Matriz de coeficientes

Na álgebra linear, uma matriz de coeficientes é uma matriz que consiste nos coeficientes das variáveis em um conjunto de equações lineares. A matriz é usada na resolução de sistemas de equações lineares.

Matriz de coeficientes

Em geral, um sistema com $m$ equações lineares e $n$ incógnitas pode ser escrito como

$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\,$

$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\,$

$\vdots \,$

$a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\,$

onde $x_{1},\ x_{2},...,x_{n}$ são as incógnitas e os números $a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}$ são os coeficientes do sistema. A matriz de coeficientes é a matriz $m\mathrm {x} n$ com o coeficiente $a_{ij}$ como a (i, j)-ésima entrada:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}$

Então, o conjunto de equações acima pode ser expresso de forma mais sucinta como

$Ax=b$

onde $A$ é a matriz de coeficientes e $b$ é o vetor coluna de termos constantes.

Relação de suas propriedades com as propriedades do sistema de equações

Ver artigo principal: Teorema de Rouché-Capelli‎

Pelo teorema de Rouché-Capelli, o sistema de equações é inconsistente, o que significa que não tem soluções, se o posto da matriz aumentada (a matriz de coeficientes aumentada com uma coluna adicional consistindo do vetor $b$) for maior que o posto da matriz de coeficientes. Se, por outro lado, os postos dessas duas matrizes são iguais, o sistema deve ter pelo menos uma solução. A solução é única se e somente se o posto $p$ for igual ao número $n$ de variáveis. Caso contrário, a solução geral tem $n-p$ parâmetros livres; portanto, em tal caso, há uma infinidade de soluções, que podem ser encontradas impondo valores arbitrários em $n-p$ das variáveis e resolvendo o sistema resultante para sua solução única; diferentes escolhas de quais variáveis corrigir, e diferentes valores fixos delas, fornecem diferentes soluções de sistema.

Equações dinâmicas

Uma matriz de equações de diferenças de primeira ordem com termo constante pode ser escrita como

$y_{t+1}=Ay_{t}+c,$

onde $A$ é $n\mathrm {x} n$ e $y$ e $c$ são $n\mathrm {x} 1$. Este sistema converge para seu nível de estado estacionário de $y$ se e somente se os valores absolutos de todos os $n$ autovalores de $A$ forem menores que 1.

Uma matriz de equações diferenciais de primeira ordem com termo constante pode ser escrita como

${\frac {dy}{dt}}=Ay(t)+c.$

Este sistema é estável se e somente se todos os $n$ autovalores de $A$ tiverem partes reais negativas.