Função exponencial

Esboço do gráfico de uma função exponencial.

Chama-se função exponencial a função ${\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}^{*}}$ tal que ${\textstyle f(x)=a^{x}}$ em que ${\textstyle a\in \mathbb {R} }$, ${\textstyle 0<a\neq 1}$. O número $a$ é chamado de base da função. A função exponencial ${\textstyle f(x)=a^{x}}$ pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se ${\textstyle a>1}$, a função é crescente. Caso ${\textstyle 0<a<1}$ a função é decrescente.

Definição formal

A função exponencial pode ser caracterizada como uma extensão do processo de potenciação para expoentes não inteiros. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência aⁿ indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é,

${{a^{n}=} \atop {\ }}{{\underbrace {a\times \cdots \times a} } \atop n},$

Esta definição implica as seguintes propriedades:

• $a^{n+m}=a^{n}a^{m};$
• $a^{nm}=\left(a^{n}\right)^{m}.$

A fim de estender estas propriedades para expoente zero, expoentes negativos e racionais, definem-se:

• $a^{0}=1,\quad \forall a\neq 0;$
• $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad \forall a\neq 0,~~n\in \mathbb {N} ;$
• $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}},\quad \forall a>0,~~n\in \mathbb {N} ;$
• $a^{\frac {n}{m}}={\sqrt[{m}]{a^{n}}},\quad \forall a>0,~~n\in \mathbb {Z} ~~m\in \mathbb {N} .$

A função exponencial pode ser então definida para todo expoente x através dos seguintes limites:

$a^{x}=\sup _{{\frac {n}{m}}<x}a^{\frac {n}{m}},a>1;$

$a^{x}=\inf _{{\frac {n}{m}}<x}a^{\frac {n}{m}},a<1.$

De fato, a função y = a^x é a única função contínua y=f(x) que satisfaz:

• $f(x+y)=f(x)f(y);$
• $f(1)=a.$

No entanto, mais comumente, a função exponencial é definida em termos da função exponencial natural e sua inversa, o logaritmo natural:

• $a^{x}=e^{\ln(a)x}.$

A função exponencial satisfaz sempre os seguintes axiomas básicos de definição:

• $a^{1}=a$
• $a^{x+y}=a^{x}a^{y},~~\forall x,y\in \mathbb {R}$

A partir destes axiomas, podemos extrair as seguintes propriedades operacionais:

1. $a^{0}={\frac {a^{1+0}}{a^{1}}}={\frac {a^{1}}{a^{1}}}=1,$
2. $a^{-x}={\frac {a^{(-x)+x}}{a^{x}}}={\frac {a^{0}}{a^{x}}}={\frac {1}{a^{x}}},~~\forall x\in \mathbb {R}$

Propriedades da função exponencial

Função exponencial crescente.

Função exponencial decrescente.

A função exponencial de base $a$, $f(x)=a^{x}$, tem as seguintes propriedades:

1. $f(x)>0$ para todo $x\in \mathbb {R}$;
2. $f(x)$ é função crescente se, e somente se, $a>1$;
3. $f(x)$ é função decrescente se, e somente se, $0<a<1$;
4. $f(x)$ é injetiva;
5. $f(x)$ é ilimitada superiormente;
6. $f(x)$ é contínua;
7. $f(x)$ é sobrejetiva;
8. $f(x)$ é bijetiva, isto é, possui uma função inversa, o logaritmo, denominada $\log _{a}(x)$.

Demonstrações das propriedades

Propriedade 1

Mostraremos, primeiro, que $f(x)\neq 0$ para todo $x\in \mathbb {R}$. Com efeito, notamos que $f(0)=1\neq 0$. Suponhamos, por contradição, que $f(x)=a^{x}=0$ para algum $x\neq 0$. Mas, daí temos $0=a^{x}a^{-x+1}=a>0$, uma contradição. Concluímos que $f(x)\neq 0$ para todo $x\in \mathbb {R}$.

Como consequência $f(x)>0$ para todo $x\in \mathbb {R}$, uma vez que $f(0)=a^{0}=1$.

Propriedade 2

Sejam $x,y\in \mathbb {R}$. Suponhamos, sem perda de generalidade, que $x<y$. Tomamos, então, $p>0\in \mathbb {R}$ tal que $y=x+p$. Segue que $a^{y}-a^{x}=a^{x+p}-a^{x}=a^{x}(a^{p}-1)$. Pela propriedade 1, temos $a^{x}>0$. Logo, $a^{x}<a^{y}$ se, e somente se, $a^{p}>1$. Como $p>0$, $a^{p}>1$ se, e somente se, $a>1$. Concluímos que, $f(x)<f(y)$ se, e somente se, $a>1$.

Propriedade 3

Segue raciocínio análogo à demonstração da propriedade 2.

Propriedade 4

Consequência imediata das propriedades 2 e 3.

Propriedade 5

Seja $f(x)=a^{x}$ com $a>1$. Tomamos $d\in \mathbb {R}$ tal que $a=1+d$. Assim, pela desigualdade de Bernoulli, temos $a^{n}>1+nd$. Logo, dado qualquer $L>0$, se escolhemos $x$ como o menor inteiro maior que ${\frac {L-1}{d}}$, temos $f(x)>L$, i.e. $f(x)$ é ilimitada superiormente. A demonstração é análoga para $0<a<1$.

Propriedade 6

Para qualquer $c\in \mathbb {R}$, temos $f(c)$ está bem definida. Além disso, temos:

$\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{h\to 0}f(c+h)=\lim _{h\to 0}a^{c+h}=\lim _{h\to 0}a^{c}a^{h}=a^{c}\lim _{h\to 0}a^{h}$

Como, $\lim _{h\to 0}a^{h}=1$, seque que:

$\lim _{x\to c}f(x)=f(c)$.

Lema

Dados um número real $a\neq 1$ e um intervalo $I=[c,~d]\subset \mathbb {R} _{+}^{*}$, com $d>c$, então existe um número racional $r\in \mathbb {Q}$ tal que $a^{r}\in I$.

Suponhamos, sem perda de generalidade, que $a,c>1$. Pelas propriedades 2 e 5, existe um número natural $n_{1}\in \mathbb {N}$ tal que:

$c<d<a^{n_{1}}$.

Como consequência, existe um número natural $n_{2}\in \mathbb {N}$ tal que:

$1<a<\left(1+{\frac {d-c}{a^{n_{1}}}}\right)^{n_{2}}$.

Daí, segue que:

$1<a^{\frac {1}{n_{2}}}<1+{\frac {d-c}{a^{n_{1}}}}\Rightarrow 0<a^{n_{1}}\left(a^{1/n_{2}}-1\right)<d-c$.

Assim:

${\frac {m}{n_{2}}}\leq n_{1}\Rightarrow a^{\frac {m}{n_{2}}}\left(a^{\frac {1}{n_{2}}}-1\right)=a^{\frac {m+1}{n_{2}}}-a^{\frac {m}{n_{2}}}<d-c$.

Desta forma, temos que:

$a^{0}<~a^{\frac {1}{n_{2}}}<~a^{\frac {2}{n_{2}}}<~\cdots <~a^{n_{1}}$

é uma sequência finita, cujos termos são extremos de intervalos consecutivos de tamanho menor que o do intervalo $I=[c,~d]$. Logo, pelo menos um dos termos desta sequência deve pertencer a $I$, i.e. para algum $m$, temos $a^{r}\in I$ com $r={\frac {m}{n_{2}}}$.

Propriedade 7

Seja $y\in \mathbb {R} _{+}^{*}$. Suponhamos que $a>1$. Usando o lema anterior construímos uma sequência não-decrescente limitada $(r_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ tal que $a^{r_{n}}\in \left[y-{\frac {1}{n}},~y\right]$. Pela completude dos números reais, temos que $r_{n}\to x$ quando $n\to \infty$. Segue da continuidade de $f(x)$ (propriedade 6), que:

$a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{r_{n}}=y$

i.e., dado $y\in \mathbb {R} _{+}^{*}$, existe $x\in \mathbb {R}$ tal que $f(x)=a^{x}=y$. A demonstração para $0<a<1$ segue raciocínio análogo.

Propriedade 8

Consequência imediata das propriedades 4 e 7.

A função exponencial natural

Ver artigo principal: função exponencial natural

Esboço do gráfico da função exponencial natural.

A função exponencial natural é a função exponencial cuja base é o número de Euler. Denotado por e^x ou exp(x), a função exponencial natural é uma das mais importantes funções da matemática e pode ser definida de pelo menos duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots$

$e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}$

Aqui, $n!$ corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.

O valor da base da exponencial natural, $e$, é aproximadamente $2{.}718281828$.

A exponencial natural satisfaz as seguinte propriedades:

• A função y = e^x é contínua e diferenciável para todo x.
• A derivada da função y = e^x é a própria função função y = e^x.
• A função y = e^x é positiva e crescente para todo número real x.
• e^x+y = e^x e^y
• A curva y = e^x jamais toca o eixo x, embora se aproxime de zero para valores negativos de x, isto é:

$\lim _{x\to -\infty }e^{x}=0$

• Os valores de y=e^x crescem ilimitadamente, isto é:

$\lim _{x\to +\infty }e^{x}=+\infty$

• A função y=e^x cresce mais rápido que qualquer potência, isto é, para todo n natural, temos:

$\lim _{x\to -\infty }x^{n}e^{x}=0.$

• A função $y=e^{x}$ é igual a sua derivada, i.e.:

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}e^{x}=e^{x}$.

Usando o logaritmo natural, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:

$a^{x}=e^{x\ln a}$

Para todo a > 0 e $x\in \mathbb {R} .$

Derivada e integral da função exponencial

Comportamento da função exponencial.

A derivada da função exponencial de base $a$, $f(x)=a^{x}$ é dada por:

${\frac {d}{dx}}f(x)=a^{x}\ln a$.

De fato, como $a^{x}=e^{(\ln a)x}$ temos da regra da cadeia que:

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}a^{x}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}e^{(\ln a)x}=(\ln a)e^{(\ln a)x}=a^{x}\ln a$.

De forma análoga, obtermos a derivada segunda:

${\frac {{\text{d}}^{2}}{{\text{d}}x^{2}}}a^{x}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}a^{x}\ln a=a^{x}(\ln a)^{2}$

Como $(\ln(a))^{2}$ é uma constante positiva, observamos que a taxa de variação da função exponencial é crescente em relação a x, isto é a função exponencial é uma função convexa.

A integral indefinida da função exponencial é dada por:

$\int a^{x}{\text{d}}x=\int e^{\ln ax}{\text{d}}x={\frac {1}{\ln a}}e^{\ln ax}+C={\frac {1}{\ln a}}a^{x}+C$.

Ver também

• Crescimento exponencial