Transformação fracionária linear

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Em matemática, uma transformação fracionária linear é, a grosso modo, uma transformação da forma

que tem um inverso.[1] As transformações fracionais lineares são amplamente utilizadas em várias áreas da matemática e suas aplicações na engenharia, como geometria clássica, teoria dos números[2] (elas são usadas, por exemplo, na prova de Wiles do último teorema de Fermat)[3], teoria dos grupos[4] e teoria de controle.[5][6]

A definição precisa depende da natureza de a, b, c, d, e z.Em outras palavras, uma transformação fracionária linear é uma transformação representada por uma fração cujo numerador e denominador são lineares.[7]

Na configuração mais básica, a, b, c, d, e z são números complexos (nesse caso, a transformação também é chamada de transformação de Möbius)[8], ou mais geralmente elementos de um campo. A condição de inversibilidade é então ad – bc ≠ 0.Sobre um campo, uma transformação fracionária linear é a restrição ao campo de uma transformação projetiva ou homografia da linha projetiva.

Quando a, b, c, d são inteiros (ou, geralmente, pertencem a um domínio integral), z deve ser um número racional (ou pertencer ao corpo de frações do domínio integral. Nesse caso, a condição de inversibilidade é que ad – bc deve ser uma unidade do domínio (que é 1 ou -1 no caso de números inteiros).[9]

Na configuração mais geral, a, b, c, d e z são matrizes quadradas ou, mais geralmente, elementos de um anel. Um exemplo dessa transformação fracionária linear é a transformada de Cayley, que foi originalmente definida no anel matricial real 3 x 3.

Referências

  1. ↑ «Fractional linear transformations» (PDF) 
  2. ↑ Atiyah, M (24 de setembro de 2010). «Edinburgh Lectures on Geometry, Analysis and Physics» (PDF). arXiv:1009.4827v1 [math.AG] 
  3. ↑ «Number Theory, Analysis and Geometry» (PDF). Springer New York Dordrecht Heidelberg London. 2012. ISBN 978-1-4614-1259-5. doi:10.1007/978-1-4614-1260-1 
  4. ↑ Dickson, Leonard Eugene (1901). «Theory of Linear Groups in An Arbitrary Field». Transactions of the American Mathematical Society. 2 (4): 363–394. ISSN 0002-9947. doi:10.2307/1986251 
  5. ↑ ENGELKEN, S (2012). «ON THE CHOICE OF THE UNCERTAINTY STRUCTURE IN ROBUST CONTROL PROBLEMS–A DISTANCE MEASURE APPROACH» (PDF). UNIVERSITY OF MANCHESTER 
  6. ↑ Havens, Christopher; Barbero, Stefano; Cerruti, Umberto; Murru, Nadir (29 de janeiro de 2020). «Linear fractional transformations and nonlinear leaping convergents of some continued fractions». Research in Number Theory (em inglês). 6 (1). 11 páginas. ISSN 2363-9555. doi:10.1007/s40993-020-0187-5 
  7. ↑ «Section 17.2. Linear Fractional Transformations» (PDF) 
  8. ↑ «The Geometry of Möbius Transformations» (PDF). University of Rochester. 2010 
  9. ↑ Young, N. J. (1 de janeiro de 1984). «Linear fractional transformations in rings and modules». Linear Algebra and its Applications (em inglês). 56: 251–290. ISSN 0024-3795. doi:10.1016/0024-3795(84)90131-9 
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