Subconjunto
Em teoria dos conjuntos, quando todo elemento de um conjunto é também elemento de um conjunto dizemos que é um subconjunto ou uma parte de ; e denotamos (lê-se: está contido em ; ou é subconjunto de ; ou é uma parte de ) ou ainda (lê-se: contém ; ou é superconjunto de ; ou tem como parte)[1]. Esta relação é conhecida por inclusão de conjuntos. Em linguagem simbólica,
Propriedades
- A inclusão de conjuntos é uma relação reflexiva, ou seja, qualquer que seja o conjunto .
- Realmente, a condicional é uma tautologia. Assim, tanto se como também se . E, por definição, .
- A inclusão de conjuntos é uma relação transitiva, ou seja, se e , então .
- Se , (e assumir que é irrelevante). Então, assuma que e seja . Por hipótese, e, pela definição de inclusão, . Assim, . Também por hipótese , isto é, se também . Em particular, para temos . Como era arbitrário, todo elemento de é também elemento de , ou seja, .
- A inclusão de conjuntos é uma relação anti-simétrica, ou seja, se e , então .
- De fato, isto é o que diz o axioma da extensão.
- Pelas três propriedades acima, dado um conjunto não-vazio e uma coleção de subconjuntos de , a relação de inclusão é uma relação de ordem parcial em .
- A inclusão de conjuntos é a relação de ordem parcial canônica — no sentido de que todo conjunto parcialmente ordenado (X, ) é isomorfo a alguma coleção de conjuntos ordenada pela inclusão. Os números ordinais constituem um exemplo simples — se cada ordinal é identificado com o conjunto de todos os ordinais menores ou igual a , então se e somente se .
Subconjunto próprio
Dizemos que um conjunto é um subconjunto próprio de um conjunto se ( é subconjunto de ) e ( é diferente de ). Explicitamos este fato com a notação especial ; ou ainda (lê-se: A é um superconjunto próprio de B). Isto quer dizer que está estritamente contido em , ou seja, existe pelo menos um tal que . Em particular, o conjunto vazio é um subconjunto próprio de todo conjunto não-vazio. E, evidentemente, é o único subconjunto de um conjunto que não é próprio. Assim, dizemos que é um subconjunto impróprio (superconjunto impróprio) de .
Exemplos
- O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto dado.
- O conjunto {1, 2} é um subconjunto próprio de {1, 2, 3}.
- O conjunto {x : x é um número primo maior do que 10} é um subconjunto próprio de {x : x é um número ímpar maior do que 10}.
- O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números inteiros, com a mesma cardinalidade.
- O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números reais, com cardinalidade inferior.
Ver também
Notas
- ↑ Uma notação alternativa para é subconjunto de , tão comum quanto , é . Similarmente, usa-se também para denotar que é superconjunto de .
Referências
- Jech, Thomas (2002). Set Theory. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2
Ligações externas
- "Subset", "Superset", "Proper Subset" e "Improper Subset" in MathWorld (em inglês)
- "Subset" in ProofWiki (em inglês)