Força de Lorentz

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A Força de Lorentz é a superposição da força elétrica, proveniente de um campo elétrico \mathbf{E}, com a força magnética, devida a um campo magnético \mathbf{B}, que atuam sobre uma partícula carregada elétricamente se movendo no espaço. Tal força é dada pela formula:

 \mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})

Evidentemente, para que a superposição ocorra, é necessário que a partícula possua uma carga elétrica líquida não nula ( q\ne0 ) e esteja em movimento em uma região do espaço que possua o campo magnético. Analisando apenas as forças de caráter elétrico, se  \mathbf{v}=0 , a partícula estará somente sob influência da força elétrica ( \mathbf{F=F}_e = q\mathbf{E} ).

A contribuição a \mathbf{F} devido à força elétrica  \mathbf{F}_e é paralela ao campo elétrico \mathbf{E}, resultando em aceleração da partícula carregada na mesma direção e sentido do campo (uma partícula carregada negativamente, sofrerá aceleração no sentido contrário ao campo). A contribuição referente à força magnética ( \mathbf{F}_m = q \mathbf{v} \times \mathbf{B} ) é sempre perpendicular ao campo  \mathbf{B} e à velocidade  \mathbf{v} simultaneamente, conforme dita a regra do produto vetorial.

Vale a pena notar que a força magnética não realiza trabalho, uma vez que é perpendicular ao deslocamento (ou seja, não existe componente de  \mathbf{F}_m na direção de  \mathbf{v}. A força magnética altera a direção da velocidade sem alterar o seu módulo. Porém, como a força de Lorentz possui uma componente devida ao campo elétrico, essa sim pode realizar trabalho.

Algumas referências 1 definem a força de Lorentz apenas como a componente de origem magnética, dando à força eletromagnética total algum outro nome. Neste artigo, o termo força de Lorentz faz jus à força elétrica mais a força magnética. A componente magnética da força de Lorentz se manifesta também como a força que atua em um fio conduzindo uma corrente elétrica imerso em uma região com campo magnético, também conhecido como força de Laplace.

As aplicações da força de Lorentz são muitas, como por exemplo em:

História[editar | editar código-fonte]

Joseph Priestley, amigo de Benjamin Franklin, foi o primeiro a publicar, em 1767, a lei que ditava a força entre duas cargas elétricas a determinada distância, após o pedido de seu amigo para confirmar o resultado de uma experiência que havia realizado 2 . A lei de força entre polos magnéticos (força essa já citada por Isaac Newton em seu Principia), foi descoberta por John Michell, inventor da balança de torção, que publicou seus resultados em 1750. Em suas palavras:

"A atração e repulsão entre "imãs" diminui, enquanto o quadrado da distância entre os respectivos polos aumenta."

Depois de Michell, o resultado foi confirmado por Tobias Meyer em 1760 e pelo famoso matemático Johann Heinrich Lambert em 1766. A lei de Coulomb foi publicada por Charles Augustin de Coulomb apenas em 1785. Em todas essas definições, a força é sempre descrita em termos das propriedades e distâncias dos objetos envolvidos ao invés dos termos campo magnético ou campo elétrico.

Apesar da força de Lorentz levar o nome do físico holandês, sua expressão foi encontrada por diversos personagens da física em diferentes anos.

O primeiro relato em que se encontra a fórmula do que hoje chamamos de força de Lorentz data de 1864, quando o físico escocês James Clerk Maxwell apresentou um importante trabalho à Royal Society intitulado A Dynamical Theory of the Eletromagnetic Field 3 . A demonstração pode ser encontrada na página 28 da referencia4 .

Comumente a força de Lorentz é atribuída a Joseph John Thomson e Oliver Heaviside. Em abril de 1881, Thomsom publicou um artigo 5 onde apresentava a expressão para a força exercida sobre uma partícula eletrizada em movimento numa região de campo magnético. Neste artigo, Thomson partiu da idéia, baseada na teoria de Maxwell, que a variação temporal do vetor deslocamento elétrico D em um dielétrico produz efeitos análogos aos de uma corrente de condução. Thomson encontrou um resultado que é metade do valor hoje aceito:

\mathbf{F} = \frac{q}{2}\mathbf{v} \times \mathbf{B}.

Em novembro de 1881, FitzGerald publica um artigo apontando uma má interpretação em relação à corrente de deslocamento na publicação de Thomson. Então, Heaviside publica um artigo 6 em abril de 1889 onde apresenta a expressão hoje usada para descrever a força magnética. Assim, Hendrik Antoon Lorentz pôde finalmente, em 1892, escrever a equação da força que inclui a contribuição simultânea do campo elétrico e magnético, publicando um artigo no volume 25 dos Archives Néerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles, propondo seis hipóteses, a partir de uma perspectiva mecânica, das equações de Maxwell e da "Força Ponderomotiva" (hoje denominada a força de Lorentz). A dedução feita por Lorentz pode ser encontrada na página 35 da referência 4 .

Joseph Larmor e Karl Schwarzschild também obtiveram a formula obtida anteriormente, porém, através do Princípio da mínima ação, em 1898 e 1903, respectivamente. O caminho até a formulação se encontra na página 41 da mesma referencia 4 .

Força de Lorentz em termos de campos potenciais[editar | editar código-fonte]

O campo elétrico  \mathbf{E} e magnético  \mathbf{B} podem ser escritos em termos do potencial eletrostático \phi e do vetor potencial magnético  \mathbf{A} , respectivamente.

 \mathbf{E} = - \nabla \phi - \frac { \partial \mathbf{A} } { \partial t }
\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}

Assim, a equação para força de Lorentz se torna:

\mathbf{F} = q\left[-\nabla \phi- \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+\mathbf{v}\times(\nabla\times\mathbf{A})\right]

Aplicando a identidade de produto vetorial triplo, a equação se simplifica para

\mathbf{F} = q\left[-\nabla \phi- \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+ \nabla(\mathbf{v}\cdot\mathbf{A})-(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{A} \right]

Força de Lorentz através do Lagrangiano[editar | editar código-fonte]

A lagrangiana L de uma partícula com carga q e massa m, em uma região com um campo eletromagnético, fornece sua dinâmica em termos de sua energia

L=\frac{m}{2}\mathbf{\dot{r}}\cdot\mathbf{\dot{r}}+q\mathbf{A}\cdot\mathbf{\dot{r}}-q\phi7

sendo possível chegar à equação da força de Lorentz utilizando as equações de Euler-Lagrange.

Trajetórias[editar | editar código-fonte]

Esquema da trajetório de uma partícula carregada movendo-se numa região de campo magnético.

Existe um grande interesse prático no estudo da força de Lorentz e em como essa define a trajetória de uma partícula carregada. No caso de uma partícula movendo-se em um plano perpendicular ao campo magnético, esta realizará um movimento circular uniforme. Igualando a força centrípeta, envolvida no movimento circular, com a força magnética, temos que:

\mathbf{F}_c= \frac{mv^2}{R}\hat{\mathbf{r}} = \mathbf{F}_m = q\mathbf{v}\times\mathbf{B} = qvB\hat{\mathbf{r}}

de modo que o raio descrito pela partícula será:

 R=\frac{mv}{qB}

Caso a partícula apresente uma componente de sua velocidade paralela à direção do campo magnético  \mathbf{B} , esta realizará um movimento de translação junto com o movimento circular, combinados em um movimento helicoidal (ver figura ao lado).

Num tubo de raios catódicos, dispositivo presente em muitos monitores e televisores, a posição com que um feixe de elétrons atinge uma tela revestida de fósforo, é controlada, via força de Lorentz, pelo campo magnético existente na região entre placas cujos terminais se faz passar uma corrente elétrica.

Confinamento Magnético[editar | editar código-fonte]

Com uma configuração adequada das linhas do campo magnético, é possível o confinamento de partículas carregadas. Tal confinamento magnético é uma dos modos utilizados em reatores nucleares de fusão como o Tokamak para o aprisionamento do plasma a altíssimas temperaturas e pressões necessárias para a realização de uma reação de fusão nuclear. 8 A configuração de linhas de campo magnético utilizada é parecida com a existente no caso de um fio enrolado na forma de um solenóide, onde o campo magnético é paralelo ao eixo desse. No caso do Tokamak, tem-se algo parecido com uma bobina fechada, disposta na forma de um toróide, de forma que plasma interior execute uma trajetória espiralada ao redor das linhas de campo.

O confinamento magnético também é usado para a criação de armadilhas para antimatéria. Para evitar sua aniquilação por contato com a matéria, uma combinação de campos elétricos e magnéticos em vácuo é utilizada para aprisionar antimatéria.

O campo magnético terrestre possui linhas que saem do pólo sul magnético e entram pelo pólo norte magnético e é capaz de aprisionar partículas carregadas formando o Cinturão de Van Allen. As partículas no cinturão são provenientes, em sua maioria, dos ventos solares e dos raios cósmicos 9 , e se dispõem em duas regiões:

  • o cinturão mais interno é composto por elétrons e prótons com altas energias, provenientes do decaimento de nêutrons produzidos pelos raios cósmicos que colidem com os átomos da atmosfera terrestre. Tais nêutrons, após a colisão, são ejetados para fora e se desintegram ao passar pela região cinturão. Os prótons e elétrons ficam confinados na região do cinturão, devido ao intenso campo magnético existente, e se movem em trajetórias espirais ao longo de linhas de força gerada pelo campo.
  • a região mais externa do cinturão possui elétrons mais energéticos, do que na camada mais interna, e íons, tais como partículas alfa e O+, de forma similar à ionosfera, porém muito mais energético.

O canhão elétrico: "RailGun"[editar | editar código-fonte]

Frame retirado de um vídeo feito por uma camera de alta velocidade de um projétil viajando a 2520 m/s

Também existem pesquisas sendo feitas para o desenvolvimento de armamentos militares que utilizam a força de Lorentz para impulsionar seus projeteis. O Railgun é formado de dois trilhos, por onde desliza uma haste que segura um projétil, formando assim um circuito fechado (junto com um gerador). Tanto os trilhos, como a haste, são condutores. Uma corrente elétrica entra por um dos trilhos, passa pela haste, regressando pelo trilho paralelo. Quando a corrente passa pelo trilho, esta gera um campo magnético em torno do próprio trilho (da mesma forma que uma corrente passando por um fio forma um campo magnético circular). Como a corrente que passa no trilho paralelo segue na direção oposta, o campo gerado entre os trilhos não é anulado. A corrente, ao passar pela haste, transversal ao trilho, gera uma força que impulsiona a própria haste (junto com o projétil).

Em aplicações militares, a corrente elétrica utilizada é da ordem de 5 MA durante alguns milissegundos, gerando campos da ordem de 10 T (o campo magnético da Terra não ultrapassa 1 microtesla). Em dezembro de 2010, o "US Office of Naval Research - ONR" (Escritório de pesquisas navais dos Estados Unidos) realizou um tiro utilizando 32 MJ. O projetil de 10,4 kg atingiu a velocidade de 9000 km/h (mach 7).10

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. David J. Griffiths, Eletrodinâmica, 3ª edição.
  2. Whittaker, Sir Edmund. A History of the Theories of the Aether and Electricity, Vol. 1: The Classical Theories. London: Thomas Nelson and Sons Ltd., 1951 (revised and enlarged edition of the publication of 1910, pp. 53.
  3. The Scientific pappers of James Clerk Maxwell, New York: Dover, 2003, pp. 526-597.
  4. a b c Download da Tese de José Edmar - USP, "Sobre a Força de Lorentz, Os Conceitos de Campo e a "Essência" do Eletromagnetismo Clássico.
  5. Thomson, Sir J. J.. "On the Electric and Magnetic Effects Produced by the Motion of Electrified Bodies", Philosophical Magazine and Journal and Science 11: 229-49 1881.
  6. Heaviside, O.. "On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification in a Dielectric". Philosofical Magazine and Journal of Science 27: 324-39, 1889.
  7. Mechanics (2a edição), Keith R. Symon, University of Wisconsin, Addison-Wesley
  8. Como funcionam os reatores de fusão nuclear - Como tudo funciona (How Stuff Works).
  9. Cinturão de Van Allen - HowStuffWorks - Discovery Communications.
  10. Railgun (Canhão Elétrico) - Wikipédia, a enciclopédia livre.
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