Função suave

Na análise matemática e topologia diferencial, as classes de diferenciabilidade são famílias de funções com certas propriedades quanto à sua continuidade e de suas derivadas.

A classe das funções suaves corresponde àquelas funções que possuem derivadas de todas as ordens.

Definição para funções reais de uma variável

Seja $f:D\to \mathbb {R} \,$ um função com domínio $D\subseteq \mathbb {R} \,$, então:

• $f\,$ é dita ser de classe $C^{0}(D,\mathbb {R} )\,$ se for uma função contínua.
• $f\,$ é dita ser de classe $C^{n}(D,\mathbb {R} )\,$ se sua enésima derivada for uma função contínua.
• $f\,$ é dita ser suave ou de classe $C^{\infty }(D,\mathbb {R} )\,$ for de classe $C^{n}(D,\mathbb {R} )\,$ para todo $n\,$
• $f\,$ é dita ser analítica ou de classe $C^{\omega }(D,\mathbb {R} )\,$ se puder ser escrita como uma série de Taylor em uma vizinhança de cada ponto de seu domínio. Toda função analítica é suave.

Definições para funções de várias variáveis

Seja $f:D\to \mathbb {R} ^{m}\,$ um função com domínio $D\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$

• $f\,$ é dita ser de classe $C^{0}(D,\mathbb {R} ^{n})\,$ se for uma função contínua.
• $f\,$ é dita ser de classe $C^{n}(D,\mathbb {R} ^{n})\,$ se todas as suas derivadas parciais de ordem até $n\,$ forem funções contínuas.
• $f\,$ é dita ser suave ou de classe $C^{\infty }(D,\mathbb {R} ^{n})\,$ for de classe $C^{n}(D,\mathbb {R} ^{n})\,$ para todo $n\,$

Exemplos

A função f(x)=x para x≥0 e 0 caso contrário.

A função f(x)=x² sin(1/x) para x>0.

Um função suave não analítica.

A função

$f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{se }}x\geq 0,\\0&{\mbox{se }}x<0\end{cases}}$

é contínua, mas não é diferenciável, é portanto de classe $C^{0}\,$ mas não de classe $C^{1}\,$.

A função

$f(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {1/x}&{\mbox{se }}x\neq 0,\\0&{\mbox{se }}x=0\end{cases}}$

é diferenciável, com derivada

$f'(x)={\begin{cases}2x\sin {1/x}-\cos {1/x}&{\mbox{se }}x\neq 0,\\0&{\mbox{se }}x=0.\end{cases}}$

Como $\cos(1/x)\,$ oscila quando $x$ se aproxima de zero, $f(x)\,$ não é contínua na origem. Portanto, esta função é diferenciável mas não é de classe C¹.

A função

$f(x)={\begin{cases}e^{-1/(1-x^{2})}&{\mbox{ if }}|x|<1,\\0&{\mbox{ caso contrario }}\end{cases}}$

é suave, e portanto de classe $C^{\infty }\,$, mas não é analítica, portanto não é de classe $C^{\omega }\,$. Ver artigo Exp(-1/x).

A função exponencial é analítica e, portanto, de classe $C^{\omega }$.

Ver também

• Difeomorfismo