Aritmética de Heyting

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Na lógica matemática, aritmética de Heyting (às vezes abreviada como HA -sigla inglesa) é uma axiomatização de aritmética de acordo com a filosofia do intuicionismo.

Recebeu o nome de Arend Heyting, que a propôs primeiro.

A aritmética de Heyting adota o axioma da aritmética de Peano (PA -sigla inglesa), mas usa a lógica intuicionista como suas regras de inferência. Em particular, a lei do meio excluído não se contém em geral, embora um axioma de indução possa ser usado para provar muitos casos específicos. Por exemplo, é possível provar que x, yN : x = y &ou; xy é um teorema (quaisquer dois números naturais são ou igual um ao outro, ou não igual um ao outro). De fato, desde que o "=" é apenas símbolo de predicado na matemática de Heyting, ele então tem que, para qualquer fórmula livre de quantificador p, x, y, z, … ∈ N : p &ou; ¬p é um teorema (onde x,y,z… são variáveis livres em p).

Kurt Gödel estudou o relacionamento entre a aritmética de Heyting e a de Peano. Usou a tradução negativa de Gödel–Gentzen para provar em 1933 que se a HA é consistente, então a PA também é.

Aritmética Heyting não deveria ser confundida com as álgebra de Heyting, que são as análogas intuicionísticas da Álgebra booleana.

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