Usuária:MCarrera (NeuroMat)/Testes/Desvio padrão (fórmulas)

Em probabilidade, o desvio padrão ou desvio padrão populacional (comumente representado pela letra grega $\sigma$) é uma medida de dispersão em torno da média populacional de uma variável aleatória. Em estatística, o desvio padrão ou desvio padrão amostral (comumente representado pela letra Latina $s$) é uma medida de dispersão dos dados em torno de média amostral. Um baixo desvio padrão indica que os pontos dos dados tendem a estar próximos da média ou do valor esperado. Um alto desvio padrão indica que os pontos dos dados estão espalhados por uma ampla gama de valores. O desvio padrão populacional ou amostral é a raiz quadrada da correspondente variância populacional ou amostral, de modo a ser uma medida de dispersão que seja número não negativo e que use a mesma unidade de medida dos dados fornecidos.

Em probabilidade e estatística, o desvio padrão é usado para expressar outros conceitos matemáticos importantes como o coeficiente de correlação, o coeficiente de variação ou a alocação ótima de Neyman entre outros. Há também outras medidas de desvio como o desvio médio absoluto, que fornecem propriedades matemáticas diferentes a partir do desvio padrão. O desvio padrão é mais simples, porém mais robusto que o desvio médio absoluto na prática. Além de expressar a variabilidade da população, o desvio padrão comumente é usado para medir a confiança em cálculos estatísticos e geralmente permite sintetizar os resultados de uma experiência repetida várias vezes. Por exemplo, a margem de erro de um conjunto de dados é determinada pelo cálculo do desvio padrão da média ou do desvio padrão populacional inverso da raiz quadrada do tamanho da amostra, se a mesma pesquisa for repetida várias vezes.

Essa derivação do desvio padrão geralmente é chamada de erro padrão da estimativa ou erro padrão da média (em referência à média). O erro padrão da média é calculado a partir do desvio padrão das médias, as quais poderiam ser computadas a partir de uma população se um número infinito de amostras e uma média para cada amostra fossem considerados. A margem de erro de uma pesquisa é calculada a partir do erro padrão da média (produto do desvio padrão da população e do inverso da raiz quadrada do tamanho da amostra), e cerca do dobro do erro padrão da média é a metade da largura de 95% do intervalo de confiança para média (populacional). O desvio padrão populacional e o desvio padrão populacional da média amostral da mesma população são diferentes, porém relacionados pelo inverso da raiz quadrada do número de observações.

O desvio padrão é calculado em todas as áreas que usam probabilidade e estatística, em particular biologia, finanças, físicas e pesquisas em geral. Em ciência, os pesquisadores comumente reportam o desvio padrão dos dados experimentais, em geral, apenas os efeitos mais de dois desvios padrão distantes do esperado são considerados estatisticamente significativos – por meio de erro aleatório normal ou variação nas medições pode-se distinguir os efeitos prováveis de efeitos genuínos. Quando apenas uma amostra dos dados da população está disponível, o termo desvio padrão da amostra ou desvio padrão amostral pode referir–se tanto à quantidade mencionada acima quanto à uma quantidade modificada que seja uma estimativa não viesada do desvio padrão populacional. Quando o desvio padrão populacional não é conhecido, o seu valor é aproximado por meio de desvio padrão amostral.

História

O desvio padrão é uma grandeza que remete ao século XIX, com o desenvolvimento da estatística no Reino Unido. O conceito medida de dispersão foi criado por Abraham de Moivre e usado em seu livro The Doctrine of Chances em 1718. O termo desvio padrão foi usado pela primeira vez por Karl Pearson em 1894, em substituição a termos anteriores como erro médio, utilizado por Carl Friedrich Gauss. O símbolo $\sigma$ também foi utilizado pela primeira vez por Karl Pearson para representar o desvio padrão.

Em 1908, Wiliam Gosset (mais conhecido sob o pseudônimo Student) definiu o desvio padrão empírico de uma amostra e mostrou que a distinção entre o desvio padrão da amostra e o desvio padrão da população é importante. Somente em 1918, Ronald Fisher definiu a noção da variância no texto The Correlation between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance.

Em probabilidade

Definição

Seja $X$ uma variável aleatória com média $\mu$ e valor esperado $E[X]=\mu$. esperança E-maiúsculop de x-maiúsculo igual a mi-minúsculo Então, o desvio padrão de $X$ pela definição é a raiz quadrada da variância de $X$ ou a raiz quadrada do valor médio de $(X-\mu )^{2}$ abre aprendesse, xis-maiusculo menos alpha-minúsculo, fecha parênteses, elevado a dois.

${\begin{aligned}\sigma &:={\sqrt {{\rm {Var}}[X]}}={\sqrt {\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]}}\\&={\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]+\operatorname {E} [-2\mu X]+\operatorname {E} [\mu ^{2}]}}={\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]-2\mu \operatorname {E} [X]+\mu ^{2}}}\\&={\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]-2\mu ^{2}+\mu ^{2}}}={\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]-\mu ^{2}}}\\&={\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]-(\operatorname {E} [X])^{2}}}\end{aligned}}$

sigma minúsculo é definido como a raiz quadrada da variância, soletrar V-A-R de xis-maiúsculo.

Igual a raiz quadrada da esperança E de abre aprendesse, xis-maiusculo menos alpha-minúsculo, fecha parênteses, elevado a dois. maiúsculo.

Igual a raiz quadrada de, esperança e-maiúsculo de xis-maiúsculo elevado a dois, mais, esperança e-maiúsculo de menos dois vezes alpha minúsculo vezes xis-maiúsculo, mais esperança e-maiúsculo de mi-minúsculo.

Igual a raiz quadrada da esperança e-maiúsculo de xis-maiúsculo ao quadrado, menos, dois vezes mi-minúsculo, vezes e-maiúsculo de xis-maiúsculo, mais, mi-minúsculo ao quadrado.

igual a raiz quadrada da esperança e-maiúsculo de xis-maiúsculo ao quadrado menos dois mi-minúsculo ao quadrado, mais mi-minúsculo ao quadrado.

igual a raiz quadrada da esperança e-maiúsculo de xis-maiúsculo ao quadrado menos mi-minúsculo ao quadrado.

Igual a raiz quadrada da esperança e-maiúsculo de xis-maiúsculo ao quadrado menos, abre parênteses da esperança e-maiúsculo de xis-maiúsculo, fecha parênteses, elevado a dois.

A fórmula foi derivada a partir das propriedades da esperança.

Desvio padrão de variável aleatória discreta

Quando $X$ é uma variável aleatória de um conjunto de dados finito $x_{1},x_{2},\dots ,x_{N}$, com cada valor tendo a mesma probabilidade ${\frac {1}{N}}$ razão de do número um por n-maiúsculo, o desvio padrão é

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}}$, sigma minúsculo. Igual a raiz quadrada de, a arzão do número um por n-maiúsculo vezes a somatória sigma-maiúsculo de i-minúsculo igual ao número um até n-maiúsculo quando, abre parêntesis, xis-minúsculo sub-escrito i-minúsculo menos mi-minúsculo, fecha parêntesis, elevado a dois,

em que $\mu$ é a esperança de variável $X$, $\mu ={\rm {E}}[X]={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}$. b mi-minúsculo. igual a esperança e-maúsculo de xis-maiúsculo. Igual a razão do número um por n-maiúsculo vezes a somatória sigma maiúsculo de i-minúsculo até n-maiúsculo quando x-minúsculo sub-escrito i-minúsculo.

Se os valores tiverem probabilidades diferentes em vez de probabilidade iguais (se $x_{1}$ tiver probabilidade $p_{1}$, se $x_{2}$ tiver probabilidade $p_{2}$, ... , se $x_{N}$ tiver probabilidade $p_{N}$), o desvio padrão é

$\sigma ={\sqrt {\sum _{i=1}^{N}p_{i}(x_{i}-\mu )^{2}}}$, sigma minúsculo. Igual a raiz quadrada de, somatória sigma-maiúsculo de i-minúsculo até n-maiúsculo quando p-minúsculo sub-escrito, abre parêntesis, x-minúsculo sub-escrito i-minúsculo menos mi-minúsculo, fecha parêntesis, elevado ao quadrado.

em que $\mu =\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}$. mi-minúsculo igual a omatória sigma-maiúsculo de i-minúsculo até n-maiúsculo quando p-minúsculo sub-escrito i-minúsculo vezes x-minúsculo sub-escrito i-minúsculo

Desvio padrão de variável aleatória contínua

O desvio padrão de uma variável aleatória contínua $X$ com função densidade $p(x)$ é

$\sigma ={\sqrt {\int _{\mathbb {R} }(x-\mu )^{2}\,p(x)\,{\rm {d}}x}}$, sigma-minúsculo igual a raiz cuadrada de, integral nos números reais r-maiúsculo de, abre paréntesis de x-minúsculo menos mi-minúsculo, fecha paréntesis, elevado a dois, vezes a função p-minúsculo de x-minúsculo diferencial em x-minúsculo,

em que $\mu ={\rm {E}}[X]=\int _{\mathbb {R} }x\,p(x)\,{\rm {d}}x$. mi-minúsculo igual a esperança e-maiúsculo de xis-maiúsculo. Igual a integral nos números reais r-maiúsculo de x-minúsculo, vezes a função p-minúsculo de x-minúsculo diferencial em x-minúsculo.

No caso de uma família paramétrica de uma distribuição, o desvio padrão pode ser expresso em termos de parâmetros. Por exemplo, no caso da distribuição log–normal com parâmetros $\mu$ e $\sigma ^{2}$, com $\ln X$ com distribuição normal com parâmetros $\mu$ e $\sigma ^{2}$, o desvio padrão é ${\bigl [}(\exp(\sigma ^{2})-1)\exp(2\mu +\sigma ^{2}){\bigr ]}^{\frac {1}{2}}$. abre colchetes, função exponencial (soletrar E-X-P) de sigma-minúsculo elevado ao número dois, menos o número um, vezes a função exponencial (soletrar E-X-P) de duas vezes mi-minúsculo mais sigma-minúsculo elevado a dois, fecha colchetes. Elevado a razão do número um por dois.

Desvio padrão de distribuições de probabilidade conhecidas

Distribuição	Parâmetros	Descrição	Desvio padrão
Distribuição de Bernoulli	$p$	Distribuição discreta de valor 0 com probabilidade $1-p$ e 1 com probabilidade $p$.	$\sigma ={\sqrt {p(1-p)}}$ sigma-minúsculo igual a raiz quadrada de p-minúsculo vezes, abre aperentesis, número um menos p-minúsculo, fecha parentesis)
Distribuição binomial	$p$ e $n\in \mathbb {N} ^{*}$p-minúsculo e n-minúsculo pertencem ao conjunto dos numeros naturais exceto o número zero	Distribuição da soma de $n$ variáveis independentes de acordo com a distribuição de Bernoulli de parâmetro $p$.	$\sigma ={\sqrt {np(1-p)}}$ sigma-minúsculo igual a raiz quadrada de n-miúsculo vezes p-minúsculo vezes, abre aperentesis, número um menos p-minúsculo, fecha parentesis)
Distribuição geométrica	$p$	Distribuição discreta em $\mathbb {N}$,conjunto dos números naturais n-maiúsculo tal que a probabilidade de se obter o número inteiro $n$ é $(1-p)p^{n}$abre aperentesis, número um menos p-minúsculo, fecha parentesis, vezes p-minúsculo elevado a n-minúsculo.	$\sigma ={\sqrt {\frac {1-p}{p^{2}}}}$ sigma-minúsculo igual a raiz quadrada da razão de o número um menos p-minúsculo por p-minúsculo elevado a dois
Distribuição uniforme	$a<b$ a-minúsulo menor do que b-minúsculo	Distribuição uniforme contínua em $\mathbb {R}$ conjunto dos números reais r-maiúsculo , cuja densidade é um múltiplo da função indicadora de $[a,b]$ intervalo fechado de a até b.	$\sigma ={\frac {b-a}{\sqrt {12}}}$sigma-minúsculo igual a razão de b-minúsculo menos a-minúsculo por raiz quadrada de doze
Distribuição exponencial	$p$	Distribuição uniforma contínua com suporte $\mathbb {R} _{+}$, conjunto dos números positivos reais r-maiúsculo cuja densidade é a função$f\colon x\mapsto p\exp(-px)$. função com variável x-minúsculo definida pela lei de formação p-minúsculo vezes exponencial (soletrar E-X-P) vezes, abre parentesis menos p-minúsculo vezes x-minúsculo, fecha parentesis	$\sigma ={\frac {1}{p}}$ sigma-minúsculo igual a razão do número um por p-minúsculo
Distribuição de Poisson	Falhou a verificação gramatical (erro de sintaxe): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mi>λ<!-- λ --></mi> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \lambda }</annotation> </semantics> } $\lambda$	Distribuição em $\mathbb {N}$, cuja densidade é a função $f\colon x\mapsto \exp(-\lambda ){\frac {\lambda ^{x}}{x!}}$ função com variável x-minúsculo definida pela lei de formação exponencial (soletrar E-X-P) vezes, abre parentesis menos lambda-minúsculo vezes x-minúsculo, fecha parentesis vezes a razão de lambda-minúsculo elevado a x-minúsculo por fatorial de x-minúsculo, em que $\lambda \in \mathbb {R} _{+}$ conjunto dos números positivos reais r-maiúsculo.	$\sigma ={\sqrt {\lambda }}$ sigma-minúsculo igual a raiz quadrada de lambda-minúsculo
Distribuição qui-quadrado	Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mi>n</mi> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle n}</annotation> </semantics> } e $n$	Distribuição em $\mathbb {R} ^{+}$ conjunto dos números positivos reais r-maiúsculo, cuja densidade é a função $f\colon x\mapsto {\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}x^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}\,$função com variável x-minúsculo definida pela lei de formação razão do número um por dois elevado a razão de n-minúsculo por dois . Vezes gama-maiúsculo vezes a razão de n-minúsculo por dois. Vezes x-minúsculo elevado n-minúsculo por dois vezes e-minúsculo elevado a menos a razão de x-minúsculo por dois para todo $x$ positivo, em que $\Gamma$ gama-maiúsculo é a função gama.	$\sigma ={\sqrt {2n}}$sigma-minúsculo igual a raiz quadrada de dois vezes n-minúsculo

O desvio padrão de uma distribuição de probabilidade univariada é igual ao desvio padrão de uma variável aleatória com a mesma distribuição. Nem todas as variáveis aleatórias possuem desvio padrão, uma vez que os valores esperados podem não existir. Por exemplo, o desvio padrão de uma variável que segue uma distribuição de Cauchy é indefinido porque seu valor esperado é indefinido.

Propriedades

1. O desvio padrão é sempre positivo ou nulo. O desvio padrão de uma constante é nulo.
2. O desvio padrão de uma variável aleatória $X$ a qual foi adicionada uma constante $Y=X+a$ é igual ao desvio padrão da variável aleatória $X$, uma propriedade chamada invariante por translação.
3. O desvio padrão de uma variável multiplicada por uma constante positiva é igual a constante multiplicada pelo desvio padrão da variável, uma propriedade chamada invariante por dilatação, que pode ser resumida como $\sigma _{cX+b}=c\sigma _{X}$. sigma-minúsculo sub-escrito x-minúsculo vezes x-maiúsculo mais b-minúsculo. Igual a c-minúsculo vezes sigma-minúsculo sub-escrito x-maiúsculo Propriedades como invariante de dilatação são consequências diretas do teorema de Huygens e das propriedades de valor esperado.
4. O desvio padrão da soma algébrica de duas variáveis é igual a $\sigma _{X+Y}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+2\sigma _{X}\sigma _{Y}\rho (X,Y)}}$ sigma-minúsculo sub-escrio x-maiúsculo mais y-maiúsculo. Igual a raiz quadrada de sigma-minúsculo elevado a dois sub-escrito x-maiúsculo, mais, sigma-minúsculo elevado a dois sub-escrito y-maiúsculo, mais, dois vezes sigma-minúsculo sub-escrito x-maiúsculo vezes sigma-minúsculo sub-escrito y-maiúsculo vezes rho-minúsculo, abre parentesis, x-maiúsculo vírgula y-maiúsculo, fecha parentesis , em que $\rho (X,Y)$ rho-minúsculo, abre parentesis, x-maiúsculo vírgula y-maiúsculo, fecha parentesis é o coeficiente de correlação entre as duas variáveis $X$ e $Y$.
5. O desvio padrão segue a desigualdade triangular $\sigma _{X+Y}\leq \sigma _{X}+\sigma _{Y}$. sigma-minúsculo sub-escrito x-maiúsculo mais y-maiúsculo, menor ou igual do que sigma-minúsculo sub-escrito x-maiúsculo mais sigma-minúsculo sub-escirto y-maiúsculo Existe igualdade se e apenas se existe uma relação linear quase certa entre as duas variáveis: $Y=cX+b$. y-maiúsculo igual a c-minúsculo vezes x-maiúsculo mais b-minúsculo A desigualdade decorre da desigualdade anterior e da desigualdade $-1\leq \rho (X,Y)\leq 1$. menos o número um, menor ou igual do que rho-minúsculo, abre parentesis, x-maiúsculo, vírgula, y-maiúsculo, fecha paréntesis menor ou igual do que o número um.
6. A função $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}:c\rightarrow {\sqrt {(|X-c|^{2})}}$ dominio do conjunto dos números reias r-maiúsculo para contra-dominíio o conjunto positivo dos números reias r-maúsculo, ela que, a variável c-minúsculo está definida pela orden raiz quadrada de, abre barra vertical, modulo, x-maiúsculo menos c-minúsculo, fecha barra vertical, elevado a dois. admite o ponto mínimo $c=E(X)$ . c-minúsculo igual a esperança e-maiúsculo de x-maiúsculo Portanto, assume no ponto o valor do desvio padrão da variável aleatória $X$.

Usos

Em probabilidade, o desvio padrão compara as variáveis ou as suas distribuições.

Variável centrada reduzida

Exemplos de distribuições assimétricas.

Se $X$ é uma variável aleatória com desvio padrão não nulo, é possível faze–la corresponder a variável aleatória centrada reduzida$Z={\frac {X-{\bar {X}}}{\sigma }}$. z-maiúsculo igual a razão de x-maiúsculo menos, barra horizontal sobre x-maiúsculo por sigma minúsculo. Duas variáveis aleatórias centradas e reduzidas $Z_{1}$e $Z_{2}$ são fáceis de comparar, uma vez que $E(Z_{i})=0$ e $\sigma _{Z_{i}}=1$. esperança e-maiúsculo do i-ésimoz-maiúsculo, igual a zero e sigma-minúsculo sub-escrito i-ésimo z-maiúsculo, igual ao número um.

O teorema central do limite é o limite de uma sequência de variáveis aleatórias centradas reduzidas, os coeficientes de assimetria e a curtose de uma densidade de probabilidade $E[Z^{3}]$ e $E[Z^{4}]$ são usados para comparar diferentes distribuições.

Coeficiente de correlação

Exemplos de distribuições mais ou menos achatadas.

O coeficiente de correlaçào é outra aplicação do desvio padrão em probabilidade. Se $X$ e $Y$ são duas variáveis aleatórias, o coeficiente de correlação $\rho ={\frac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}$, rho-minúsculo, igual a covariância (soletrar C-O-V) de, abre parêntesis, x-maiíusculo, vírgula, y-maiúsculo, fecha parêntesis por sigma-minúsculo sub-escrito x-maiúsculo vezes sigma-minúsculo sub-escrito y-maiúsculo em que $\operatorname {cov} (X,Y)=E[(X-E[X])\,(Y-E[Y])]={E}[XY]-E[X]E[Y]$, covariância (soletrar C-O-V) de, abre parêntesis, x-maiusculo, vírgula, y-maiúsculo, fecha parêntesis, igual a esperança e-maiúsculo de, abre colchetes, abre parêntesis, x-maiúsculo menos esperança e-maiúsculo de x-maiúsuclo, fecha parêntesis, vezes, y-maiúsculo menos esperança e-maiúsculo de y-maiúsculo, fecha parêntesis, fecha colchetes. Igual a esperança e-maiúsculo de x-maiúsculo vezes y-maiúsculo, menos esperança e-maiúsculo de x-maiúsculo vezes a esperança e-maiúsculo de y-maiúsculo é a covariância das variáveis aleatórias

De acordo com a desigualdade de Cauchy–Schwarz $\operatorname {cov} (X,Y)\leq \sigma _{X}\sigma _{Y}$, covariância (soletrar C-O-V) de, abre parêntesis, x-maiíusculo, vírgula, y-maiúsculo, fecha parêntesis, menor ou igual do que sigma-minúsculo sub-escrito x-maiúsculo vezes sigma-minúsculo sub-escrito y-maiúsculo é possível afirmar que

Desigualdade de Bienaymé–Tchebychev

É por meio da desigualdade de Bienaymé–Tchebychev que o desvio padrão aparece como uma medida de dispersão em torno da média. A desigualdade de Bienaymé–Tchebychev afirma que $P(|X-E(X)|>k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}$ função de probabilidade p-maiúsculo a qual está definida por,abre parêntesis, abre barra vertical barra vertical, módulo, x-maiúsculo menos esperança e-maiúsculo de x-maiúsculo, fecha barra vertical mais do que k-minúsculo vezes sigma-minúsculo, fecha parêntesis. Menor ou igual do que a razão do número um por k-minúsculo eivado a dois. e mostra que a probabilidade de $X$ desviar–se de $E(X)$ esperança e-maiúsculo de x-minúsculo ao longo de $k$ desvios padrão é menor que${\frac {1}{k^{2}}}$. razão do número um por k-minúsculo elevado a dois.

A desigualdade de Tchebychev afirma que, para todas as distribuições para as quais o desvio padrão é definido, o volume de dados dentro de uma quantidade de desvios padrão da média é pelo menos os mesmos que os da tabela a seguir.

Distância da média	População mínima
${\sqrt {2}}\sigma$ raiz quadrada de duas vezes sigma-minúsculo	50%
$2\sigma$ duas vezes sigma-minúsculo	75%
$3\sigma$ tres vezes sigma-minúsculo	89%
$4\sigma$ quatro vezes sigma-minúsculo	94%
$5\sigma$ cinco vezes sigma-minúsculo	96%
$6\sigma$ seis vezes sigma-minúsculo	97%
$k\sigma$ k-minúsculo vezes sigma-minúsculo	$1-{\frac {1}{k^{2}}}$ número um menos a razão do número um por k-minúsculo elevado a dois
${\frac {1}{\sqrt {1-l}}}\sigma$ razão do número um pela raiz quadrada do número um menos l-minúsculo, vezes sigma-minúsculo	$l$ l-minúsculo

Em estatística

O desvio padrão é usado para indicar, com barras de erro, a incerteza do posicionamento do centroide de cada grupo da amostra ao longo da direção indicada pela largura das sépalas.

Para uma população finita e relativamente pequena, o cálculo do desvio padrão é puramente algébrico sem referência à probabilidade. A estatístico utiliza o desvio padrão empírico definido por $s={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}$. s-minúsculo igual a raiz quadrada de, razão do número um por n-minúsculo vezes somatória sigma-maiúsculo com inicio em i-minúsculo igual ao número um até n-minúsculo de, abre parêntesis, i-ésimo x-minúsculo menor, barra horizontal sobre x-minúsculo, fecha parêntesis, elevado a dois.

Em estatística, a população é geralmente muito importante em número (não é possível conhecer todos os valores da população). Entre os recursos utilizados em amostragem e estimativa para avaliar os valores está o desvio padrão.

Interpretação

Exemplo de amostras de duas populações com médias iguais e desvios padrão diferentes. A população representada em vermelho tem média 100 e desvio padrão 10. A população representada em azul tem média 100 e desvio padrão 50.

Um grande desvio padrão indica que os pontos dos dados estão espalhados longe da média e um pequeno desvio padrão indica que os pontos dos dados estão agrupados perto da média. Por exemplo, cada uma das três populações {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} e {6, 6, 8, 8} possui média 7. Os desvios padrão são 7, 5 e 1, respectivamente. A terceira população tem um desvio padrão menor porque seus valores são próximos de 7.

O desvio padrão tem a mesma unidade dos dados. Se, por exemplo, o conjunto de dados {0, 6, 8, 14} representar as idades de uma população de quatro irmão em anos, a média é de 7 anos e o desvio padrão é de 5 anos. Se, por exemplo, o conjunto de dados {1000, 1006, 1008, 1014} representar as distâncias percorridas por quatro atletas em metros, a média é de 1007 metros e o desvio padrão é de 5 metros.

O desvio padrão pode servir como medida de incerteza. Em ciências físicas, a precisão de medições repetidas é dada pelo desvio padrão. O desvio padrão é crucial para analisar se as medições batem com a previsão teórica – se a média das medições estiver muito longe da previsão teórica (distância medida pelo desvio padrão), então a teoria testada provavelmente precisa ser revisada.

Enquanto o desvio padrão mede a distância dos valores típicos da média, outras medidas estão disponíveis. É o exemplo do desvio médio absoluto, que pode ser considerado uma medida mais direta da distância da média em comparação à distância da raiz quadrada média inerente ao desvio padrão.

Interpretação geométrica

Seja uma população com três valores, $x_{1},x_{2},x_{3}$. Seja um ponto $P=(x_{1},x_{2},x_{3})$p-maiúsculo igual a tripla x-um-minúsculo, x-dois-minúsculo, x-tres-minúsculo,em

Derivação de $M=({\overline {x}},{\overline {x}},{\overline {x}})$
$M$ está em$L$. Portanto$M=(l,l,l)$ com $l\in {\textbf {R}}$ A linha $L$ deve ser ortogonal ao vetor de $M$ para $P$. Portanto: ${\begin{aligned}L\cdot (P-M)&=0\\(r,r,r)\cdot (x_{1}-l,x_{2}-l,x_{3}-l)&=0\\r*(x_{1}-l+x_{2}-l+x_{3}-l)&=0\\r*(\sum \limits _{i}x_{i}-3l)&=0\\\sum \limits _{i}x_{i}-3l&=0\\{\frac {1}{3}}\sum \limits _{i}x_{i}&=l\\{\overline {x}}&=l\end{aligned}}$

A distância entre $P$ e $M$ (igual à distância entre $P$ e $L$) ${\sqrt {\sum \limits _{i}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}$ raiz quadrada da i-ésima somatória sigma-maiúsculo de abre parentesis de, i-ésimo x-minúsculo menos barra horizontal sobre x-minúsculo, fecha parentesis, elevado a dois é igual ao desvio padrão do vetor $x_{1},x_{2},x_{3}$ multiplicado pela raiz quadrada do número de dimensões do vetor (3 dimensões, no caso).

${\begin{aligned}L\cdot (P-M)&=0\\(r,r,r)\cdot (x_{1}-l,x_{2}-l,x_{3}-l)&=0\\r*(x_{1}-l+x_{2}-l+x_{3}-l)&=0\\r*(\sum \limits _{i}x_{i}-3l)&=0\\\sum \limits _{i}x_{i}-3l&=0\\{\frac {1}{3}}\sum \limits _{i}x_{i}&=l\\{\overline {x}}&=l\end{aligned}}$

l-maiúsculo, vezes, abre parentesis, p-maiúsculo menos m-maiúsculo, fecha parentesis, igual a zero.

abre parentesis, r-minúsculo, vírgula, r-minúsculo, vírgula, r-minúsculo, vírgula, fecha parentesis, vezes, abre parentesis, x-minúsculo-um menos l-minúsculo, vírgula, x-minúsculo-dois menos l-minúsculo, vírgula, x-minúsculo-tres menos l-minúsculo, fecha parentesis. Igual a zero.

r-minúsculo vezes, abre parentesis, x-um-minúsculo menos l-minúsculo mais x-dois-minúsculo menos l-minúsculo, vírgula, x-tres-minúsculo menos l-minúsculo, fecha parentesis. Igual a zero.

r-minúsculo vezes abre parentesis, i-ésima somatória sigma-maiúsculo de i-ésima x-minúsculo menos três vezes l-minúsculo, fecha parentesis. Igual a zero.

i-ésima somatória sigma-maiúsculo de i-ésimo x-minúsculo menos três vezes l-minúsculo igual a zero.

razão do número um por três vezes i-ésima somatória do i-ésimo x-minúsculo. Igual a l-minúsculo.

barra horizontal de x-minúsculo igual a l-minúsculo.

Regras para dados distribuídos normalmente

Distribuição normal com desvio padrão (azul escuro) em ambos os lados da média. Um desvio padrão da média representa 68,27% do conjunto, dois desvios padrão (azul médio e azul escuro) representam 95,45%, três desvios padrão (azul claro, azul médio e azul escuro) representam 99,73% e quatro desvios padrão representam 99,9994%. Os dois pontos da curva que são o desvio padrão da média também são os pontos de inflexão.

De acordo com o teorema central do limite, a distribuição da média de muitas variáveis aleatórias distribuídas independentemente e identicamente tende à distribuição normal

com função densidade $f(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$ f-minúsculo, abre parentesis, x-minúsculo, ponto e vírgula, mi-minúsculo, vírgula sigma-minúsculo elevado a dois igual a razão do número um por sigma-minúsculo vezes raiz quadrada de duas vezes pi-minúsculo, vezes e-minúsculo elevado a menos a razão do número um por dois, vezes, abre parentesis , razão de de x-minúsculo menos mi-minúsculo por sigma-minúsculo, fecha parentesis, elevado a dois. em que $\mu$ é o valor esperado das variáveis aleatórias, $\sigma$ é igual aos desvios padrão das distribuições dividido por $n^{\frac {1}{2}}$n-minúsculo elevado a razão do número um por dosi e $n$ é o número de variáveis aleatórias. Portanto, o desvio padrão é simplesmente uma variável escalonada que ajusta a amplitude da curva, embora ele apareça também na constante de normalização. Se a distribuição dos dados é aproximadamente normal, então a proporção dos valores dos dados dentro do desvio padrão $z$ da média é definida por $\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)$ soletrar E-R-F, abre parentesis de z-minúsculo por raiz quadrada de dois, fecha parentesis, em que $\operatorname {erf}$ é a função erro. Uma proporção que seja menor ou igual a um número $x$ é dada pela função cumulativa

$x={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right]$. x-minúsculo igual a razão do número um por dois vezes, abre colchetes número um mais, (soletrar) E-R-F, abre parentesis de x-minúsculo menos mi-minúsculo por sigma-minúsculo vezes raiz-quadrada de dois, fecha colchetes. Igual a razão do número um por dois, abre colchetes, o número um mais, (soletrar) E-R-F, abre parentesis, razão de z-minúsculo por raiz quadrada de de dois, fecha parentesis, fecha colchetes.

Se a distribuição dos dados é aproximadamente normal, então cerca de 68% dos valores dos dados estão dentro de um desvio padrão da média ($\mu \pm \sigma$, em que $\mu$ é a média aritmética), cerca de 95% estão dentro de dois desvios padrão ($\mu \pm 2\sigma$) e cerca de 99,7% estão dentro de três desvios padrão ($\mu \pm 3\sigma$). Isto é conhecido como a regra empírica 68–95–99,7. Para vários valores de $z$, as porcentagens dos valores esperado dentro ou fora do intervalo simétrico $IC=(-z\sigma ,z\sigma )$ (soletrar) I-C, igual a, abre parentesis, menos z-minúsculo vezes sigma-minúsculo, vírgula, z-minúsculo vezes sigma-minúsculo são:

Porcentagem dentro p versus z

z versus porcentagem dentro p

Intervalo de confiança	Proporção dentro	Proporção fora
	Porcentagem	Porcentagem	Fração
$0.674490\sigma$	7001500000000000000♠50%	7001500000000000000♠50%	${\frac {1}{2}}$
$0.994458\sigma$	68%	32%	${\frac {1}{3.125}}$
$1\sigma$	68.2689492%	31.7310508%	${\frac {1}{3.1514872}}$
$1.281552\sigma$	80%	20%	${\frac {1}{5}}$
$1.644854\sigma$	90%	10%	${\frac {1}{10}}$
$1.959964\sigma$	95%	5%	${\frac {1}{20}}$
$2\sigma$	95.4499736%	4.5500264%	${\frac {1}{21.977895}}$
$2.575829\sigma$	99%	1%	${\frac {1}{100}}$
$3\sigma$	99.7300204%	0.2699796%	${\frac {1}{370.398}}$
$3.290527\sigma$	99.9%	0.1%	${\frac {1}{1000}}$
$3.890592\sigma$	99.99%	0.01%	${\frac {1}{10000}}$
$4\sigma$	99.993666%	0.006334%	${\frac {1}{15787}}$
$4.417173\sigma$	99.999%	0.001%	${\frac {1}{100000}}$
$4.5\sigma$	99.9993204653751%	0.0006795346249%	${\frac {3.4}{1000000}}{\text{(em cada lado da média)}}$
$4.891638\sigma$	7001999999000000000♠99.9999%	6996100000000000000♠0.0001%	${\frac {1}{1000000}}$
$5\sigma$	99.9999426697%	0.0000573303%	${\frac {1}{1744278}}$
$5.326724\sigma$	99.99999%	0.00001%	${\frac {1}{10000000}}$
$5.730729\sigma$	99.999999%	0.000001%	${\frac {1}{100000000}}$
$6\sigma$	99.9999998027%	0.0000001973%	${\frac {1}{506797346}}$
$6.109410\sigma$	99.9999999%	0.0000001%	${\frac {1}{1000000000}}$
$6.466951\sigma$	99.99999999%	0.00000001%	${\frac {1}{10000000000}}$
$6.806502\sigma$	99.999999999%	0.000000001%	${\frac {1}{100000000000}}$
$7\sigma$	99.9999999997440%	0.000000000256%	${\frac {1}{390682215445}}$

Em resumo, de acordo com a regra dos 68–95–99,7, para uma distribuição normal unimodal, gaussiana, simétrica, de afunilamento médio ( mesocúrtica):

• 68% dos valores encontram–se a uma distância da média inferior a um desvio padrão.
• 95% dos valores encontram–se a uma distância da média inferior a duas vezes o desvio padrão.
• 99,7% dos valores encontram–se a uma distância da média inferior a três vezes o desvio padrão.

Exemplos

Visualização geométrica da variância de uma distribuição.

Imagem 1: É construída a frequência da distribuição.

Imagem 2: O centroide da distribuição fornece a média. Imagem 3: Um quadrado com lados iguais à diferença de cada valor da média é formado para cada valor. Imagem 4: A organização dos quadrados em um retângulo com um lado igual ao número $n$ de valores resulta em outro lado igual à variância da distribuição $\sigma ^{2}$.

Desvio padrão da população total

Para um conjunto de dados finito, o desvio padrão é calculado a partir da raiz quadrada da média dos desvios entre os valores e a média dos valores dos dados elevado ao quadrado.

Sejam as notas de 8 estudantes (a população é $n=8$) 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.

A média das notas dois oito estudantes é: ${\frac {2+4+4+4+5+5+7+9}{8}}=5$.

Os desvios entre as nota e a média das notas elevados ao quadrado são:

${\begin{array}{lll}(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(7-5)^{2}=2^{2}=4\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(9-5)^{2}=4^{2}=16.\\\end{array}}$

A variância ou a média de todos os valores é:

${\frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{8}}=4$

O desvio padrão ou a raiz quadrada da variância é: ${\sqrt {4}}=2$. Isto é, o desvio padrão é igual a 2.

Desvio padrão da amostra da população

O cálculo da raiz quadrada da média dos desvios entre os valores e a média dos valores dos dados elevado ao quadrado é válido apenas se os valores formarem a população total. Se os valores forem parte de uma amostra aleatória extraída de uma população maior (por exemplo, 8 notas extraídas de uma sala de aula de 2 milhões de estudantes), então o denominador da fórmula da variância seria 7 ($n-1$) em vez de 8 ($n$) e o resultado seria chamado desvio padrão da amostra.

A divisão da soma dos desvios entre as notas e a média das notas por $n-1$ em vez de $n$ fornece uma estimativa não viesada do desvio padrão da população maior, o que é conhecido como correção de Bessel.

Seja a altura média de um homem adulto nos Estados Unidos 1,78 metros com desvio padrão de 7 centímetros. Então, a maioria dos homens adultos dos Estados Unidos (cerca de 68%) tem entre 7 centímetros acima e 7 centímetros abaixo de 1,78 metros (entre 1,71 metros e 1,85 metros) – um desvio padrão – e praticamente todos os homens adultos dos Estados Unidos (cerca de 95%) tem entre 14 centímetros acima e 14 centímetros abaixo de 1,78 metros (entre 1,64 metros e 1,92 metros) – dois desvios padrão. Se o desvio padrão fosse 0 centímetros, então todos os homens adultos dos Estados Unidos teriam 1,78 metros. Se o desvio padrão fosse 50 centímetros, então os homens adultos dos Estados Unidos teriam uma variação muito maior de altura (entre 1,21 metros e 2,21 metros). Três desvios padrão representam 99,7% da amostra da população estudada, assumindo que é uma distribuição normal (em forma de sino).

Estimadores

Um estimador é uma função que aproxima–se de um parâmetro de uma população por meio de uma amostra aleatória. Dois estimadores do desvio padrão são geralmente utilizados. Os estimadores $S_{n}$ ou $S$ e ${S_{n-1}}$ ou $S'$ são expressos em função dos valores da amostra por

$S_{n}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}$ n-ésimo s-maiúsculo igual a raiz-quadrada da razão do número um por n-minúsculo vezes somatória com inicio i-minúsculo até n-minúsculo de abre aprendeis i-ésimo x-maiúsculo menos barra horizontal sobre x-maiúsculo, fecha parentesis, elevado a dois e $S_{n-1}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}={\sqrt {\frac {n}{n-1}}}\cdot S_{n}$. um anterior do n-éssimo s-maiúsculo, igual a raiz quadrada da razão do número um por n-miníusculo menos um vezes a somatória de i-minúsculo igual ao número um até n-minúsculo de, abre parentesis, i-ésimo sx-maiúsculo menos barra-horizontal sobre x-maiúsculo, fecha parentesis, elevado a dois. Igual a raiz quadrada da razão de n-minúsculo por n-minúsculo menos o número um.

${S_{n-1}}$ é o estimador não viesado.

Na verdade, uma boa estimativa do desvio padrão real seria $\sigma _{X}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}}$ sigma-minúsculo sub-escrito x-maiúsculo. Igual a raiz quadrada da razão do número um por n-minúsculo da somatória de sigma-maiúsculo com inicio de i-minúsculo igual ao número um até n-minúsculo de, abre parêntesis, i-ésimo x-minúsculo menos mi-minúsculo, fecha parentesis, elevado a dois, em que $\mu$ é a média da distribuição de $x_{i}$. Muitas vezes a média $\mu$ não é conhecida e precisa ser calculada a partir da amostra pela fórmula ${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$. barra horizontal sobre x-minúsculo. Igual a razão do número um por n-minúsculo vezes a somatória sigma-maiúsculo com inicio em i-minúsculo até n-minúsculo de i-ésimo x-minúsculo Então, a estimativa do desvio padrão é calculado pela fórmula

$s_{n-1}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}$. anterior do n-éssimo s-maiúsculo, igual a raiz quadrada da razão do número um por n-miníusculo menos um vezes a somatória de i-minúsculo igual ao número um até n-minúsculo de, abre parentesis, i-ésimo sx-maiúsculo menos barra-horizontal sobre x-maiúsculo, fecha parentesis, elevado a dois.

O denominador é $n-1$ em vez de $n$ (correção de Bessel) porque o cálculo da média de $x$ a partir da amostra perdeu um grau de liberdade, uma vez que a fórmula ${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ barra horizontal sobre x-minúsculo. Igual a razão do número um por n-minúsculo vezes a somatória sigma-maiúsculo com inicio em i-minúsculo até n-minúsculo de i-ésimo x-minúsculo liga

Propriedades dos estimadores

Duas propriedades importantes dos estimadores são a convergência e a falta de viés. Se ${\hat {\theta }}$ é um estimador do parâmetro $\theta$, o viés será a quantidade $E[{\hat {\theta }}]-\theta$. esperança e-maiúsculo de, acento circunflexo em teta-minúsculo menos teta minúsculo Se o valor for diferente de zero, significa que ${\hat {\theta }}$ acento circunflexo em teta-minúsculo está posicionado em torno de

que tende a $\sigma$ quando $n\to \infty$ quando n-minúsculo tende ao infinito, em que $\Gamma$ gama-maiúsculo é a função gama.

Se $\lim \limits _{n\to \infty }(a_{n})=a$ limite quando n-minúsculo tende ao infinito da sequência n-ésimo a-minúsculo, igual a a-minúsculo, então $(a_{n})$ sequência n-ésimo a-minúsculo converge (em distribuição, em média, em probabilidade, quase certamente) para $a$ a medida que $n$ aproxima–se do infinito. Entretanto, se $S_{n}^{2}$ e $S_{n-1}^{2}$ n-éssimo s-maiúsculo elevado a dois e s-maiúsculo sub-escrito n-minúsculo menos o número um elevado a dois são estimadores convergentes de $\sigma ^{2}$ sigma elevado a dois, refletindo a aproximação de $\sigma ^{2}$ sigma elevado a dois para as duas séries quando $n$ torna–se cada vez maior. Com o teorema da continuidade, afirmando que se $f$ é contínua $\lim \limits _{n\to \infty }f(X_{n})=f(\lim \limits _{n\to \infty }X_{n})$ limite quando n-minúsculo tende ao infinito da função f-minúsculo do n-ésimo x-maiúsculo. Igual a função f-minúsculo do limite quando n-miúsculo tende ao infinito do n-ésimo x-maiúsculo (limite em probabilidade), a função raiz quadrada é contínua, os estimadores ${S_{n}}$ e ${S_{n-1}}$ n-éssimo s-maiúsculo elevado a dois e s-maiúsculo sub-escrito n-minúsculo menos o número um elevado a dois são convergentes também. O teorema da continuidade afirma se $f$ é ume função contínua, então $X_{n}{\xrightarrow {\mathbb {P} }}X\Longrightarrow f(X_{n}){\xrightarrow {\mathbb {P} }}f(X)$, n-ésimo x-maiúsculo converge em probabilidade p-maiúsculo para x-maiúsculo. Implica-se que a função f-minúsculo do n-ésimo x-maiúsculo converge em probabilidade p-maiúsculo para função f-minúsculo de x-maiúsculo em que ${\xrightarrow {\mathbb {P} }}$ p-maiúsculo sobre seta horizontal para a direita denota convergência em probabilidade. Como a função raiz quadrada é uma função contínua, ${S_{n}}$ e ${S_{n-1}}$ n-éssimo s-maiúsculo elevado a dois e s-maiúsculo sub-escrito n-minúsculo menos o número um elevado a dois são estimadores convergentes do desvio padrão. Isto é, $S_{n-1}{\xrightarrow {\mathbb {P} }}\sigma$ e $S_{n}{\xrightarrow {\mathbb {P} }}\sigma$. s-maiúsculo sub-escrito n-minúsculo menos o número um elevado converge em probabilidade p-maiúsculo para sigma-minúsculo e n-ésimo s-maiúsculo converge em probabilidade p-maiúsculo para sigma-minúsculo.

Desvio padrão da média

A média e o desvio padrão de um conjunto de dados são estatísticas descritivas geralmente reportadas em conjunto. De uma certa maneira, o desvio padrão é uma medida natural de dispersão estatísticas se o centro dos dados for medido em relação à média. Isto porque o desvio padrão a partir da média é menor que o desvio padrão a partir de qualquer outro ponto. Seja $x_{1},\dots ,x_{n}$ números reais, definimos função $\sigma (r)={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-r)^{2}}}.$ sigma-minúsculo de r-minúsculo igual a raiz quadrada da razão do número um por n-minúsculo menos o número um vezes a somatória sigma-maiúsculo com inicio em i-minúsuclo igual ao número um até n-minúsculo de, abre parentesis, do i-ésimo x-minúsculo menos r-minúsculo, fecha parentesis eivado a dois. Usando cálculo ou completamento de quadrado, é possível mostrar que $\sigma (r)$ tem um mínimo único na média $r={\overline {x}}.\,$

A variabilidade também pode ser medida pelo coeficiente de variação, que é a razão entre o desvio padrão e a média. É um número adimensional.

Geralmente quer–se mais informações sobre a precisão da média obtida. Podemos obte–la determinando o desvio padrão da média amostral. Assumindo a independência estatística dos valores na amostra, o desvio padrão da média está relacionado ao desvio padrão da distribuição por $\sigma _{\text{média}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$ sigma minúsculo, sub-escrito a palavra média. Igual a sigma-minúsculo por raiz quadrada de n-minúsculo, em que $n$ é o número de observações na amostra usado para estimar a média. Isso pode ser provado com:

${\begin{aligned}\operatorname {var} ({\text{média}})&=\operatorname {var} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\operatorname {var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {var} (X_{i})={\frac {n}{n^{2}}}\operatorname {var} (X)={\frac {1}{n}}\operatorname {var} (X).\end{aligned}}$

variância (soletrar) V-A-R, abre parentesis, palavra média, fecha parentesis. Igual a variância (soletrar) V-A-R, abre parentesis, razão do número um por n-minúsculo vezes a somatória sigma-maiúsculo com inicio em i-minúsculo igual ao número um até n-minúsculo de i-ésimo x-maiúsculo, fecha parentesis. Igual a razão do número um por n-minúsculo ao quadrado vezes a variância (soletrar) V-A-R, abre parentesis da aomtória de i-minúsculo igual ao número umaté n-minúsculo do i-ésimo x-miaúsculo, fecha parentesis.

Isto resulta em $\sigma _{\text{média}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.$ sigma minúsculo, sub-escrito a palavra média. Igual a sigma-minúsculo por raiz quadrada de n-minúsculo

É importante ressaltar que para estimar o desvio padrão da média $\sigma _{\text{média}}$ sigma minúsculo, sub-escrito a palavra média é necessário saber o desvio padrão de toda a população

Para estimar a exatidão da estimativa da média de uma variável, o método do cálculo do desvio padrão da distribuição da amostragem das médias é utilizado. Também chamado erro padrão da média e denotado como $\sigma _{\bar {x}}$, é o desvio padrão das médias das amostras de tamanho idêntico de uma população. Se $n$ é o tamanho das amostras tomadas a partir do desvio padrão de uma população $\sigma$ e se $N$ é o tamanho da população, então $\sigma _{\bar {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}$. sigma minúsculo sub-escrito, barra horizontal sobre x-minúsculo. Igual a sigma-minúsculo por raiz cuadrada de n-minúsculo vezes a raiz quadrada da razão de n-maiúsculo menos n-minúsculo por n-maiúsculo menos o número um.

Quando o desvio padrão $\sigma$ da população é desconhecido, ele pode ser substituído pelo estimador $S_{n-1}$. anterior do n-éssimo s-maiúsculo Quando

Há casos em que é possível encontrar o desvio padrão $\sigma$ de uma população inteira como Teste Z, em que cada membro da população é amostrado. Em casos em que não é possível encontrar o desvio padrão $\sigma$, ele é estimado analisando uma amostra padrão extraída da população e calculando uma estatística da amostra, que é usada como uma estimativa do desvio padrão da população.

Entretanto, ao contrário da estimativa da média da população, para a qual a média amostra é um estimador simples com muitas propriedades desejáveis (não viesado, eficiente, máxima verossimilhança), não há um único estimador para o desvio padrão com todas estas propriedades, além de que um estimador não viesado do desvio padrão é um problema técnico. Frequentemente o desvio padrão é estimado usando o desvio padrão corrigido da amostra $(n-1)$ e geralmente é referido como o desvio padrão da amostra, sem qualificadores. Porém, outros estimadores são melhores em outros aspectos − o estimador com a correção ($n$) produz um erro quadrático médio mais baixo, enquanto o uso de correção $(n-1,\!5)$ para distribuição normal elimina quase completamente o viés.

Desvio padrão não corrigido da amostra

Primeiramente, a fórmula para o desvio padrão populacional de uma população finita pode ser aplicada à amostra usando o tamanho da amostra como o tamanho da população (embora o tamanho verdadeiro da população da qual a amostra é extraída possa ser muito maior). O estimador denotado como $s_{n}$ é conhecido como desvio padrão não corrigido da amostra ou às vezes como desvio padrão da amostra (considerado com a população inteira) e é definido como $s_{n}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}},$ n-ésimo s-minúsculo igual a raiz quadrada da razão do número um por n-minúsculo vezes somatória sigma-maiúsculo com inicio em i-minúsuclo igual ao número um até n-minúsculo de, abre parentesis, do i-ésimo x-minúsculo menos barra horizontal sobre x-minúsculo, fecha parentesis elevado a dois em que

É um estimador consistente (converge em probabilidade para os valores da população à medida que o número de amostras tende ao infinito) e é a estimativa por máxima verossimilhança quando a população é normalmente distribuída. Entretanto, é um estimador viesado na medida em que as estimativas são geradas muito lentamente. O viés diminui conforme o tamanho da amostra aumenta, caindo para 1 / $n$ e, portanto, é mais significativo para tamanhos pequenos ou moderados de amostras. Para $n>75$, o viés é menor que 1%. Então, para tamanhos muito grandes de amostras, o desvio padrão não corrigido da amostra é geralmente aceitável. O estimador também têm erro quadrático médio uniformemente menor que o desvio padrão corrigido da amostra.

Desvio padrão corrigido da amostra

Se a variância viesada da amostra (o segundo momento central da amostra, que é uma estimativa tendenciosa da variância populacional) é usada para calcular uma estimativa do desvio padrão da população, retirando a raiz quadrada, introduz−se mais vieses tendenciosos pela desigualdade de Jensen devido à raiz quadrada ser uma função côncava. O viés na variância é facilmente corrigido, mas o viés da raiz quadrada é mais difícil de ser corrigido e depende da distribuição em questão.

Um estimador não viesado da variância é dado pela aplicação da correção de Bessel, usando $n-1$ em vez de $n$ para gerar a estimativa da variância não viesada da amostra denotada como $s^{2}$

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.$ s-minúsculo elevado a dois igual a razão do número um por n-minúsculo menos o número um vezes somatória sigma-maiúsculo com inicio em i-minúsuclo igual ao número um até n-minúsculo de, abre parentesis, do i-ésimo x-minúsculo menos barra horizontal sobre x-minúsculo, fecha parentesis eivado a dois

Retirando a raiz quadrada, reintroduz−se o viés porque a raiz quadrada é uma função não linear, que não é comutativa com a expectativa. Isto gera o desvio padrão corrigido da amostra $s$ denotado como

$s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}.$ s-minúsculo. Igual raiz quadrada da razão do número um por n-minúsculo menos o número um vezes somatória sigma-maiúsculo com inicio em i-minúsuclo igual ao número um até n-minúsculo de, abre parentesis, do i-ésimo x-minúsculo menos barra horizontal sobre x-minúsculo, fecha parentesis eivado a dois

Enquanto $s^{2}$ é uma estimativa não viesada da variância populacional, $s$ é uma estimativa viesada do desvio padrão populacional embora notadamente menos viesado que o desvio padrão não corrigido da amostra. O viés continua sendo significativo para pequenas amostras ($n<10$) e também cai para $1/n$ à medida que o tamanho da amostra aumenta. Este estimador é comumente usado e geralmente conhecido simplesmente como desvio padrão da amostra.

Desvio padrão não viesado da amostra

Para estimativas não viesadas do desvio padrão, não há fórmula que aplique−se a todas as distribuições, ao contrário da média e da variância. $s$ é usado como uma base e é escalado por um fator de correção para produzir uma estimativa não viesada. Para a distribuição normal, um estimador não viesado é dado por ${\frac {s}{c_{4}}}$, em que o fator de correção que depende de $n$ é dado em termos da função gama:

$c_{4}(n)\,=\,{\sqrt {\frac {2}{n-1}}}\,\,\,{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}.$ c-minúsculo sub-escrito o número quatro, abre parentesis, n-minúsculo, fecha parentesis, igual a raiz quadrada da razão do número dois por n-menos um. Vezes a razão de gama-maiúsculo, abre parentesis, razão de n-minúsculo por dois, fecha parentesis, por gama-maiúsculo, abre parêntesis, razão de n-minúsculo menos op número um por dois, fecha parentesis.

Isto ocorre porque a distribuição amostral do desvio padrão da amostra segue uma distribuição qui e o fator de correção é a média da distribuição qui. Uma aproximação pode ser dada pela substituição de $n-1$ por $n-1,\!5$:

${\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{n-1,\!5}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}.$ acento circunflexo em sigma-minúsculo. Igual a raiz quadrada da razão do número um por n-minúsculo menos o número um vírgula, cinco vezes somatória sigma-maiúsculo com inicio em i-minúsuclo igual ao número um até n-minúsculo de, abre parentesis, do i-ésimo x-minúsculo menos barra horizontal sobre x-minúsculo, fecha parentesis elevado a dois

O erro na aproximação cai quadraticamente para $1/n^{2}$, e é adequado para todas as amostras, com exceção daquelas menores ou de menor precisão: para $n$ = 3, o viés é igual a 1,3% e para $n$ = 9 o viés é menor que 0,1%. Para outras distribuições, a fórmula correta depende da distribução, mas uma regra de ouro é usar o refinamento da aproximação:

${\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{n-1,\!5-{\tfrac {1}{4}}\gamma _{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}},$ acento circunflexo em sigma-minúsculo. Igual a raiz quadrada da razão do número um por n-minúsculo menos o número um vírgula cinco menos a razão do número um por quatro vezes gama-minúsculo sub-escrito o número dois, vezes somatória sigma-maiúsculo com inicio em i-minúsuclo igual ao número um até n-minúsculo de, abre parentesis, do i-ésimo x-minúsculo menos barra horizontal sobre x-minúsculo, fecha parentesis elevado a dois

em que $\gamma _{2}$ denota o excesso de curtose da população, que pode pode ser tanto conhecido antecipadamente para certas distribuições quanto estimado a partir dos dados.

Intervalo de confiança do desvio padrão de uma amostra

O desvio padrão obtido a partir da distribuição amostral não é absolutamente preciso, tanto por razões matemáticas (aqui explicadas pelo intervalo de confiança) quanto por razões práticas de medição (erro de medição). O efeito matemático pode ser descrito pelo intervalo de confiança ou IC. Para mostrar como uma amostra maior tornara o intervalo de confiança menor, consideram−se os seguintes exemplos.

Uma pequena população de tamanho $n$ = 3 tem apenas um grau de liberdade para estimar o desvio padrão. O resultado é que um intervalo de confiança de 95% tem desvio padrão entre 0,45 e 31,90.

Os fatores são ${\Pr }{\Bigg \{}q_{\frac {\alpha }{2}}<{\frac {ks^{2}}{\sigma ^{2}}}<q_{\frac {1-\alpha }{2}}{\Bigg \}}=1-\alpha ,$ (soletrar) P-r, abre chaves, q-minúsculo sub-escrito a razão alpha por dois menor do que a razão de k-minúsculo vezes s-minúsculo elevado a dois por sigma-minúsculo elevado a dois menor do que q-minúsculo sub-escrito a razão do número um menos alinha-minúsculo por dois, fecha chaves, igual ao número um menos alpha-minúsculo

em que $q_{p}$é o $p$−ésimo quantil da distribuição qui−quadrado com $k$ grais de liberdade e $1-\alpha$ é o nível de confiança. Isto é equivalente a

${\Pr }{\Bigg \{}{\frac {(ks^{2})}{q_{{\big (}1-{\frac {\alpha }{2}}{\big )}}}}<\sigma ^{2}<{\frac {(ks^{2})}{q_{{\big (}{\frac {\alpha }{2}}{\big )}}}}{\Bigg \}}=1-\alpha .$ (soletrar) P-r, abre chaves, razão de, abre parentesis, k-minúsculo vezes s-minúsculo elevado a dois, fecha parentesis, por q-minúsculo sub-escrito o número menos a razão de alpha-minúsculo por dois. Menor do que sigma-minúsculo. Menor do que abre parentesis, k-minúsculo vezes s-minúsculo elevado a dois, fecha parentesis, por q-minúsculo sub-escrito alpha-minúsculo por dois. Fecha chaves. Igual ao número menos alpha-minúsculo.

Com $k$ = 1, $q_{0.025}$ = 0,000982 e $q_{0.975}$ = 5,024. As recíprocas da raiz quadrada desses dois números fornecem os fatores 0,45 e 31,90 dados acima.

Uma população maior de tamanho $n$ = 10 tem 9 graus de liberdade para estimar o desvio padrão. Os mesmos cálculos acima fornecem um intervalo de confiança de 95% com desvio padrão entre 0,88 e 1,16. Para ter mais certeza que o desvio padrão da amostra será próximo do desvio padrão real, é preciso amostrar um grande número de pontos. As mesmas fórmulas podem ser usadas para obter os intervalos de confiança da variância de resíduos a partir do método dos mínimos quadrados, que se encaixa na teoria normal padrão, em que $k$ é o número de graus de liberdade do erro.

Desvio padrão de desvio padrão empírico

Em geral, é muito difícil calcular a distribuição de probabilidade de desvio padrão empírico. Porém se $X_{n}$ n-ésimo x-maiúsculo é uma sequência de variáveis aleatórias distribuídas de acordo com a distribuição normal $N(\mu ,\sigma ^{2})$ n-maiúsculo, abre parentesis, mi-minúsculo, vírgula, sigma-minúsculo elevado a dois , então $n{\Bigg (}{\frac {S_{n}^{2}}{\sigma ^{2}}}{\Bigg )}$ n-minúsculo vezes a razão de n-ésimo s-maiúsculo elevado a dois por sigma-minúsculo elevado a dois segue uma distribuição de $\chi ^{2}$ x-maiúsculo elevado a dois à $n$ grais de liberdade. Esta lei é o desvio padrão ${\sqrt {2n}}$ raiz quadrada de duas vezes n-minúsculo. Portanto, o desvio padrão da distribuição das variações das variáveis normais é expresso $\sigma _{{\big (}{S_{n}^{2}}{\big )}}=\sigma ^{2}{\sqrt {\frac {2}{n}}}$. sigma-minúsculo sub-escrito n-ésimo s-maiúsculo elevado a dois. Igual a sigma-minúsculo elevado a dois vezes raiz quadrada da razão de dois por n-minúsculo

Interpretação de um desvio padrão elevado

O conceito de desvio padrão elevado não tem sentido isoladamente. Ele não indica uma dispersão forte que se torna o valor adimensional quando dividido pela média. Um desvio padrão elevado possivelmente pode indicar a existência de um outlier. Um critério consiste em rejeitar os valores que diferem da média em mais de três vezes o desvio padrão, o qual está sob a distribuição normal de uma probabilidade de exceder de ${\frac {3}{1000}}$.

Pesquisas de opinião

Em pesquisas de opinião, o desvio padrão $\sigma _{\bar {x}}$avalia a incerteza das variações acidentais de ${\bar {x}}$ inerentes à pesquisa, chamada de margem de erro devido às variações acidentais.

Além disso, com o método da amostragem representativa, quando os diferentes estratos têm desvios padrão muito diferentes, o desvio padrão é utilizado para calcular a repartição ótima de Neyman, que permite medir a população nos diferentes estratos em função do desvio padrão. Em outros termos, $n_{i}=n{\frac {N_{i}\sigma _{i}}{\sum N_{j}\sigma _{j}}}$ i-éssimo n-minúsculo. Igual a n-minúsculo vezes e razão do i-ésimo n-maiúsculo vezes o i-ésimo sigma-minúsculo por somatório de j-ésimo n-miúsculo vezes j-ésimo sigma-minúsculo é o tamanho da amostragem do estrato, $n$ é o tamanho total do estrato, $N_{i}$ i-éssimo n-meiúsculo é o tamanho do estrato $i$ e $\sigma _{i}$i-éssimo sigma minúsculo é o desvio padrão do estrato $i$.

Em algoritmo

O cálculo do desvio padrão para um programa de computador pode resultar em dados inconsistentes quando não se utiliza um algoritmo adequado como quando se utiliza o algoritmo que opera diretamente a fórmula de grandes amostras de valores entre 0 e 1.

Um dos melhores algoritmos é chamado B.P. Welford, descrito por Donald Knuth em seu livro The Art of Computer Programming Vol. 2. Uma aproximação do desvio padrão da direção do vento é dada pelo algoritmo de Yamartino, que é usado em anemômetros modernos.

Métodos de cálculos rápidos

As duas fórmulas seguintes podem representar um desvio padrão repetidamente atualizado. Um conjunto de duas somas de potências $s_{1}$ e $s_{2}$ são calculadas sobre um conjunto de $n$ valores de $x$ denotados como $x_{1},\dots ,x_{n}$.

$\ s_{j}=\sum _{k=1}^{n}{x_{k}^{j}}.$ j-ésimo s-minúsculo. Igual a somatória com inicio de k-minúsculo igual ao número um até n-minúsculo do k-ésimo x-minúsculo elevado a j-minúsculo

Dados os resultados das duas somas, os valores $s_{1}$, $s_{2}$ e $n$ podem ser usados a qualquer hora para calcular o valor atual do desvio padrão.

$\sigma ={\frac {\sqrt {ns_{2}-s_{1}^{2}}}{n}}$, sigma-minúsculo. Igual a razão da raiz quadrada de n-minúsculo vezes s-minúsculo-dois menos s-minúsculo-um elevado a dois por n-minúsculo

em que $n$ é o tamanho do conjunto de valores (também pode ser denotado como $s_{0}$), como mencionado acima.

Similarmente para o desvio padrão $s={\sqrt {\frac {ns_{2}-s_{1}^{2}}{n(n-1)}}}.$ s-minúsculo. Igual a raiz quadrada da razão de n-minúsculo vezes s-minúsculo-dois menos s-minúsculo-um elevado a dois por n-minúsculo, vezes, abre parentesis, n-minúsculo menos o número um, fecha parentesis.

Em uma implementação de computador, à medida que as três somas $s_{j}$ aumentam, é preciso considerar o erro de arredondamento, o overflow aritmético e o underflow aritmético. O método abaixo calcula o método das somas correntes com erros de arredondamento reduzidos. Isto é um algoritmo para calcular a variância de $n$ amostras sem a necessidade de armazenar dados anteriores durante o cálculo. Aplicando este método a uma série de tempo, resultará em valores sucessivos de desvio padrão correspondente a $n$ pontos dados à medida que $n$ aumenta com cada nova amostra.

Para $k=1,\dots ,n$

${\begin{aligned}A_{0}&=0\\A_{k}&=A_{k-1}+{\frac {x_{k}-A_{k-1}}{k}}\end{aligned}}$, k-ésimo a-maiúsculo, igual a um anterior ao k-ésimo a-maiúsculo mais a razão do k-ésimo x-minúsculo menos m anterior ao k-ésimo a-maiúsculo por k-minúsculo em que

${\begin{aligned}Q_{0}&=0\\Q_{k}&=Q_{k-1}+{\frac {k-1}{k}}(x_{k}-A_{k-1})^{2}=Q_{k-1}+(x_{k}-A_{k-1})(x_{k}-A_{k})\\\end{aligned}}$, k-ésimo q-maiúsculo. Igual a um anterior ao k-ésimo q-maiúsculo mais a razão k-minúsculo menos o número um por k-minúsculo vezes, abre parentesis, k-ésimo x-minúsculo menos o anterior ao k-ésimo a-maiúsculo, fecha parentesis, elevado a dois. Igual a um anterior ao k-ésimo q-maiúsculo mais, abre parentesis, k-éssimo x-minúsculo menos a um anterior ao k-ésimo a-maiúsculo, fecha parentesis, vezes, abre parentesis, k-éssimo x-minúsculo menos k-ésimo a-maiúsculo em que

A variância da amostra é

$s_{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{n-1}}$. n-ésimo s-minúsculo elevado a dois. Igual a razão do n-ésimo q-maiúsculo por n-minúsculo menos o número um.

A variância da população é

$\sigma _{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{n}}$. n-ésimo sigma-minúsculo elevado a dois . Igual a razão do n-ésimo q-maiúsculo por n-minúsculo.

Cálculo ponderado

Quando os valores $x_{i}$ são ponderados com pesos desiguais $w_{i}$, as somas de potências $s_{0}$, $s_{1}$ e $s_{2}$ são calculadas como $\ s_{j}=\sum _{k=1}^{n}(w_{k})(x_{k}^{j})$ j-ésimo s-minúsculo igual a somatória com inicio em k-minúsculo igual ao número um até n-minúsculo de k-ésimo w-minúsculo, vezes, k-ésimo x-minúsculo elevado a j-minúsculo

As equações de desvio padrão continuam inalteradas, com a diferença que $s_{0}$ passa a ser a soma dos pesos em vez do número de observações $n$. O método incremental com erros de arredondamento reduzidos também podem ser aplicados, com alguma complexidade adicional.

Uma soma de pesos deve ser computada para cada $k$, de 1 até $n$.

${\begin{aligned}W_{0}&=0\\W_{k}&=W_{k-1}+w_{k}\end{aligned}}$

k-ésimo w-maiúsculo, igual a, um anterior k-ésimo w-maiúsculo, mais, k-ésimo w-minúsculo

Locais em que 1 / $n$ é usado devem ser substituídos por $w_{i}/w_{n}$

${\begin{aligned}1.A_{0}&=0\\2.A_{k}&=A_{k-1}+{\frac {w_{k}}{W_{k}}}(x_{k}-A_{k-1})\\3.Q_{0}&=0\\4.Q_{k}&=Q_{k-1}+{\frac {w_{k}W_{k-1}}{W_{k}}}(x_{k}-A_{k-1})^{2}=Q_{k-1}+w_{k}(x_{k}-A_{k-1})(x_{k}-A_{k})\end{aligned}}$

2. k-ésimo a-maiúsculo. Igual a um anterior do k-ésimo a-maiúsculo, mais a razão do k-ésimo w-minúsculo por k-ésimo w-maiúsculo vezes, abre parentesis, k-ésimo x-minúsculo menos um anterior do que k-ésimo a-maiúsculo, fecha parentesis.

4. k-ésimo q-maiúsculo. Igual a um anterior do k-ésimo q-maiúsculo, mais a razão do k-ésimo w-minúsculo vezes um anterior k-ésimo w-maiúsculo por k-ésimo w-maiúsculo vezes, abre parentesis, k-ésimo x-minúsculo menos um anterior do que k-ésimo a-maiúsculo, fecha parentesis, elevado a dois. Igual a um anterior k-ésimo q-maiúsculo, mais k-ésimo w-minúsculo, vezes, abre parentesis, k-ésimo x-minúsculo menos um anterior ao k-ésimo a-maiúsculo, fecha parentesis, vezes, k-ésimo x-minúsculo menos k-ésimo a-maiúsculo, fecha parentesis.

Na divisão final, $\sigma _{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{W_{n}}}\,$ n-ésimo sigma-minúsculo elevado a dois igual a razão do n-ésimo q-maiúsculo por n-ésimo w-maiúsculo e $s_{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{W_{n}-1}}$ n-ésimo s-minúsculo elevado a dois. Igual a razão do n-ésimo q-maiúsculo por n-ésimo w-maiúsculo menos o número um ou $s_{n}^{2}={\frac {n'}{n'-1}}\sigma _{n}^{2},$ n-ésimo s-minúsculo elevado a dois, igual a razão de apostrofo n-minúsculo por apostrofo n-minúsculo menos o número um vezes n-ésimo sigma-min;músculo elevado a dois em que $n$ é o número total de elementos e $n'$ é o número de elementos com pesos diferente de 0. As fórmulas acima tornam-se iguais às fórmulas mais simples dadas acima se os pesos forem tomados como iguais a um.

Aplicações

O desvio padrão é usado como medida de dispersão de um conjunto de dados. Quanto menor o desvio padrão, mais os valores são agrupados em torno da média. Seja a distribuição de notas entre os estudantes de uma sala de aula. Quanto menor o desvio padrão, mais homogêneas serão as notas. Quanto maior o desvio padrão, menos homogêneas serão as notas. Se as notas forem classificadas de 0 a 20, o desvio padrão mínimo será 0 (se todas as notas forem idênticas) e o desvio padrão máximo será 5 (se metade da classe tirar 0 e metade da classe tirar 20). Se $n$ estudantes tirarem 0 e $n$ estudantes tirarem 10, de modo que a amostra contenha $n$ vezes a nota 0 e $n$ vezes a nota 10, então a média será ${\frac {n\times 20}{n+n}}$ razão de n-minúsculo vezes vinte por n-minúsculo mais minúsculo ou ${\bar {X}}=10$ barra horizontal sobre x-maiúsculo igual a dez e ${\bar {X}}^{2}=100$. barra horizontal sobre x-maiúsculo elevado a dois igual a cem Os valores quadrados $X^{2}$ x-maiúsculo elevado a dois são $n\times 400$ n-minúsculo vezes quatrocentos e $n\times 0$ n-minúsculo vezes zero . A média de $X^{2}$x-maiúsculo elevado a dois é ${\bar {X}}^{2}=200$ barra horizontal sobre x-maiúsculo elevado a dois igual a duzentos. Portanto, a variância é 100 e o desvio padrão é 10.

Testes experimentais, industriais e de hipóteses

Na indústria, o desvio padrão é usado para calcular o índice de fidelidade de um aparelho de medida ou o índice de qualidade de um produto. Os pesos dos produtos de uma linha de produção precisam cumprir um valor exigido legalmente. Pesando uma fração dos produtos, é possível calcular o peso médio que sempre será um pouco diferente da média de longo prazo. Usando o desvio padrão, é possível encontrar um valor máximo e um valor mínimo para que o peso médio esteja dentro de uma porcentagem muito alta de tempo (igual ou maior que 99,9%). Se o desvio padrão ficar fora do intervalo, então o processo de produção precisa ser corrigido. Estes testes estatísticos são particularmente importantes quando o teste é relativamente caro.

Na ciência, é comum considerar que os valores são distribuídos de acordo com a curva de Gauss. Nas ciências sociais, a média e o desvio padrão determinam o intervalo em que existe a maioria da população. Se a média for $m$ e o desvio padrão for $\sigma$, então 95% da população estará no intervalo $[m-1,\!96\,\sigma \,;\,m+1,\!96\,\sigma ]$m-minúsculo menos um vírgula noventa e seis vezes sigma-minúsculo, ponto e vírgula m-minúsculo mais um vírgula noventa e seis vezes sigma-minúsculo e 68,2% da população estará no intervalo $[m-\,\sigma \,;\,m+\,\sigma ]$. m-minúsculo menos sigma-minúsculo, ponto e vírgula, m-minúsculo mais sigma-minúsculo.

Gráfico de distribuição normal (curva em forma de sino), em que cada barra tem largura de um desvio padrão.

O desvio padrão também é usado para formar um intervalo de confiança de uma amostra. Na imagem ao lado, há um desvio $\sigma$ nos dois lados da média de 68,2% da distribuição, dois desvios

$\sigma$ $([-2\sigma ,+2\sigma ]13,6+34,1+34,1+13,6)=95,4\%$sigma-minúsculo, vezes, abre parentesis, intervalo fechado de menos dois vezes sigma-minúsculo até mais dois vezes sigma-minúsculo, vezes treze vírgula seis mais trinta e quatro vírgula um mais trinta e quatro vírgula um mais treze vírgula seis, fecha parentesis. Igual a noventa e cinco vírgula quatro porcento.

, 3 desvios

$\sigma$ $([-3\sigma ,+3\sigma ]2,1+13,6+34,1+34,1+13,6+2,1)=99,6\%$sigma-minúsculo vezes o intervalo fechado de menos três vezes sigma-minúsculo até mais três vezes sigma-minúsculo, vezes dois vírgula um mais treze vírgula seis mais trinta e quatro vírgula um mais trinta e quatro vírgula um mais treze vírgula seis mais dois vírgula um, fecha parentesis. Igual a noventa e nove vírgula seis porcento.

e assim por diante.

Em um exemplo na física de partículas, o padrão 5 sigma é usado para considerar o resultado significativo. O padrão 5 sigma traduz uma chance em 3,5 milhões de uma flutuação aleatória afetar o resultado, o que representa uma probabilidade de erro inferior a 0,00003 % (nível de confiança superior a 99.99997%). Este nível de certeza foi requerido para declarar a primeira detecção de ondas gravitacionais e garantir a descoberta de uma partícula consistente com bóson de Higgs em dois experimentos independentes na Organização Europeia para a Pesquisa Nuclear (CERN).

Em outro exemplo na mecânica quântica, o princípio da incerteza de Heisenberg afirma que o produto dos desvios padrão da posição $x$ e o impulso de uma partícula é maior ou igual que a constante de Planck divida por dois $(\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}})$. sigma-minúsculo sub-escrito x-minúsculo vezes sigma-minúsculo sub-escrito p-minúsculo maior ou igual a razão de h-minúsculo por dois

Finanças

Em finanças, o desvio padrão da taxa de retorno de investimento é uma medida da volatilidade do investimento, ou uma medida de risco associada às flutuações de preço de um determinado ativo ou ao risco de uma carteira de ativos. O risco é um fator importante para gerenciar efetivamente uma carteira de investimentos porque ele determina a variação dos retornos sobre ativos e / ou sobre carteiras de ativos e fornece aos investidores uma base matemática para decisões de investimentos (teoria moderna do portfólio). O risco é medido pelo desvio padrão do retorno esperado sobre os preços de acordo com o modelo de precificação de ativos financeiros de Harry Markowitz. Em análise técnica dos preços das ações, o desvio padrão fornece uma estimativa quantificada da incerteza dos retornos futuros. Quanto maior o retorno esperado sobre o investimento, maior o risco. Este aumento é conhecido como risco premium. Em outras palavras, investidores devem estimar o retorno esperado e a incerteza de retornos futuros.

Seja um investidor que precise escolher entre duas ações. A ação A tem um retorno médio de 10% em 20 anos, com desvio padrão de 20 pontos percentuais. A ação B tem um retorno médio de 12% no mesmo período, com desvio padrão de 30 pontos percentuais. Com base no risco e no retorno, um investidor pode decidir pela ação A pelo retorno médio adicional de 12% não compensar o desvio padrão adicional de 10 pontos percentuais (risco ou incerteza maior sobre o retorno esperado). O investimento inicial da ação B deve ser menor que o investimento inicial da ação A. O retorno da ação B deve ser em média 2% maior que o retorno da ação A. A ação A deve ganhar 10% com 10 pontos percentuais para cima ou para baixo (variação de 30% para 10%), cerca de dois terços do retorno dos anos futuros. Quando são considerados possíveis retornos ou possíveis resultados mais extremos no futuro, um investidor deve esperar resultado de até 10% com 60 pontos percentuais para cima ou para baixo (variação de 70% para 50%), que inclui resultados para três desvio padrão a partir do retorno médio (cerca de 99,7% do possível retorno).

Calculando a média aritmética do retorno de um título em um determinado período, obtém–se o retorno esperado do ativo. Subtraindo o retorno esperado do retorno real em cada período, obtém–se a diferença a partir da média. Elevando a diferença em cada período ao quadrado e retirando a média, obtém–se a variância total do retorno do ativo. Quanto maior a variância, maior o risco do título. Encontrando a raiz quadrada da variância, obtém–se o desvio padrão da ferramenta de investimento em questão.

Média móvel (em vermelho) e bandas de Bollinger (em azul), calculadas a partir do desvio padrão.

Séries temporais financeira são conhecidas por serem séries não estacionárias, enquanto os cálculos estatísticos acima como o desvio padrão aplicam–se apenas às séries estacionárias. Para aplica–los às séries não estacionárias, as séries precisam ser transformadas em séries estacionárias, permitindo o uso de ferramentas estatística que agora possuem uma base válida para trabalhar.

A análise de Bollinger é uma ferramenta que facilita a análise de previsões do mercado. John Bollinger construiu a curva de deslocamento da média para vinte dias e as curvas, de cada lado da curva de deslocamento da média, situadas a duas vezes do desvio padrão dos vinte dias. O desvio padrão populacional é usado para estabelecer a largura das bandas de Bollinger. A banda de Bollinger ao lado é denotada como ${\overline {x}}+n\sigma _{x}$. O valor mais comumente usado para $n$ é 2. Há cerca de 5% de chance de o valor ser diferente, assumindo uma distribuição normal dos retornos.

Tempo

Sejam as temperaturas máximas médias diárias de duas cidades, uma no continente e outra na costa. O intervalo das temperaturas máximas diárias das cidades perto da costa é menor que as temperaturas máximas diárias das cidades no continente. Portanto, enquanto cada uma das duas cidades podem ter a mesma temperatura máxima média, o desvio padrão da temperatura máxima diária da cidade da costa será muito menor que a temperatura máxima diária da cidade no continente. Em qualquer dia particular, é mais provável que a temperatura máxima real seja mais afastada da temperatura máxima média da cidade no continente que da temperatura máxima média da cidade na costa.

Ver também

• Coeficiente de variação
• Variância
• Valor esperado
• Moda (estatística)
• Obliquidade
• Curtose