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Matriz de permutação

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Matriz de permutação, representada através de uma grelha quadrada binária.

Na matemática, na álgebra linear, uma matriz de permutação é uma matriz quadrada binária que tem o efeito de gerar uma permutação dos elementos de um vetor ou entre linhas ou colunas de uma matriz.

É formada apenas de zeros e uns, sendo o valor de apenas um elemento por linha e por coluna que igual a um.

Matrizes representam transformações lineares.

Permutações são um tipo específico de transformação linear e as matrizes que as representam também são específicas.

Permutação de um vetor de dimensão 1

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Com um único elemento, não há permutação que altere o vetor inicial, pois não há mais de um elemento para que a ordem destes seja modificada.

Há 1 matriz de permutação neste caso:

Permutação de um vetor de dimensão 2

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No caso de um vetor de dimensão dois, apenas 2 permutações são possíveis: a que mantêm o vetor idêntico e a que inverte a ordem de suas coordenadas.

Estas transformações são representadas pelas matrizes:

e

Permutação de um vetor de dimensão 3

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No espaço de dimensão 3, há 6 possíveis matrizes de permutação.

Um exemplo é a matriz

Aplicá-la a um vetor

significa multiplicar à esquerda:

Apenas a ordenação dos elementos foi alterada.

Não singular

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  • O determinante de uma matriz de permutação é sempre = ±1; e
  • ,

se é a transposta de .

Comportamento cíclico

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Permutações sequências com a mesma regra levarão ao estado inicial ciclicamente.

Ligações externas

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