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Em matemática, uma matriz $m\times n$ é uma tabela de $m$ linhas e $n$ colunas de símbolos sobre um conjunto, normalmente um corpo, F, representada sob a forma de um quadro. As matrizes são muito utilizadas para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações lineares.

Organização de uma matriz

Notação

As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Logo uma matriz com $m$ linhas e $n$ colunas é chamada de uma matriz $m$ por $n$ (escreve-se $m\times n$) e $m$ e $n$ são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Por exemplo, a matriz a seguir é uma matriz de ordem $2\times 3$ com elementos naturais.

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}$

Um elemento de uma matriz $A$ que está na $i$-ésima linha e na $j$-ésima coluna é chamado de elemento $i,j$ ou $(i,j)$-ésimo elemento de $A.$ Ele é escrito como $a_{ij}$ ou $a[i,j]$. Nesse exemplo, o elemento $a_{12}$ é $2$, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}$

As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, $a_{ij}=i+j,$ para $i$ de 1 a 3 e $j$ de 1 a 2, define a matriz $A={\begin{bmatrix}2&3\\3&4\\4&5\end{bmatrix}},$ de ordem $3\times 2.$

Nas linguagens de programação, os elementos da matriz podem estar indexados a partir de 1 (Fortran, MATLAB, R, etc) ou a partir de 0 (C e seus dialetos). Por exemplo, o elemento $a(1,1)$ em Fortran corresponde ao elemento $a[0][0]$ em C.

Classificação de matrizes quanto ao número de colunas ou linhas

Matriz quadrada

Ver artigo principal: Matriz quadrada

Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que, $m$ tem a mesma quantidade de elementos que $n.$ Numa matriz quadrada $A$ de ordem $n\times n,$ a diagonal principal é aquela formada pelos elementos $a_{ij}$ tais que $i=j$, para $i$ de $1$ a $n.$

Vetor

Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente chamada de vetor. Uma matriz $1\times n$ (uma linha e $n$ colunas) é chamada de vetor linha ou matriz linha, e uma matriz $m\times 1$ (uma coluna e m linhas) é chamada de vetor coluna ou matriz coluna.

Classificação de matrizes quanto às suas propriedades

Tipo de matriz	é quadrada?	Tem inversa?	Qual é sua transposta?	Positiva/ negativa definida?
Matriz identidade $I_{n}$	Sempre	Sim, ela mesma: $I_{n}$	Ela mesma, $I_{n}$ (é uma matriz simétrica)	Sempre é positiva definida
Matriz inversa $B^{-1}$	Sempre	Sim, e é igual à matriz original, $B$	$\left({B}^{-1}\right)^{\intercal }$	Positiva definida se $B$ for positiva definida
Matriz singular $C$	Sempre	Nunca	$C^{\intercal }$
Matriz simétrica $D$	Sempre	Não necessariamente	$D^{\intercal }=D$	Negativa definida se e apenas se todos os valores característicos de $D$ forem negativos
Matriz transposta $E^{\intercal }$	Não necessariamente	Não necessariamente	$E$
Matriz positiva definida $F$	Sempre	Sim, e $F^{-1}$ também é positiva definida	$F^{\intercal }$	Sempre é positiva definida
Matriz negativa definida $G$	Sempre	Sim, e $G^{-1}$ também é negativa definida	$G^{\intercal }$	Sempre é negativa definida

Matriz identidade

Ver artigo principal: Matriz identidade

A matriz identidade $I_{n}$ é a matriz quadrada $n\times n$ em que todas as entradas da diagonal principal são iguais a 1 e as demais são iguais a zero, por exemplo

$I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}.$

Ela é chamada de matriz identidade pois multiplicá-la por outra matriz não altera a matriz:

$MI_{n}=I_{m}M=M,$

para qualquer matriz $M$ de ordem $m$ por $n$.

Matriz inversa

Ver artigo principal: Matriz inversa

Uma matriz $A^{-1}$ é dita inversa de uma matriz $A,$ se obedece às equações matriciais $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I,$ ou seja, se o produto entre as matrizes é a matriz identidade. A analogia com os números reais é evidente, pois assim como o produto entre dois números inversos é a unidade (elemento neutro da multiplicação), o produto entre duas matrizes inversas é a matriz identidade (elemento neutro da multiplicação entre matrizes). Uma matriz que possui inversa é dita inversível.

A condição necessária e suficiente para que uma matriz quadrada seja inversível é possuir um determinante não nulo, sendo que para uma dada matriz $A,$ a matriz inversa é única. A necessidade de possuir determinante não nulo é evidente na equação $\mathbf {A} ^{-1}=\det(\mathbf {A} )^{-1}\cdot {\mbox{adj}}(\mathbf {A} ),$ pois nela o determinante da matriz original é denominador de uma fração.

Matriz transposta

Ver artigo principal: matriz transposta

A matriz transposta de uma matriz $A_{m\times n}$ é a matriz $A_{n\times m}^{\intercal }$ em que $a_{ij}^{\intercal }=a_{ji},$ ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da linha $n,$ tornar-se-ão elementos da coluna $n.$ Exemplo: $A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}},A^{\intercal }={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}.$

Matriz simétrica

Ver artigo principal: Matriz simétrica

Uma matriz $A$ é simétrica se $A=A^{\intercal }.$ Isso só ocorre com matrizes quadradas.

Um tipo especial de matriz simétrica é a matriz idempotente.

Matriz positiva/negativa (semi)definida

Ver artigo principal: Matriz positiva definida

A classificação de uma matriz em positiva ou negativa definida ou semi-definida é similar à classificação dos números reais em positivos ou negativos.

Seja $M$ uma matriz quadrada de dimensão $n\times n$ e $z$ um vetor não nulo (ou seja, que tenha pelo menos um elemento diferente de zero) de dimensão $n\times 1.$ Note que se $n=1,$ temos a definição de número real positivo ou negativo.

Tipo de matriz	Semi-definida	Definida
Positiva	$M$ positiva semidefinida se $z^{\intercal }Mz\geq 0,\forall z\in \mathbb {R} ^{n}$	$M$ é positiva definida se $z^{\intercal }Mz>0,\forall z\in \mathbb {R} ^{n}$
Negativa	$M$ é negativa semidefinida se $z^{\intercal }Mz\leq 0,\forall z\in \mathbb {R} ^{n}$	$M$ é negativa definida se $zMz<0,\forall z\in \mathbb {R} ^{n}$

Operações envolvendo matrizes

Não se define adição ou subtração de um número com uma matriz, e nem divisões envolvendo matrizes.

Multiplicação por um escalar

A multiplicação por um escalar é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes. Para multiplicar um número $k$ qualquer por uma matriz $n\times m$ $A,$ basta multiplicar cada entrada $a_{ij}$ de $A$ por $k.$ Assim, a matriz resultante $B$ será também $n\times m$ e $b_{ij}=k\cdot a_{ij}.$ Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.

Por exemplo:

$2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 1&2\times 8&2\times -3\\2\times 4&2\times -2&2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}$

Adição e subtração entre matrizes

Ver artigo principal: Adição de matrizes

Dado as matrizes $A$ e $B$ do tipo $m$ por $n,$ sua soma $A+B$ é a matriz $m$ por $n$ computada adicionando os elementos correspondentes:

$(A+B)[i,j]=A[i,j]+B[i,j].$

Por exemplo:

${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}$

Para melhorar a forma de calcular, você pode reescrever a segunda matriz, revertendo seus elementos, onde o elemento (-1) passará para (1) e o elemento (2) passará para (-2) e assim sucessivamente. Após feito isso, além de fazer $A-B,$ você usará $A+B.$

Lembre-se: Você só pode fazer isso com uma matriz negativa, onde recebe o sinal negativo, por exemplo: em $-A+B,$ o $A$ que poderá ser reescrito.

Multiplicação de matrizes

Ver artigo principal: Produto de matrizes

Multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Se $A$ é uma matriz $m$ por $n$ e $B$ é uma matriz $n$ por $p,$ então seu produto $AB$ é a matriz $m$ por $p$ ($m$ linhas e $p$ colunas) dada por:

$(AB)[i,j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[n,j]$

para cada par $i$ e $j.$

Por exemplo:

${\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\(-1\times 3+3\times 2+1\times 1)&(-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}$

É importante notar que a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, existem matrizes $A$ e $B$ tais que $AB\not =BA.$

Propriedades

Determinante

Ver artigo principal: Determinante

O determinante é uma propriedade matricial útil na resolução de sistema de equações lineares (que sempre podem ser representados através de matrizes), além de outras aplicações matemáticas.

Transposta da multiplicação

Para respeitar a correspondência entre linhas e colunas de uma multiplicação, a transposta de uma multiplicação de matrizes é dada como a transposta de cada matriz multiplicada na ordem inversa.

Para o caso de duas matrizes:

$(A\cdot B)^{\intercal }=B^{\intercal }\cdot A^{\intercal }$

No caso de várias matrizes:

$(A\cdot B\cdot C\cdot \ldots \cdot N)^{\intercal }=N^{\intercal }\cdot \ldots \cdot B^{\intercal }\cdot A^{\intercal }.$

Característica

Ver artigo principal: Posto matricial

A característica ou posto de uma matriz é um inteiro não negativo que representa o número máximo de linhas (ou colunas) da matriz que são linearmente independentes.

Ver também

• Wikilivros

• O conjunto das matrizes $n\times m$ sobre um corpo $F$ com as operações de soma de matrizes e multiplicação de escalar por matriz forma um espaço vetorial de dimensão $nm$ sobre $F.$
• O espaço vetorial das matrizes $n\times n$ sobre um corpo $F$ com a operação de multiplicação de matrizes forma uma álgebra associativa com elemento identidade sobre o corpo $F.$
• O conceito de matriz pode ser generalizado para o de tensor. Assim como uma matriz $m\times n$ representa uma transformação linear de um espaço de dimensão $n$ em um espaço de dimensão $m$, um tensor representa uma transformação n-linear que leva $n_{1}$ vetores em $n_{2}.$

Referências

• Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. São Paulo: Atual. ISBN 9788570562975