Quadrado perfeito

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Quadrado perfeito em matemática, sobretudo na aritmética e na teoria dos números, é um número inteiro não negativo que pode ser expresso como o quadrado de um outro número inteiro. Ex: 1, 4, 9...

Exemplos[editar | editar código-fonte]

0 = 0² 36 = 6² 144 = 12²
1 = 1² 49 = 7² 169 = 13²
4 = 2² 64 = 8² 196 = 14²
9 = 3² 81 = 9² 225 = 15²
16 = 4² 100 = 10² 256 = 16²
25 = 5² 121 = 11² 289 = 17²

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Olhando para os exemplos podemos induzir algumas previsões, que requerem prova rigorosa.

"Todo quadrado perfeito par, tem raiz par"
4, 16, 36, etc. são pares e possuem raiz par (2, 4, 6, ...).
PROVA: Suponhamos Q um "quadrado perfeito" (existe X inteiro tal que X2=Q) que seja número par, ou seja, existe um inteiro k tal que Q=2k. Assim temos X2=2k; logo a raiz de Q (ou seja X) é dada por X=\sqrt{2k}. Como trata-se de uma relação de inteiros, 2k precisa ser também um quadrado perfeito, logo 2k é um inteiro, e para que seja um quadrado perefeito requer k=2y^2, ou seja, X=\sqrt{4y^2}=2y, portanto um número par.
"Todo quadrado perfeito impar, tem raiz impar"
1, 9, 25, etc. são impares e possuem raiz impar (1, 3, 5, ...).
PROVA: como já provamos para o caso par, pode-se recorrer à prova por absurdo. Se sua raiz quadrada fosse par, o próprio número, contrariamente à hipótese, seria par.

As propriedades a seguir foram notadas antes do advento da calculadora eletrônica, e ajudavam a conhecer de antemão que certos numeros não são quadrados perfeitos. [1]

"Todo numero terminado em algarismos 2, 3, 7 ou 8, não é quadrado perfeito"
basta avaliar os exemplos acima e outros mais.
PROVA: o algarismo em que termina um quadrado representa as unidades de um produto de dois numeros iguais, isto é, o produto da raiz quadrada multipicada por si mesma. Ora o produto de dois numeros iguais acaba sempre em 1, 4, 5, 6, 9 ou 0. Portanto os numeros terminados em 2, 3, 7 ou 8 não são quadrados perfeitos, porque não podem ser o producto de dois numeros iguais.
"Todo numero par que não fôr divisivel por 4, não é quadrado perfeito"
2, 6, 10, 14, ... não fazem parte da lista de quadrados perfeitos.
PROVA: Todo o numero par é divisivel por 2, e se um número par for multiplicado por si mesmo, será divisivel por 2, e por 2x2=4.

Relação de recorrência[editar | editar código-fonte]

Se denotarmos por Q_n o enésimo quadrado perfeito, temos, portanto Q_n = n^2,   n=1, 2, 3, . . .. Pode-se, por completeza, definir Q_0 = 0. Observe que Q_{n+1}-Q_n = (n+1)^2-n^2 = 2n+1 o que permite estabelecer a relação de recorrência Q_{n+1} = Q_n+2n+1.


Números quadrados[editar | editar código-fonte]

Q_1  = 1  = 1^2
Q_2  = Q_1 + 3 = 1 + 3  = 2^2
Q_3  = Q_2 + 5 = 1 + 3 + 5  = 3^2
Q_4  = Q_3 + 7 = 1 + 3 + 5 + 7  = 4^2
Q_5  = Q_4 + 9 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9  = 5^2  .
Q_n  = Q_{n-1} + (2n - 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)  = n^2

Dito de outra forma: a soma dos primeiros n números ímpares é igual a  n^2, o que também já não era novidade na antiga Grécia: Q_n = 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1).


Relação com números triangulares[editar | editar código-fonte]

Tomemos a sequência dos n primeiros números ímpares 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2n-1) e retiremos uma unidade de cada um, 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + ... + (2n-2), reservando os n elementos retirados. Como todos os termos da sequência obtida são números pares, 2 ( 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1)), temos representado dois triângulos de ordem (n-1).

Combinando os dois triângulos T_{n-1} com os n elementos guardados obtemos, por fim, o quadrado Q_n:  2 . T_{n-1} + n = [(n-1)  .  n] + n = n^2 - n + n = n^2.

 \Rightarrow  1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15

 \Rightarrow  211 . T_7 + 8 = 64


  • Teorema (Plutarco, sec I)  \Rightarrow Se T fôr um número triangular, então 8 . T + 1 é um número quadrado.
A demonstração consiste apenas em combinar 8 triângulos iguais, de forma conveniente:
8 . T_n = 4 (2  .  T_n) = 4 [n  .   (n+1)]. Mas 4 [n (n+1)] = 4 . n^2 + 4  .  n, que representa 4 quadrados mais 4 colunas.
Combinando 4 quadrados com 4 colunas e mais uma unidade, temos 4 . n^2 + 4  .  n + 1 = (2  .  n + 1)  .  2, isto é,  8 .154 T_n + 1 = Q_{2n + 1}.

\Rightarrow   8  .  T_n + 1 = Q_{2n + 1} = T{n-1} + 6  .  T_n + T_{n+1} !!!

Quadrados de números racionais[editar | editar código-fonte]

Uma pergunta que pode ser formulada é a seguinte: seja N um número inteiro que não é o quadrado perfeito de outro número inteiro. Será que existe um número racional \frac {p} {q} tal que \left(\frac {p} {q}\right)^2 = N?

Para N = 2, a resposta é negativa, ou seja, a raiz quadrada de 2 é um número irracional. Supõe-se que descoberta da irracionalidade de \sqrt 2 foi feita por um matemático grego discípulo de Pitágoras.

Uma prova genérica pode ser feita para os demais números, usando, por exemplo, o critério de Eisenstein de irreducibilidade de polinômios.

Como achar um[editar | editar código-fonte]

Use como exemplo o quadrado perfeito mais perto do que o que você quer e o anterior deste. Por exemplo, para localizar um que esteja entre 120 e 150, temos que 100 é um quadrado perfeito, e o que vem antes dele é o 81. Então, veja a diferença entre 100 e 81: 100 - 81 = 19, e a some com 2 e também com o número do exemplo. Ou seja: 19+2+100 = 121. 121 é o quadrado de 11.

Para encontrar o número anterior, faz-se a operação inversa, e caso não se saiba o mais proximo a operação pode ser repetida até encontrá-lo.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • GUNDLACH, Bernard H. (1992). Números e numerais: Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula. Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo. Editora Atual. ISBN 8570564589.

Ver também[editar | editar código-fonte]