mathbf {B} \ {\boldsymbol {\cdot }}\ \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I_{D}\ .$

onde

• $\oint _{C}$ é a integral de linha em torno de uma curva fechada C qualquer.
• $\mathbf {B}$ é o campo magnético em tesla.
• ${\boldsymbol {\cdot }}\$ é o produto interno.
• $\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$ é um elemento infinitesimal (diferencial) da curva C (isto é, um vetor com intensidade igual ao comprimento do elemento de linha infinitesimal e direção dada pela tangente à curva C).
• $\mu _{0}\!\$ é a constante magnética, também chamada de permeabilidade do espaço livre.
• $I_{D}\!\$ é a corrente de deslocamento líquida que liga a curva C.

O campo magnético entre as placas é o mesmo que fora das placas, assim a corrente de deslocamento deve ser a mesma que a corrente de condução nos fios. Ou seja,

$I_{D}=I\ ,$

que amplia a noção de corrente além de um mero transporte de cargas.

Mais, essa corrente de deslocamento está relacionada ao carregamento do capacitor. Considere a corrente na superfície cilíndrica imaginária mostrada em torno da placa esquerda. Uma corrente, digamos I, sai através da superfície esquerda L do cilindro, mas nenhuma corrente de condução (nenhum transporte de cargas reais) entra na superfície da direita R. Perceba que o campo elétrico E entre as placas aumenta à medida que o capacitor carrega. Isto é, da maneira descrita pela lei de Gauss, assumindo que não há dielétricos entre as placas:

$Q(t)=\varepsilon _{0}\oint _{\mathcal {S}}d\mathbf {\mathcal {S}} \ {\boldsymbol {\cdot }}\ {\boldsymbol {E}}(t)\ ,$

onde S refere-se à superfície cilíndrica imaginária. Supondo um capacitor de placas paralelas com campo elétrico uniforme, e desprezando os efeitos de franjas nas bordas das placas, a diferenciação fornece:

${\frac {dQ}{dt}}={\mathit {I}}=\varepsilon _{0}\oint _{\mathcal {S}}d\mathbf {\mathcal {S}} \ {\boldsymbol {\cdot }}\ {\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}\approx -{S}\ \varepsilon _{0}{\frac {\partial E}{\partial t}}\ ,$

onde o sinal é negativo porque a carga sai dessa essa placa (a taxa é decrescente), e S é a área da face de R. O campo elétrico na face de L é nulo porque o campo devido à carga sobre a placa da direita é compensado pela carga igual e oposta sobre a placa da esquerda. Com a hipótese de um campo elétrico distribuído uniformemente dentro do capacitor, a densidade de corrente de deslocamento J_D é determinada dividindo-se pela área da superfície:

$J_{D}={\frac {I_{D}}{S}}=-{\frac {I}{S}}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial E}{\partial t}}={\frac {\partial D}{\partial t}}\ ,$

onde I é a corrente que sai da superfície cilíndrica (que deve ser igual a -I_D, já que a soma das duas correntes é nula) e J_D é o fluxo de carga por unidade de área na superfície cilíndrica através da face R .

Combinando esses resultados, o campo magnético é encontrado usando a forma integral da lei de Ampère com uma escolha arbitrária do contorno, desde o termo densidade corrente de deslocamento seja acrescentado à densidade de corrente de condução (a equação de Ampère-Maxwell):

$\oint _{\partial S}{\boldsymbol {B}}\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}\int _{S}({\boldsymbol {J}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}})\cdot d{\boldsymbol {S}}\,$

Esta equação diz que a integral do campo magnético B em torno de um contorno ∂S é igual à corrente integrada J através de qualquer superfície que se apóia no contorno mais o termo corrente de deslocamento ε₀ ∂E / ∂t através da superfície. Aplicando a equação de Ampère-Maxwell para a superfície S₁, encontramos:

$B={\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}}\,$

No entanto, a aplicação desta lei para a superfície S₂, que é delimitada exaatamente pela mesma curva $\partial S$, mas entre as placas, fornece:

$B={\frac {\mu _{0}I_{D}}{2\pi r}}\,$

Qualquer superfície que atravessa o fio tem uma corrente I o atravessando, assim a lei de Ampère fornece o campo magnético correto. Além disso, qualquer superfície limitada pelo mesmo contorno, mas que passa entre as placas do capacitor, não tem nenhuma carga fluindo através dela, mas o termo ε₀ ∂E / ∂t fornece uma segunda fonte para o campo magnético além da corrente de condução. Por causa da corrente estar aumentando a carga sobre as placas do capacitor, o campo elétrico entre as placas está aumentando e a taxa de variação do campo elétrico fornece o valor correto para o campo B encontrado acima.

Formulação matemática

Sob uma perspectiva mais matemática, os mesmos resultados podem ser obtidos a partir das equações diferenciais subjacentes. Considere, por simplicidade, um meio não-magnético onde a permeabilidade magnética relativa é 1, e as complicações da corrente de magnetização estão ausentes. A corrente que sai de um volume deve ser igual à taxa de diminuição da carga dentro do volume. Em forma diferencial, a equação da continuidade torna-se:

$\nabla {\boldsymbol {\cdot J_{f}}}=-{\frac {\partial \rho _{f}}{\partial t}}\ ,$

onde o lado esquerdo é a divergência da densidade de corrente livre e o lado direito é a taxa de decréscimo da densidade de carga livre. No entanto, a lei de Ampère na sua forma original afirma que:

${\boldsymbol {\nabla \times B}}=\mu _{0}{\boldsymbol {J}}_{f}\ ,$

o que implica que a divergência da corrente se anula, contradizendo a equação de continuidade. (O anulamento da divergência é uma conseqüência da identidade matemática que afirma que a divergência do rotacional é sempre nula). Essa contradição é removida com a adição da corrente de deslocamento, já que:

${\boldsymbol {\nabla \times B}}=\mu _{0}\left({\boldsymbol {J}}+\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}\right)=\mu _{0}\left({\boldsymbol {J}}_{f}+{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}\right)\ ,$

e

${\boldsymbol {\nabla \cdot }}\left({\boldsymbol {\nabla \times B}}\right)=0=\mu _{0}\left(\nabla \cdot {\boldsymbol {J}}_{f}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {\nabla \cdot D}}\right)\ ,$

que está de acordo com a equação da continuidade por causa da lei de Gauss:

${\boldsymbol {\nabla \cdot D}}=\rho _{f}\ .$

Propagação de ondas

A corrente de deslocamento também leva à propagação de ondas tomando-se o rotacional da equação do campo magnético. Na situação particular em que não há polarização (P=0), que ocorre no espaço livre, por exemplo, a corrente de deslocamento é:

${\boldsymbol {J_{D}}}=\epsilon _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}$

Substituindo esta forma de J na lei de Ampère, e assumindo que não há densidade de corrente ligada ou livre contribuindo para J:

${\boldsymbol {\nabla \times B}}=\mu _{0}{\boldsymbol {J_{D}}}\ ,$

com o resultado:

${\boldsymbol {\nabla \times }}\left({\boldsymbol {\nabla \times B}}\right)=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {\nabla \times E}}\ .$

Porém,

${\boldsymbol {\nabla \times E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {B}}\ ,$

o que leva à equação da onda:

$-{\boldsymbol {\nabla \times }}\left({\boldsymbol {\nabla \times B}}\right)=\nabla ^{2}{\boldsymbol {B}}=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\boldsymbol {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\boldsymbol {B}}\ ,$

onde o uso é feito da identidade vetorial que vale para qualquer campo vetorial V(r, t):

${\boldsymbol {\nabla \times }}\left({\boldsymbol {\nabla \times V}}\right)={\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {\nabla \cdot V}}\right)-\nabla ^{2}{\boldsymbol {V}}\ ,$

eo fato de que a divergência do campo magnético é nula. Uma equação de onda idêntica pode ser encontrada para o campo elétrico, tomando-se o rotacional:

${\boldsymbol {\nabla \times }}\left({\boldsymbol {\nabla \times E}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {\nabla \times }}{\boldsymbol {B}}=-\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\boldsymbol {J}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {E}}\right)\ .$

Se J, P e ρ são nulos (como no espaço livre), o resultado é:

$\nabla ^{2}{\boldsymbol {E}}=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\boldsymbol {E}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\boldsymbol {E}}\ .$

O campo elétrico pode ser expresso na forma geral:

${\boldsymbol {E}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}\ ,$

onde φ é o potencial elétrico (que pode ser escolhido para satisfazer a equação de Poisson) e A é o potencial vetor. O componente ∇φ no lado direito é o componente da lei de Gauss, e este é o componente que é relevante para a conservação da carga argumentada acima. O segundo termo no lado direito é o que é relevante para a equação da onda eletromagnética, porque é o termo que contribui para o rotacional de E. Por causa da identidade vetorial que diz que o rotacional do gradiente é zero, ∇φ não contribui para ∇×E.

História e interpretação

(em inglês)

Maxwell's displacement current was postulated in part III of his 1861 paper 'On Physical Lines of Force'. Few topics in modern physics have caused as much confusion and misunderstanding as that of displacement current. This is in part due to the fact that Maxwell used a sea of molecular vortices in his derivation, while modern textbooks operate on the basis that displacement current can exist in free space. Maxwell's derivation is unrelated to the modern day derivation for displacement current in the vacuum, which is based on consistency between Ampère's law for the magnetic field and the continuity equation for electric charge.

Maxwell's purpose is stated by him at (Part I, p. 161):

I propose now to examine magnetic phenomena from a mechanical point of view, and to determine what tensions in, or motions of, a medium are capable of producing the mechanical phenomena observed.

He is careful to point out the treatment is one of analogy:

The author of this method of representation does not attempt to explain the origin of the observed forces by the effects due to these strains in the elastic solid, but makes use of the mathematical analogies of the two problems to assist the imagination in the study of both.

In part III, in relation to displacement current, he says

I conceived the rotating matter to be the substance of certain cells, divided from each other by cell-walls composed of particles which are very small compared with the cells, and that it is by the motions of these particles, and their tangential action on the substance in the cells, that the rotation is communicated from one cell to another.

Clearly Maxwell was driving at magnetization even though the same introduction clearly talks about dielectric polarization.

Maxwell concluded, using Newton's equation for the speed of sound (Lines of Force, Part III, equation (132)), that “light consists of transverse undulations in the same medium that is the cause of electric and magnetic phenomena.”

But although the above quotations point towards a magnetic explanation for displacement current, for example, based upon the divergence of the above curl equation, Maxwell's explanation ultimately stressed linear polarization of dielectrics:

This displacement...is the commencement of a current...The amount of displacement depends on the nature of the body, and on the electromotive force so that if h is the displacement, R the electromotive force, and E a coefficient depending on the nature of the dielectric:

$R=-4\pi \mathrm {E} ^{2}h\ ;$

and if r is the value of the electric current due to displacement

$r={\frac {dh}{dt}}\ ,$

These relations are independent of any theory about the mechanism of dielectrics; but when we find electromotive force producing electric displacement in a dielectric, and when we find the dielectric recovering from its state of electric displacement...we cannot help regarding the phenomena as those of an elastic body, yielding to a pressure and recovering its form when the pressure is removed.—Part III – The theory of molecular vortices applied to statical electricity , pp. 14–15

With some change of symbols (and units): r → J, R → −E and the material constant E⁻² → 4π ε_rε₀ these equations take the familiar form:

$J={\frac {d}{dt}}{\frac {1}{4\pi \mathrm {E} ^{2}}}{\mathit {E}}={\frac {d}{dt}}\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}{\mathit {E}}={\frac {d}{dt}}{\mathit {D}}\ .$

When it came to deriving the electromagnetic wave equation from displacement current in his 1865 paper A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, he got around the problem of the non-zero divergence associated with Gauss's law and dielectric displacement by eliminating the Gauss term and deriving the wave equation exclusively for the solenoidal magnetic field vector.

Maxwell's emphasis on polarization diverted attention towards the electric capacitor circuit, and led to the common belief that Maxwell conceived of displacement current so as to maintain conservation of charge in an electric capacitor circuit. There are a variety of debatable notions about Maxwell's thinking, ranging from his supposed desire to perfect the symmetry of the field equations to the desire to achieve compatibility with the continuity equation. See Nahin, Stepin, and other historical references in the reference list.

So it was that displacement current became associated with capacitors. Once Maxwell's sea of molecular vortices had been abandoned in the 20th century (along with the aether), an interpretation of displacement current evolved that treated free space explicitly, allowing a separation of free space from material media, unlike Maxwell's original concept. The modern displacement current can be derived in connection with ideal capacitors in free space by relating the magnetic field to current using the equation I = C ∂V/∂t, where the charging current is I = ∂Q/∂t, Q is electric charge, C is capacitance, and V is voltage.

We can therefore identify three different kinds of displacement current.

1. The displacement current that is associated with polarization of a dielectric.
2. The displacement current that is associated with magnetization and wireless telegraphy (that is, with electromagnetic waves). In this case the electric field term E will have a zero divergence and will be compatible with the time varying electric field term in Faraday's law of induction.
3. The virtual displacement current that is associated with maintaining a magnetic field in a charging or discharging ideal capacitor in free space despite the solenoidal nature of Ampère's Circuital Law.

(1) and (3), are connected with cable telegraphy and involve a non-zero divergence for E. In 1857, Kirchhoff derived the cable telegraphy equation using the interrelationships between Poisson's equation and the equation of continuity which would connect to (1) and (3) above through capacitor theory. Kirchhoff never used the concept of displacement current. Instead, he manipulated the non-zero divergent E of Gauss's law with the zero-divergent, time-varying E of Faraday's law as if they were one and the same thing.

Referências

• Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Displacement current», especificamente desta versão.

Artigos de Maxwell

• On Faraday's Lines of Force Maxwell's paper of 1855
• [1] Maxwell's paper of 1861
• A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field Maxwell's paper of 1864

Leitura adicional

• AM Bork Maxwell, Displacement Current, and Symmetry (1963)
• AM Bork Maxwell and the Electromagnetic Wave Equation (1967)

Ver também

• Equação da onda eletromagnética
• Lei de Ampère
• Capacitância

pt:Corrente de deslocamento