Convexidade (economia): diferenças entre revisões

← Ver a alteração anterior Ver a alteração posterior →

Conteúdo apagado Conteúdo adicionado

Em linha

Revisão das 00h42min de 28 de setembro de 2011

Convexidade é um tópico importante de economia.^[1] No Modelo Arrow-Debreu do equilíbrio econômico geral, os agentes têm conjuntos orçamentários convexos e preferências convexas: Nos preços de equilíbrio, o hiperplano do orçamento contém a melhor curva de indiferença possível.^[2] A função de lucro é o conjugado convexo da função de custo.^[1]^[2] A análise convexa é a ferramenta padrão para analisar livros-texto de economia.^[1] Fenômenos não-convexos na economia têm sido estudados com a "análise não suavizada", que generaliza a análise convexa.^[3]

Preliminares

A economia depende das seguintes definições e resultados da geometria convexa.

Espaços vetoriais reais

Um conjunto convexo cobre o segmento de reta conectando dois de quaisquer de seus pontos.

Um conjunto não-convexo não consegue cobrir um ponto em um segmento de reta juntando dois de seus pontos.

Convexidade do teste de segmentos de reta.

Em um espaço vetorial real de duas dimensões pode ser definido um sistema de coordenadas cartesiano no qual todo ponto é identificado por uma lista de dois números reais, chamados de "coordenadas", que são denotados por convenção de x e y. Dois pontos no plano cartesiano podem ser somados como coordenadas

(x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂);

Além disso, um ponto pode ser multiplicado por cada número real λ como coordenadas

λ (x, y) = (λx, λy).

De modo mais geral, qualquer espaço vetorial real de dimensões (finitas) D pode ser visto como um conjunto de todas as possíveis listas de D números reais { (v₁, v₂, . . . , v_D) } juntos com duas operações: adição vetorial e multiplicação por um número real. Para espaços vetoriais com dimensões finitas, as operações de adição de vetores e multiplicação por números reais podem ser definidas em termos de coordenadas, seguindo o exemplo do plano cartesiano.

Conjuntos convexos

Em um espaço vetorial real, um conjunto é definido ser convexo se, para cada par de seus pontos, todo ponto no segmento de reta que as junta é coberta pelo conjunto. Por exemplo, um cubo sólido é convexo. No entanto, qualquer coisa que é oca ou com relevo, por exemplo, uma forma crescente, é não-convexa. Por sua vez, o conjunto vazio é convexo.

Mais formalmente, um conjunto Q é convexo se, para todos os pontos, v₀ and v₁ in Q e para cada número real λ no intervalo unitário [0,1], o ponto

(1 − λ) v₀ + λv₁

é um elemento de Q.

Por indução matemática, um conjunto Q é convexo se e somente se toda combinação convexa dos elementos de Q também pertence a Q. Por definição, uma combinação convexa de um subconjunto indexado {v₀, v₁, . . . , v_D} de um espaço vetorial é qualquer média ponderada λ₀v₀ + λ₁v₁ + . . . + λ_Dv_D, para algum conjunto indexado de números reais não-negativos {λ_d} que satisfazem a equação λ₀ + λ₁ + . . . + λ_D = 1

A definição de um conjunto convexo implica que a intersecção de dois conjuntos convexos é um conjunto convexo. De um modo mais geral, a intersecção de uma família de conjuntos convexos é um conjunto convexo.

Envoltória convexa

Para todo subconjunto Q de um espaço vetorial real, sua envoltória convexa Conv(Q) é o conjunto convexo mínimo que contém Q. Assim, Conv(Q) é a intersecção de todos os conjuntos convexos que cobre Q. A envoltória convexa de um conjunto pode ser equivalentemente definido como o conjunto de todas as combinações convexas de pontos em Q.

Dualidade: Intersecção de semi-espaços

O hiperplano de suporte é um conceito da geometria. Um hiperplano divide um espaço em dois meio-espaços. Diz-se que um hiperplano apoia um conjunto $S$ no espaço euclidiano $\mathbb {R} ^{n}$ se ele cumpre ambas as condições seguintes:

$S$ é inteiramente contido em um dos dois meio-espaços fechados determinados pelo hiperplano
$S$ tem pelo menos um ponto no hiperplano.

Aqui, um meio-espaço fechado é o meio-espaço que inclui o hiperplano.

Teorema de hiperplano de suporte

Este teorema diz que se $S$ é um conjunto convexo fechado no espaço euclidiano $\mathbb {R} ^{n},$ e $x$ é um ponto na fronteira de $S,$ , então existe um hiperplano de suporte que contém $x$ .

O hiperplano no teorema pode não ser único, como pode ser visto na segunda figura à direita. Se o conjunto fechado $S$ não é convexo, a afirmação do teorema não é verdadeira em todos os pontos da fronteira de $S,$ como ilustrado na terceira figura à direita.

Economia

Uma cesta ótima de bens ocorre onde o conjunto de preferências convexas do consumidor é apoiada pela restrição orçamentária, como mostrado no diagrama. Se o conjunto de preferências é convexo, então o conjunto de decisões ótimas do consumidor é um conjunto convexo, por exemplo, uma cesta única ótima (ou até mesmo um segmento de reta de cestas ótimas).

Para simplificar, devemos assumir que as preferências de um consumidor podem ser descritas por uma função de utilidade que é uma função contínua, o que implica que os conjuntos de preferências são fechados (Os significados de "conjunto fechado" é explicado abaixo, na subseção de aplicações de otimização).

Não-convexidade

Quando as preferências do consumidor têm concavidades, os orçamentos lineares não necessitam de um equilíbrio de suporte: Consumidores podem pular entre alocações.

Se um conjunto de preferências é não-convexo, então alguns preços produzem um orçamento que apoia duas diferentes decisões ótimas de consumo. Por exemplo, pode-se imaginar que, em um zoológico, um leão custa tanto quanto uma águia, e o orçamento é suficiente para apenas uma águia ou um leão. Pode-se supor também que o dono do zoológico vê cada animal como igualmente valiosos. Neste caso, o zoológico poderia comprar um leão ou uma águia. Obviamente, o dono do zoológico não deseja comprar a metade de cada um dos animais. Portanto, as preferências do dono do zoológico são não-convexas: ele prefere ter uma combinação estritamente convexa de ambos os animais.

Conjuntos não-convexos foram incorporados nas teorias do equilíbrio econômico geral, ^[4] de falhas de mercado,^[5] e de economia pública^[6] Esses resultados são descritos em livros-texto de microeconomia da graduação,^[7] teoria do equilíbrio geral,^[8] teoria dos jogos,^[9] economia matemática,^[10] e matemática aplicada (para economistas).^[11] Os resultados do lema de Shapley-Folkman estabelecem que não-convexidades são compatíveis com equilíbrios aproximados em mercados com muitos consumidores. Esses resultados também se aplicam a economias de produção com muitas pequenas firmas.^[12]

Em "oligopólios" (mercados dominados por poucos produtores), principalmente em "monopólios" (mercados por um produtor), as não-convexidades permanecem importantes.^[13] Preocupações quando a grandes produtores explorando o poder de mercado iniciaram de fato a literatura de conjuntos não-convexos, quando Piero Sraffa escreveu sobre firmas com retornos de escala crescentes em 1926,^[14] após o qual Harold Hotelling escreveu sobre custo marginal em 1938.^[15] Tanto Sraffa quanto Hotelling expuseram o poder de mercado dos produtores sem competidores, claramente estimulando uma literatura do lado da oferta da economia.^[16] Conjuntos não-convexos aparecem também com os bens ambientais (e com as externalidades),^[17]^[18] com economia da informação^[19] e com mercados de ações^[13] (e outros mercados incompletos).^[20]^[21] Tais aplicações continuaram a motivar os economistas a estudar conjuntos não-convexos.^[22]

Análise não suave

Os economistas tem cada vez mais estudado conjuntos não-convexos com análise não suave, que generaliza a análise convexa. "Não-convexidades na produção e consumo... requerem ferramentas matemáticas que vão além da convexidade, e seu desenvolvimento teve de esperar a invenção do cálculo não-suave", como descrito por Rockafellar Wets^[23] e Mordukhovich,^[24] de acordo com Khan.^[3] Brown escreveu que a "maior inovação metodológica na análise do equilíbrio geral das firmas com controle sobre os preços" era "a introdução de métodos de não-análise, como uma síntese da análise global (topologia diferencial) e da análise convexa." De acordo com Brown, "A análise não suave aumenta a aproximação local de variedades aos planos tangentes [e aumenta] a aproximação análoga de conjuntos convexos a cones tangentes" que podem ser não suaves ou não-convexos.^[25] Os economistas também têm usado a topologia algébrica.^[26]

Referências

↑ ^a ^b ^c Newman (1987c)
↑ ^a ^b Newman (1987d)
↑ ^a ^b Khan, M. Ali (2008). «Perfect competition». In: Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E., ed. The New Palgrave Dictionary of Economics Second ed. [S.l.]: Palgrave Macmillan. doi:10.1057/9780230226203.1267 Erro de citação: Código <ref> inválido; o nome "Khan" é definido mais de uma vez com conteúdos diferentes
↑ Pages 392–399 and page 188: Arrow, Kenneth J.; Hahn, Frank H. (1971). «Appendix B: Convex and related sets». General competitive analysis. Col: Mathematical economics texts [Advanced textbooks in economics] (em inglês). San Francisco, CA: Holden-Day, Inc. [North-Holland]. pp. 375–401. ISBN 0 444 85497 5. MR 439057

Pages 52–55 with applications on pages 145–146, 152–153, and 274–275: Mas-Colell, Andreu (1985). «1.L Averages of sets». The Theory of General Economic Equilibrium: A Differentiable Approach. Col: Econometric Society Monographs (em inglês). [S.l.]: Cambridge UP. ISBN 0-521-26514-2. MR 1113262

Theorem C(6) on page 37 and applications on pages 115-116, 122, and 168: Hildenbrand, Werner (1974). Core and equilibria of a large economy. Col: Princeton studies in mathematical economics (em inglês). Princeton, N.J.: Princeton University Press. pp. viii+251. ISBN 978-0691041896. MR 389160
↑ Pages 112–113 in Section 7.2 "Convexification by numbers" (and more generally pp. 107–115): Salanié, Bernard (2000). «7 Nonconvexities». Microeconomics of market failures English translation of the (1998) French Microéconomie: Les défaillances du marché (Economica, Paris) ed. Cambridge, MA: MIT Press. pp. 107–125. ISBN 0-262-19443-0, 978-0-262-19443-3 Verifique |isbn= (ajuda)
↑ Pages 63–65: Laffont, Jean-Jacques (1988). «3 Nonconvexities». Fundamentals of public economics. [S.l.]: MIT. ISBN 0-262-12127-1, 978-0-262-12127-9 Verifique |isbn= (ajuda)
↑ Varian, Hal R. (1992). «21.2 Convexity and size». Microeconomic Analysis 3rd ed. [S.l.]: W. W. Norton & Company. pp. 393–394. ISBN 978-0393957358. MR 1036734
Page 628: Mas–Colell, Andreu; Whinston, Michael D.; Green, Jerry R. (1995). «17.1 Large economies and nonconvexities». Microeconomic theory. [S.l.]: Oxford University Press. pp. 627–630. ISBN 978-0195073409
↑ Page 169 in the first edition: Starr, Ross M. (2011). «8 Convex sets, separation theorems, and non-convex sets in R^N». General equilibrium theory: An introduction Second ed. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521533867. MR 1462618
In Ellickson, page xviii, and especially Chapter 7 "Walras meets Nash" (especially section 7.4 "Nonconvexity" pages 306–310 and 312, and also 328–329) and Chapter 8 "What is Competition?" (pages 347 and 352): Ellickson, Bryan (1994). Competitive equilibrium: Theory and applications. [S.l.]: Cambridge University Press. 420 páginas. ISBN 9780521319881. doi:10.2277/0521319889
↑ Theorem 1.6.5 on pages 24–25: Ichiishi, Tatsuro (1983). Game theory for economic analysis. Col: Economic theory, econometrics, and mathematical economics. New York: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]. pp. x+164. ISBN 0-12-370180-5. MR 700688
↑ Pages 127 and 33–34: Cassels, J. W. S. (1981). «Appendix A Convex sets». Economics for mathematicians. Col: London Mathematical Society lecture note series. 62. Cambridge, New York: Cambridge University Press. pp. xi+145. ISBN 0-521-28614-X. MR 657578
↑ Pages 93–94 (especially example 1.92), 143, 318–319, 375–377, and 416: Carter, Michael (2001). Foundations of mathematical economics. Cambridge, MA: MIT Press. pp. xx+649. ISBN 0-262-53192-5. MR 1865841
Page 309: Moore, James C. (1999). Mathematical methods for economic theory: Volume I. Col: Studies in economic theory. 9. Berlin: Springer-Verlag. pp. xii+414. ISBN 3-540-66235-9. MR 1727000
Pages 47–48: Florenzano, Monique; Le Van, Cuong; in cooperation with Pascal Gourdel (2001). Col: Studies in economic theory. 13. Berlin: Springer-Verlag. pp. xii+154. ISBN 3-540-41516-5. MR 1878374 Texto "Finite dimensional convexity and optimization " ignorado (ajuda); Em falta ou vazio |título= (ajuda)
↑ Economistas estudaram conjuntos não-convexos usando matemátic avançada, principalmente geometria diferencial e topologia diferencial, Espaço de Baire, medida e integral, e teoria ergódica: Trockel, Walter (1984). Market demand: An analysis of large economies with nonconvex preferences. Col: Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. 223. Berlin: Springer-Verlag. pp. viii+205. ISBN 3-540-12881-6. MR 737006
↑ ^a ^b Page 1: Guesnerie, Roger (1975). «Pareto optimality in non-convex economies». Econometrica. 43. p. 1–29. JSTOR 1913410. MR 443877.<span class="noprint">[[JSTOR]] [http://www.jstor.org/stable/1913410 1913410]</span>. doi:10.2307/1913410 («Errata». Econometrica. 43 (5–6). 1975. p. 1010. JSTOR 1911353. MR 443878.<span class="noprint">[[JSTOR]] [http://www.jstor.org/stable/1911353 1911353]</span>. doi:10.2307/1911353 )
↑ Sraffa, Piero (1926). «The Laws of returns under competitive conditions». Economic Journal. 36 (144). pp. 535–550. JSTOR 2959866
↑ Hotelling, Harold (1938). «Econometrica». 6 (3). pp. 242–269. JSTOR 1907054
↑ Pages 5–7: Quinzii, Martine (1992). Increasing returns and efficiency Revised translation of (1988) Rendements croissants et efficacité economique. Paris: Editions du Centre National de la Recherche Scientifique ed. New York: Oxford University Press. pp. viii+165. ISBN 0-19-506553-0
↑ Pages 106, 110–137, 172, and 248: Baumol, William J.; Oates, Wallace E.; with contributions by V. S. Bawa and David F. Bradford (1988). «8 Detrimental externalities and nonconvexities in the production set». The Theory of environmental policy Second ed. Cambridge: Cambridge University Press. pp. x+299. ISBN 9780521311120. doi:10.2277/0521311128
↑ Starrett, David A. (1972). «Fundamental nonconvexities in the theory of externalities». Journal of Economic Theory. 4 (2). pp. 180–199. MR 449575. doi:10.1016/0022-0531(72)90148-2
Starrett discute não-convexidades em seu livro-texto sobre economia pública (páginas 33, 43, 48, 56, 70–72, 82, ;147, e 234–236): Starrett, David A. (1988). Foundations of public economics. Col: Cambridge economic handbooks. Cambridge: Cambridge University Press
↑ Radner, Roy (1968). «Competitive equilibrium under uncertainty». Econometrica. 36. pp. 31–53
↑ Page 270: Drèze, Jacques H. (1987). «14 Investment under private ownership: Optimality, equilibrium and stability». In: Drèze, J. H. Essays on economic decisions under uncertainty. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 261–297. ISBN 0-521-26484-7. MR 926685 (Originalmente publicado em Drèze, Jacques H. (1974). «Investment under private ownership: Optimality, equilibrium and stability». In: Drèze, J. H. Allocation under Uncertainty: Equilibrium and Optimality. New York: Wiley. pp. 129–165 )
↑ Page 371: Magill, Michael; Quinzii, Martine (1996). «6 Production in a finance economy». The Theory of incomplete markets. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. pp. 329–425
↑ Mas-Colell, A. (1987). «Non-convexity». In: Eatwell, John; Milgate, Murray; Newman, Peter. The New Palgrave: A Dictionary of Economics (PDF) first ed. [S.l.]: Palgrave Macmillan. pp. 653–661. doi:10.1057/9780230226203.3173 Parâmetro desconhecido |newedition= ignorado (ajuda)
↑ Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J-B (1998). Variational analysis. Col: Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. 317. Berlin: Springer-Verlag. pp. xiv+733. ISBN 3-540-62772-3. MR 1491362
↑ Chapter 8 "Applications to economics", especially Section 8.5.3 "Enter nonconvexity" (and the remainder of the chapter), particularly page 495:
Mordukhovich, Boris S. (2006). Variational analysis and generalized differentiation II: Applications. Col: Grundlehren Series (Fundamental Principles of Mathematical Sciences). 331. [S.l.]: Springer. pp. i–xxii and 1–610. MR 2191745
↑ Brown, Donald J. (1991). «36 Equilibrium analysis with non-convex technologies». In: Hildenbrand, Werner; Sonnenschein, Hugo. Handbook of mathematical economics, Volume IV. Col: Handbooks in Economics. 1. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. p. 1966. ISBN 0-444-87461-5. MR 1207195. doi:10.1016/S1573-4382(05)80011-6
↑ Chichilnisky, G. (1993). «Intersecting families of sets and the topology of cones in economics» (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society (New Series). 29 (2). pp. 189–207. MR 1218037. doi:10.1090/S0273-0979-1993-00439-7

Bibliografia

Blume, Lawrence E. (2008c). «Convexity». In: Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E. The New Palgrave Dictionary of Economics Second ed. [S.l.]: Palgrave Macmillan. doi:10.1057/9780230226203.0315
Blume, Lawrence E. (2008cp). «Convex programming». In: Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E. The New Palgrave Dictionary of Economics Second ed. [S.l.]: Palgrave Macmillan. doi:10.1057/9780230226203.0314 Verifique data em: |ano= (ajuda)
Blume, Lawrence E. (2008d). «Duality». In: Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E. The New Palgrave Dictionary of Economics Second ed. [S.l.]: Palgrave Macmillan. doi:10.1057/9780230226203.0411
Crouzeix, J.-P. (2008). «Quasi-concavity». In: Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E. The New Palgrave Dictionary of Economics Second ed. [S.l.]: Palgrave Macmillan. doi:10.1057/9780230226203.1375
Diewert, W. E. (1982). «12 Duality approaches to microeconomic theory». In: Arrow, Kenneth Joseph; Intriligator, Michael D. Handbook of mathematical economics, Volume II. Col: Handbooks in economics. 1. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. pp. 535–599. ISBN 978-0-444-86127-6. MR 648778. doi:10.1016/S1573-4382(82)02007-4
Green, Jerry; Heller, Walter P. (1981). «1 Mathematical analysis and convexity with applications to economics». In: Arrow, Kenneth Joseph; Intriligator, Michael D. Handbook of mathematical economics, Volume I. Col: Handbooks in economics. 1. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. pp. 15–52. ISBN 0-444-86126-2. MR 634800. doi:10.1016/S1573-4382(81)01005-9
Luenberger, David G. Microeconomic Theory, McGraw-Hill, Inc., New York, 1995.
Mas-Colell, A. (1987). «Non-convexity». In: Eatwell, John; Milgate, Murray; Newman, Peter. The New Palgrave: A Dictionary of Economics (PDF) first ed. [S.l.]: Palgrave Macmillan. pp. 653–661. doi:10.1057/9780230226203.3173 Parâmetro desconhecido |newedition= ignorado (ajuda)
Newman, Peter (1987c). «Convexity». In: Eatwell, John; Milgate, Murray; Newman, Peter. The New Palgrave: A Dictionary of Economics first ed. [S.l.]: Palgrave Macmillan. doi:10.1057/9780230226203.2282 Parâmetro desconhecido |newedition= ignorado (ajuda)
Newman, Peter (1987d). «Duality». In: Eatwell, John; Milgate, Murray; Newman, Peter. The New Palgrave: A Dictionary of Economics first ed. [S.l.]: Palgrave Macmillan. doi:10.1057/9780230226203.2412 Parâmetro desconhecido |newedition= ignorado (ajuda)
Rockafellar, R. Tyrrell (1997). Convex analysis. Col: Princeton landmarks in mathematics Reprint of the 1979 Princeton mathematical series 28 ed. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. xviii+451. ISBN 0-691-01586-4 Parâmetro desconhecido |name= ignorado (ajuda)
Schneider, Rolf (1993). Convex bodies: The Brunn–Minkowski theory. Col: Encyclopedia of mathematics and its applications. 44. Cambridge: Cambridge University Press. pp. xiv+490. ISBN 0-521-35220-7. MR 1216521

Notas

Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Convexity in economics».

[Newman1987c-1] Newman (1987c)

[Newman1987d-2] Newman (1987d)

[Khan-3] Khan, M. Ali (2008). «Perfect competition». In: Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E., ed. The New Palgrave Dictionary of Economics Second ed. [S.l.]: Palgrave Macmillan. doi:10.1057/9780230226203.1267 Erro de citação: Código <ref> inválido; o nome "Khan" é definido mais de uma vez com conteúdos diferentes

[4] Pages 392–399 and page 188: Arrow, Kenneth J.; Hahn, Frank H. (1971). «Appendix B: Convex and related sets». General competitive analysis. Col: Mathematical economics texts [Advanced textbooks in economics] (em inglês). San Francisco, CA: Holden-Day, Inc. [North-Holland]. pp. 375–401. ISBN 0 444 85497 5. MR 439057

Pages 52–55 with applications on pages 145–146, 152–153, and 274–275: Mas-Colell, Andreu (1985). «1.L Averages of sets». The Theory of General Economic Equilibrium: A Differentiable Approach. Col: Econometric Society Monographs (em inglês). [S.l.]: Cambridge UP. ISBN 0-521-26514-2. MR 1113262

Theorem C(6) on page 37 and applications on pages 115-116, 122, and 168: Hildenbrand, Werner (1974). Core and equilibria of a large economy. Col: Princeton studies in mathematical economics (em inglês). Princeton, N.J.: Princeton University Press. pp. viii+251. ISBN 978-0691041896. MR 389160

[5] Pages 112–113 in Section 7.2 "Convexification by numbers" (and more generally pp. 107–115): Salanié, Bernard (2000). «7 Nonconvexities». Microeconomics of market failures English translation of the (1998) French Microéconomie: Les défaillances du marché (Economica, Paris) ed. Cambridge, MA: MIT Press. pp. 107–125. ISBN 0-262-19443-0, 978-0-262-19443-3 Verifique |isbn= (ajuda)

[6] Pages 63–65: Laffont, Jean-Jacques (1988). «3 Nonconvexities». Fundamentals of public economics. [S.l.]: MIT. ISBN 0-262-12127-1, 978-0-262-12127-9 Verifique |isbn= (ajuda)

[7] Varian, Hal R. (1992). «21.2 Convexity and size». Microeconomic Analysis 3rd ed. [S.l.]: W. W. Norton & Company. pp. 393–394. ISBN 978-0393957358. MR 1036734
Page 628: Mas–Colell, Andreu; Whinston, Michael D.; Green, Jerry R. (1995). «17.1 Large economies and nonconvexities». Microeconomic theory. [S.l.]: Oxford University Press. pp. 627–630. ISBN 978-0195073409

[8] Page 169 in the first edition: Starr, Ross M. (2011). «8 Convex sets, separation theorems, and non-convex sets in R^N». General equilibrium theory: An introduction Second ed. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521533867. MR 1462618
In Ellickson, page xviii, and especially Chapter 7 "Walras meets Nash" (especially section 7.4 "Nonconvexity" pages 306–310 and 312, and also 328–329) and Chapter 8 "What is Competition?" (pages 347 and 352): Ellickson, Bryan (1994). Competitive equilibrium: Theory and applications. [S.l.]: Cambridge University Press. 420 páginas. ISBN 9780521319881. doi:10.2277/0521319889

[9] Theorem 1.6.5 on pages 24–25: Ichiishi, Tatsuro (1983). Game theory for economic analysis. Col: Economic theory, econometrics, and mathematical economics. New York: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]. pp. x+164. ISBN 0-12-370180-5. MR 700688

[10] Pages 127 and 33–34: Cassels, J. W. S. (1981). «Appendix A Convex sets». Economics for mathematicians. Col: London Mathematical Society lecture note series. 62. Cambridge, New York: Cambridge University Press. pp. xi+145. ISBN 0-521-28614-X. MR 657578

[11] Pages 93–94 (especially example 1.92), 143, 318–319, 375–377, and 416: Carter, Michael (2001). Foundations of mathematical economics. Cambridge, MA: MIT Press. pp. xx+649. ISBN 0-262-53192-5. MR 1865841
Page 309: Moore, James C. (1999). Mathematical methods for economic theory: Volume I. Col: Studies in economic theory. 9. Berlin: Springer-Verlag. pp. xii+414. ISBN 3-540-66235-9. MR 1727000
Pages 47–48: Florenzano, Monique; Le Van, Cuong; in cooperation with Pascal Gourdel (2001). Col: Studies in economic theory. 13. Berlin: Springer-Verlag. pp. xii+154. ISBN 3-540-41516-5. MR 1878374 Texto "Finite dimensional convexity and optimization " ignorado (ajuda); Em falta ou vazio |título= (ajuda)

[12] Economistas estudaram conjuntos não-convexos usando matemátic avançada, principalmente geometria diferencial e topologia diferencial, Espaço de Baire, medida e integral, e teoria ergódica: Trockel, Walter (1984). Market demand: An analysis of large economies with nonconvex preferences. Col: Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. 223. Berlin: Springer-Verlag. pp. viii+205. ISBN 3-540-12881-6. MR 737006

[GuesnerieNonConvex-13] Page 1: Guesnerie, Roger (1975). «Pareto optimality in non-convex economies». Econometrica. 43. p. 1–29. JSTOR 1913410. MR 443877.<span class="noprint">[[JSTOR]] [http://www.jstor.org/stable/1913410 1913410]</span>. doi:10.2307/1913410 («Errata». Econometrica. 43 (5–6). 1975. p. 1010. JSTOR 1911353. MR 443878.<span class="noprint">[[JSTOR]] [http://www.jstor.org/stable/1911353 1911353]</span>. doi:10.2307/1911353 )

[14] Sraffa, Piero (1926). «The Laws of returns under competitive conditions». Economic Journal. 36 (144). pp. 535–550. JSTOR 2959866

[15] Hotelling, Harold (1938). «Econometrica». 6 (3). pp. 242–269. JSTOR 1907054

[16] Pages 5–7: Quinzii, Martine (1992). Increasing returns and efficiency Revised translation of (1988) Rendements croissants et efficacité economique. Paris: Editions du Centre National de la Recherche Scientifique ed. New York: Oxford University Press. pp. viii+165. ISBN 0-19-506553-0

[17] Pages 106, 110–137, 172, and 248: Baumol, William J.; Oates, Wallace E.; with contributions by V. S. Bawa and David F. Bradford (1988). «8 Detrimental externalities and nonconvexities in the production set». The Theory of environmental policy Second ed. Cambridge: Cambridge University Press. pp. x+299. ISBN 9780521311120. doi:10.2277/0521311128

[18] Starrett, David A. (1972). «Fundamental nonconvexities in the theory of externalities». Journal of Economic Theory. 4 (2). pp. 180–199. MR 449575. doi:10.1016/0022-0531(72)90148-2
Starrett discute não-convexidades em seu livro-texto sobre economia pública (páginas 33, 43, 48, 56, 70–72, 82, ;147, e 234–236): Starrett, David A. (1988). Foundations of public economics. Col: Cambridge economic handbooks. Cambridge: Cambridge University Press

[19] Radner, Roy (1968). «Competitive equilibrium under uncertainty». Econometrica. 36. pp. 31–53

[20] Page 270: Drèze, Jacques H. (1987). «14 Investment under private ownership: Optimality, equilibrium and stability». In: Drèze, J. H. Essays on economic decisions under uncertainty. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 261–297. ISBN 0-521-26484-7. MR 926685 (Originalmente publicado em Drèze, Jacques H. (1974). «Investment under private ownership: Optimality, equilibrium and stability». In: Drèze, J. H. Allocation under Uncertainty: Equilibrium and Optimality. New York: Wiley. pp. 129–165 )

[21] Page 371: Magill, Michael; Quinzii, Martine (1996). «6 Production in a finance economy». The Theory of incomplete markets. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. pp. 329–425

[MCNC-22] Mas-Colell, A. (1987). «Non-convexity». In: Eatwell, John; Milgate, Murray; Newman, Peter. The New Palgrave: A Dictionary of Economics (PDF) first ed. [S.l.]: Palgrave Macmillan. pp. 653–661. doi:10.1057/9780230226203.3173 Parâmetro desconhecido |newedition= ignorado (ajuda)

[23] Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J-B (1998). Variational analysis. Col: Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. 317. Berlin: Springer-Verlag. pp. xiv+733. ISBN 3-540-62772-3. MR 1491362

[Mordukhovich2-24] Chapter 8 "Applications to economics", especially Section 8.5.3 "Enter nonconvexity" (and the remainder of the chapter), particularly page 495:
Mordukhovich, Boris S. (2006). Variational analysis and generalized differentiation II: Applications. Col: Grundlehren Series (Fundamental Principles of Mathematical Sciences). 331. [S.l.]: Springer. pp. i–xxii and 1–610. MR 2191745

[25] Brown, Donald J. (1991). «36 Equilibrium analysis with non-convex technologies». In: Hildenbrand, Werner; Sonnenschein, Hugo. Handbook of mathematical economics, Volume IV. Col: Handbooks in Economics. 1. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. p. 1966. ISBN 0-444-87461-5. MR 1207195. doi:10.1016/S1573-4382(05)80011-6

[26] Chichilnisky, G. (1993). «Intersecting families of sets and the topology of cones in economics» (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society (New Series). 29 (2). pp. 189–207. MR 1218037. doi:10.1090/S0273-0979-1993-00439-7

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

@@ Linha 62: / Linha 62: @@
 [[Image:NonConvex.gif|thumb|right|Quando as preferências do consumidor têm concavidades, os orçamentos lineares não necessitam de um equilíbrio de suporte: Consumidores podem pular entre alocações.]]
 Se um conjunto de preferências é não-convexo, então alguns preços produzem um orçamento que apoia duas diferentes decisões ótimas de consumo. Por exemplo, pode-se imaginar que, em um zoológico, um leão custa tanto quanto uma águia, e o orçamento é suficiente para apenas uma águia ou um leão. Pode-se supor também que o dono do zoológico vê cada animal como igualmente valiosos. Neste caso, o zoológico poderia comprar um leão ou uma águia. Obviamente, o dono do zoológico não deseja comprar a metade de cada um dos animais. Portanto, as preferências do dono do zoológico são não-convexas: ele prefere ter uma combinação estritamente convexa de ambos os animais.
+Conjuntos não-convexos foram incorporados nas teorias do equilíbrio econômico geral, <ref>Pages&nbsp;392–399 and  page&nbsp;188: {{cite book |last1=Arrow |first1=Kenneth&nbsp;J. |authorlink1=Kenneth Arrow |last2=Hahn |first2=Frank&nbsp;H. |authorlink2=Frank Hahn |year=1971 |chapter=Appendix&nbsp;B: Convex and related sets |title=General competitive analysis |publisher=Holden-Day, Inc. [North-Holland] |pages=375–401 |mr=439057 |series=Mathematical&nbsp;economics texts [Advanced textbooks in economics] |number=6 [12] |location=San&nbsp;Francisco,&nbsp;CA |isbn=0 444 85497 5|language=inglês}}</p>  <p> Pages&nbsp;52–55 with applications on pages&nbsp;145–146,&nbsp;152–153, and&nbsp;274–275: {{cite book |last=Mas-Colell |first=Andreu |authorlink=Andreu Mas-Colell |year=1985 |chapter=1.L Averages of sets |title=The Theory of General Economic Equilibrium: A ''Differentiable'' Approach |series=Econometric&nbsp;Society Monographs |number=9 |publisher=Cambridge&nbsp;UP |isbn=0-521-26514-2 |mr=1113262|language=inglês}}</p>  <p> Theorem C(6) on page&nbsp;37 and applications on pages&nbsp;115-116,&nbsp;122, and&nbsp;168: {{cite book |last=Hildenbrand |first=Werner |authorlink=Werner Hildenbrand |title=Core and equilibria of a large economy |series=Princeton studies in mathematical economics |number=5 |publisher=Princeton&nbsp;University Press |location=Princeton,&nbsp;N.J. |year=1974 |pages=viii+251 |isbn=978-0691041896 |mr=389160|language=inglês}} </p></ref> de [[falha de mercado|falhas de mercado]],<ref>Pages 112–113 in Section&nbsp;7.2 "Convexification by numbers" (and more generally pp.&nbsp;107–115): {{cite book |last=Salanié |first=Bernard |chapter=7 Nonconvexities |title=Microeconomics of market failures |edition=English translation of the (1998) French ''Microéconomie: Les défaillances du&nbsp;marché'' (Economica, Paris) |year=2000 |publisher=MIT&nbsp;Press |location=Cambridge,&nbsp;MA |pages=107–125 |isbn=0-262-19443-0, 978-0-262-19443-3}}</ref> e de [[economia pública]]<ref>Pages&nbsp;63–65: {{cite book |last=Laffont |first=Jean-Jacques |authorlink=Jean-Jacques Laffont |year=1988 |chapter=3 Nonconvexities |title=Fundamentals of public economics |url=http://books.google.com/books?q=editions:ISBN0262121271&id=O5MnAQAAIAAJ |publisher=[http://mitpress.mit.edu/catalog/item/default.asp?ttype=2&tid=7534 MIT]|isbn=0-262-12127-1, 978-0-262-12127-9}}</ref> Esses resultados são descritos em livros-texto de [[microeconomia]] da graduação,<ref>{{cite book |authorlink=Hal Varian |last=Varian |first=Hal&nbsp;R. |chapter=21.2&nbsp;Convexity and size |pages=393–394 |title=Microeconomic Analysis |publisher=W.&nbsp;W.&nbsp;Norton&nbsp;& Company |edition=3rd |year=1992 |isbn=978-0393957358 |mr=1036734}} <p> Page 628: {{cite book |last1=Mas–Colell |first1=Andreu |authorlink=Andreu Mas-Colell |last2=Whinston |first2=Michael&nbsp;D. |first3=Jerry&nbsp;R. |last3=Green |chapter=17.1 Large&nbsp;economies and nonconvexities |title=Microeconomic theory |publisher=Oxford&nbsp;University Press |year=1995 |pages=627–630 |isbn=978-0195073409}}</ref> teoria do equilíbrio geral,<ref>Page&nbsp;169 in the first edition: {{cite book |last=Starr |first=Ross&nbsp;M. |chapter=8 Convex sets, separation theorems, and non-convex sets in&nbsp;'''R'''<sup>N</sup> |title=General&nbsp;equilibrium theory: An introduction |edition=Second |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge |year=2011 |pages= |isbn=9780521533867 |mr=1462618}} <p> In Ellickson, page&nbsp;xviii, and especially Chapter&nbsp;7 "Walras meets Nash" (especially section&nbsp;7.4 "Nonconvexity" pages&nbsp;306–310 and&nbsp;312, and also&nbsp;328–329) and Chapter&nbsp;8 "What is Competition?" (pages&nbsp;347 and&nbsp;352): {{cite book |title=Competitive equilibrium: Theory and applications |first=Bryan |last=Ellickson |publisher=Cambridge University Press |isbn=9780521319881 |doi=10.2277/0521319889 |year=1994 |pages=420}} </p>
+</ref> [[teoria dos jogos]],<ref>Theorem&nbsp;1.6.5 on pages&nbsp;24–25: {{cite book |last=Ichiishi |first=Tatsuro |title=Game theory for economic analysis |series=Economic theory, econometrics, and mathematical economics |publisher=Academic Press,&nbsp;Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers] |location=New&nbsp;York |year=1983 |pages=x+164 |isbn=0-12-370180-5 |mr=700688}}</ref> [[economia matemática]],<ref>Pages 127 and 33–34: {{cite book |last=Cassels |first=J.&nbsp;W.&nbsp;S. |authorlink=J. W. S. Cassels |chapter=Appendix&nbsp;A Convex&nbsp;sets |title=Economics for mathematicians |series=London&nbsp;Mathematical&nbsp;Society lecture&nbsp;note series |volume=62 |publisher=Cambridge&nbsp;University Press |location=Cambridge, New&nbsp;York |year=1981 |pages=xi+145 |isbn=0-521-28614-X |mr=657578}}</ref> e matemática aplicada (para economistas).<ref>Pages&nbsp;93–94 (especially example&nbsp;1.92),&nbsp;143,&nbsp;318–319,&nbsp;375–377, and&nbsp;416: {{cite book |last=Carter |first=Michael |title=Foundations of mathematical economics |publisher=MIT&nbsp;Press |location=Cambridge,&nbsp;MA |year=2001 |pages=xx+649 |isbn=0-262-53192-5 |mr=1865841}} <p> Page 309: {{cite book |last=Moore |first=James&nbsp;C. |title=Mathematical methods for economic theory: Volume&nbsp;'''I'''
+|series=Studies in economic theory |volume=9 |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin |year=1999 |pages=xii+414 |isbn=3-540-66235-9 |mr=1727000}} <p> Pages 47–48: {{cite book |mr=1878374 |last1=Florenzano |first1=Monique |last2=Le&nbsp;Van |first2=Cuong |Finite dimensional convexity and optimization |author3<!-- not an author -->=in cooperation with Pascal Gourdel |series=Studies in economic theory |volume=13 |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin |year=2001 |pages=xii+154 |isbn=3-540-41516-5}}</ref> Os resultados do [[lema de Shapley-Folkman]] estabelecem que não-convexidades são compatíveis com equilíbrios aproximados em mercados com muitos consumidores. Esses resultados também se aplicam a [[produção (economia)|economias de produção]] com muitas pequenas [[negócio|firmas]].<ref>Economistas estudaram conjuntos não-convexos usando matemátic avançada, principalmente [[geometria diferencial]] e [[topologia diferencial]], [[Espaço de Baire]], [[medida (matemática)|medida]] e [[integral]], e [[teoria ergódica]]: {{cite book |last=Trockel |first=Walter |title=Market&nbsp;demand: An analysis of large&nbsp;economies with nonconvex&nbsp;preferences |series=Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems |volume=223 |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin |year=1984 |pages=viii+205 |isbn=3-540-12881-6 |mr=737006}}</ref>
+Em "[[oligopólio|oligopólios]]" (mercados dominados por poucos produtores), principalmente em "[[monopólio|monopólios]]" (mercados por um produtor), as não-convexidades permanecem importantes.<ref name="GuesnerieNonConvex" >Page 1: {{cite article |last=Guesnerie |first=Roger |authorlink=Roger Guesnerie |title=Pareto optimality in non-convex economies |journal=Econometrica |volume=43 |year=1975 |page=1–29 |jstor=1913410 |doi=10.2307/1913410 |mr=443877.{{jstor|1913410}}|ref=harv}} ({{cite article |<!-- last=Guesnerie |first=Roger |authorlink=Roger Guesnerie --> |title=Errata<!-- : "Pareto optimality in non-convex economies" (''Econometrica'' 43 (1975), 1–29) --> |journal=Econometrica |volume=43 |year=1975 |number=5–6 |page=1010 |jstor=1911353 |doi=10.2307/1911353 |mr=443878.{{jstor|1911353}}|}})</ref> Preocupações quando a grandes produtores explorando o poder de mercado iniciaram de fato a literatura de conjuntos não-convexos, quando [[Piero Sraffa]] escreveu sobre firmas com [[retornos de escala]] crescentes em 1926,<ref>{{cite article |last=Sraffa |first=Piero |authorlink=Piero Sraffa |year=1926 |title=The Laws of returns under competitive conditions |journal=Economic Journal |volume=36 |number=144 |pages=535-550 |jstor=2959866 |jstor=2959866 |ref=harv}}</ref> após o qual [[Harold Hotelling]] escreveu sobre [[custo marginal]] em 1938.<ref>{{cite article |first=Harold |last=Hotelling |authorlink=Harold Hotelling |title=The General welfare in relation to problems of taxation and of railway and utility rates |title=Econometrica |volume=6 |number=3 |month=July |year=1938 |pages=242–269 | jstor=1907054 |jstor=1907054}}</ref> Tanto Sraffa quanto Hotelling expuseram o [[poder de mercado]] dos produtores sem competidores, claramente estimulando uma literatura do lado da oferta da economia.<ref>Pages 5–7: {{cite book |last=Quinzii |first=Martine |title=Increasing returns and efficiency |location=New York |publisher=Oxford University Press |year=1992 |edition=Revised translation of (1988) ''Rendements croissants et efficacité economique''. Paris: Editions du Centre National de la Recherche Scientifique |pages=viii+165 |isbn=0-19-506553-0}}</ref> Conjuntos não-convexos aparecem também com os [[economia ambiental|bens ambientais]] (e com as [[externalidade]]s),<ref>Pages 106, 110–137, 172, and 248: {{cite book |title=The Theory of environmental policy |edition=Second |first1=William&nbsp;J. |last1=Baumol |authorlink1=William Baumol |last2=Oates |first2=Wallace&nbsp;E. |isbn=9780521311120 |doi=10.2277/0521311128 |year=1988 |pages=x+299 |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge |author3=with contributions by V.&nbsp;S.&nbsp;Bawa and David&nbsp;F.&nbsp;Bradford |chapter=8 Detrimental externalities and nonconvexities in the production set |ref=harv}}
+</ref><ref>{{cite article |mr=449575 |last=Starrett |first=David&nbsp;A. |title=Fundamental nonconvexities in the theory of externalities |journal=Journal of Economic Theory |volume=4 |year=1972 |number=2 |pages=180–199 |url=http://www.sciencedirect.com/science/article/B6WJ3-4CYGBWD-NX/2/0f7447ebad01895b6e454dfee4ac481b |doi=10.1016/0022-0531(72)90148-2 |ref=harv}}<p>Starrett discute não-convexidades em seu livro-texto sobre [[economia pública]] (páginas 33, 43, 48, 56, 70–72, 82, ;147, e 234–236): {{cite book |last=Starrett |first=David&nbsp;A. |title=Foundations of public economics |series=Cambridge economic handbooks |volume= |year=1988 |number= |pages= |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge |url=http://books.google.com/books?id=R35yljdyyIkC&pg=PR11&dq=David+A.+Starrett,+public+economics#v=onepage&q=nonconvex%20OR%20nonconvexities&f=false |ref=harv}}<p/></ref> com [[economia da informação]]<ref>{{cite article |first=Roy |last=Radner |authorlink=Roy Radner |title=Competitive equilibrium under uncertainty |journal=Econometrica |volume=36 |year=1968 |pages=31–53 |ref=harv}} <!-- Apparently not [[Radner Equilibrium]]: {{cite journal |authorlink=Roy Radner |last=Radner |first=R. |year=1967 |title=Equilibre des marchés à terme et au comptant en cas d’incertitude [Equilibrium of temporal sequences of markets under uncertainty] |language=francês |journal=Cahiers du Séminaire d’Econométrie |volume=17 |pages=35-52 |}} e {{cite article |authorlink=Roy Radner |first=Roy |last=Radner |mr=381655 |title=Existence of equilibrium of plans, prices, and price expectations in a sequence of markets |journal=Econometrica |volume=40 |year=1972 |pages=289–304|language=inglês}} --></ref> e com [[mercado de ações|mercados de ações]]<ref name="GuesnerieNonConvex"/> (e outros [[mercado incompleto|mercados incompletos]]).<ref>Page 270: {{cite book |mr=926685 |last=Drèze |first=Jacques&nbsp;H. |authorlink=Jacques H. Drèze |title=Essays on economic decisions under uncertainty |publisher=Cambridge University Press |editor-last=Drèze |editor-first=J.&nbsp;H. |<!-- editor-link=Jacques H. Drèze -->location=Cambridge |year=1987 | pages=261–297<!-- xxviii+424 --> |isbn=0-521-26484-7 |chapter=14 Investment under private ownership: Optimality, equilibrium and stability |ref=harv}} (Originalmente publicado em {{cite book |last=Drèze |first=Jacques&nbsp;H. |authorlink=Jacques H. Drèze |year=1974 |chapter=Investment under private ownership: Optimality, equilibrium and stability |editor-last=Drèze |editor-first=J.&nbsp;H. |<!-- editor-link=Jacques H. Drèze --> |title=Allocation under Uncertainty: Equilibrium and Optimality |publisher=Wiley |location=New York |pages=129–165 |ref=harv}})</ref><ref>Page 371: {{cite book |last1=Magill |first1=Michael |last2=Quinzii |first2=Martine |year=1996 |chapter=6 Production in a finance economy |pages=329–425 |section=31 Partnerships |title=The Theory of incomplete markets |publisher=MIT Press |location=Cambridge, Massachusetts |ref=harv}}</ref> Tais aplicações continuaram a motivar os economistas a estudar conjuntos não-convexos.<ref name="MCNC">{{cite book |last=Mas-Colell |first=A. |authorlink=Andreu Mas-Colell |chapter=Non-convexity |title=The New Palgrave: A Dictionary of Economics |editor1-first=John |editor1-last=Eatwell |editor2-first=Murray |editor2-last=Milgate |editor3-first=Peter |editor3-last=Newman |publisher=Palgrave Macmillan |year=1987 |edition=first |newedition=The New Palgrave Dictionary of Economics Online |doi=10.1057/9780230226203.3173 |pages=653–661 |url=http://www.econ.upf.edu/~mcolell/research/art_083b.pdf |ref=harv}}
+</ref>
+===Análise não suave===
+Os economistas tem cada vez mais estudado conjuntos não-convexos com [[subderivada|análise não suave]], que generaliza a [[análise convexa]]. "Não-convexidades na produção e consumo... requerem ferramentas matemáticas que vão além da convexidade, e seu desenvolvimento teve de esperar a invenção do cálculo não-suave", como descrito por Rockafellar Wets<ref>{{cite book |last1=Rockafellar |first1=R.&nbsp;Tyrrell |authorlink1=R. Tyrrell Rockafellar |last2=Wets |first2=Roger&nbsp;<!-- NO PERIODS -->J-B |authorlink2=Roger J-B Wets |title=Variational analysis |series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] |volume=317 |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin |year=1998 |pages=xiv+733 |isbn=3-540-62772-3 |mr=1491362 |ref=harv}}</ref> e Mordukhovich,<ref name=Mordukhovich2>Chapter&nbsp;8 "Applications to economics", especially Section&nbsp;8.5.3 "Enter nonconvexity" (and the remainder of the chapter), particularly page&nbsp;495: <p>{{cite book |authorlink=Boris Mordukhovich |first=Boris S. |last=Mordukhovich |title=Variational analysis and generalized differentiation&nbsp;'''II''': Applications |series=Grundlehren Series (Fundamental Principles of Mathematical Sciences) |volume=331 |publisher=Springer |year=2006 |pages=i–xxii and&nbsp;1–610 |mr=2191745 |ref=harv}}<p/></ref> de acordo com Khan.<ref name="Khan" >{{cite book |last=Khan |first=M.&nbsp;Ali |chapter=Perfect competition |title=The New&nbsp;Palgrave Dictionary of Economics |editor-first=Steven&nbsp;N. |editor-last=Durlauf |editor2-first=Lawrence&nbsp;E.,&nbsp;ed. |editor2-last=Blume |publisher=Palgrave Macmillan |year=2008 |edition=Second |pages= |url=http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_P000056 |doi=10.1057/9780230226203.1267 |ref=harv}}</ref> Brown escreveu que a "maior inovação metodológica na análise do equilíbrio geral das firmas com controle sobre os preços" era "a introdução de métodos de não-análise, como uma síntese da análise global (topologia diferencial) e da análise convexa." De acordo com Brown, "A análise não suave aumenta a aproximação local de variedades aos planos tangentes [e aumenta] a aproximação análoga de conjuntos convexos a cones tangentes" que podem ser não suaves ou não-convexos.<ref>{{cite book |p=1966 |last=Brown |first=Donald&nbsp;J. |chapter=36 Equilibrium analysis with non-convex technologies |doi=10.1016/S1573-4382(05)80011-6 |url=http://www.sciencedirect.com/science/article/B7P5Y-4FKY4C6-C/2/0bd1a73374b0b690f702691e1f7fe671 |title=Handbook of mathematical economics, Volume&nbsp;'''IV''' |pages=1963–1995 |mr=1207195 |editor1-first=Werner |editor1-last=Hildenbrand |editor1-link=Werner Hildenbrand |editor2-first=Hugo |editor2-last=Sonnenschein |editor2-link=Hugo Sonnenschein |series=Handbooks in Economics |volume=1 |publisher=North-Holland Publishing&nbsp;Co |location=Amsterdam |year=1991 |isbn=0-444-87461-5<!-- The terminal "5" is correct, while Elsevier's on-line "0" is for volume 2 --> |ref=harv}}</ref> Os economistas também têm usado a [[homologia singular|topologia algébrica]].<ref>{{cite article |mr=1218037 |last=Chichilnisky |first=G. |authorlink=Graciela Chichilnisky |title=Intersecting families of sets and the topology of cones in economics |journal=Bulletin of the American Mathematical Society (New Series) |volume=29 |year=1993 |number=2 |pages=189–207 |doi=10.1090/S0273-0979-1993-00439-7 |url=http://www.ams.org/journals/bull/1993-29-02/S0273-0979-1993-00439-7/S0273-0979-1993-00439-7.pdf |ref=harv}}</ref>
 {{Referências}}

v d e Economia
Metodologia	Modelo econômico Sistemas económicos Microfundamentos Economia matemática Econometria Economia computacional Economia experimental
Macroeconomia	Expectativas adaptativas Balança de pagamentos Banco central Moeda Padrão-ouro Lei de Gresham Inflação Dinheiro Contabilidade nacional Modelo IS/LM Política orçamental Política monetária Paridade de poder de compra Propensão marginal a consumir Expectativas racionais Reaganomics Recessão Desemprego Monetarismo Nova economia clássica Nova keynesiana Lado da oferta Metas de inflação Economia política Capitalismo Socialismo Choque de oferta
Microeconomia	Agregado Análise custo-benefício Aversão ao risco Bem-estar Bem público Cesta de consumo Comércio Convexidade Curva de indiferença Custo-benefício Custo de oportunidade Custo marginal Custos irrecuperáveis Demanda agregada Discriminação de preços Duopólio Economia de escala Economia de escopo Elasticidade Equilíbrio de mercado Escassez Escolha intertemporal Excedente econômico Externalidades Forma de mercado Falha de mercado Incerteza Monopólio Monopólio bilateral Monopsônio Oferta e Demanda Lei da demanda Oligopólio Peso-morto Preços mínimos Preferência Superávite Teoria da escolha social Teoria do equilíbrio geral Teoria da firma Teoria do consumidor Utilidade
Sub-disciplinas	Comportamental Conhecimento Desenvolvimento Direito e Economia Engenharia Econômica Experimental Finanças públicas Geografia econômica História Informação Internacional Institucional Meio-ambiente Normativa Organização industrial Economia positiva Economia regional Psicologia econômica Sociologia econômica Trabalho Estatística Matemática financeira
Metodologia	Econometria Economia da linguagem Economia computacional
Escolas	Escola Austríaca Economia clássica Economia marxiana/marxista Economia neoclássica Escola keynesiana Neo-keynesiana Escola de Friburgo Escola de Chicago Supply-side Economia autista
Ideologias	Anarquista Capitalista Corporativista (Convencional e Heterodoxa) Georgista Laissez-faire Mercantilista Protecionista Sindicalista Socialista Socialismo de mercado Terceira via
Economistas	Adam Smith David Ricardo Karl Marx Ludwig von Mises Friedrich Hayek John Maynard Keynes Milton Friedman Paul Samuelson Henry George outros
Geral	Guerra econômica Economia da ciência Economia da paz História do pensamento económico Austeridade Ética econômica Economia na religião Lista de filmes sobre economia
Categoria Portal Commons