Função homogênea: diferenças entre revisões
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:<math>f \left ( t x \right ) = t^{\color{red}h} f\left ( x \right )</math> <ref>INTRILIGATOR, Michael D. mathematical optimization and economic theory. Prentice Hall, 1971. Página 467.</ref> |
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Ou seja, uma função homogênea é aquela que, se sofrer transformação em suas variáveis, resulta em uma outra função que é proporcional à função original. |
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Se <math>f \left ( x_1, x_2, ..., x_n \right ) </math> é homogênea de grau <math> ''h''</math>, então, para qualquer n, a função de derivada parcial <math>\frac{\partial f \left ( x_1, x_2, ..., x_n \right )}{\partial x_n}</math> é homogênea de grau (h-1) <ref>MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry R. Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995, página 928.</ref><ref group="Nota">Note que a função constante, ''f(x) = c'', é homogênea em grau zero, e a função nula, ''f(x) = 0'', é homogênea em ''qualquer'' grau</ref> |
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Revisão das 01h02min de 28 de agosto de 2011
Em matemática, uma função f(x) é homogênea de grau h se:
Ou seja, uma função homogênea é aquela que, se sofrer transformação em suas variáveis, resulta em uma outra função que é proporcional à função original.
O conceito de função homogênea é essencial no tratamento da Análise Dimensional. Além disso, é fundamental em física: de acordo com o teorema da homogeneidade, também conhecido como teorema de Vashy-Buckingam, em toda a expressão, equação ou fórmula física, as dimensões de todos os seus termos devem ser idênticas (equação homogênea).[2]
Exemplos
- é uma função homogênea de grau 2, pois, se multpliplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos:
Ou seja, g é uma combinação linear da função inicial f.
- é uma função homogênea de grau 0, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos:
Homogeneidade em monômios
Em monômios, o grau de homogeneidade é deduzido diretamente. Isso é bastante útil para descobrir o grau de polinômio.
Seja a equação genérica de um monômio:
Se a for diferente de 0, esta equação terá grau n. Isso porque se se multiplicarmos a variável x por uma constante t, , obteremos um novo monômio (que chamaremos de g):
Derivadas de funções homogêneas
Se é homogênea de grau , então, para qualquer n, a função de derivada parcial é homogênea de grau (h-1) [3][Nota 1]
Notas e referências
Notas
- ↑ Note que a função constante, f(x) = c, é homogênea em grau zero, e a função nula, f(x) = 0, é homogênea em qualquer grau
Referências
- ↑ INTRILIGATOR, Michael D. mathematical optimization and economic theory. Prentice Hall, 1971. Página 467.
- ↑ LOPES, Hélio Bernardo. A importância da noção de função homogênea. Disponível em: <http://www.ensino.eu/em-artigo19.pdf>. Acesso em: 29 de março de 2011
- ↑ MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry R. Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995, página 928.