Equação diferencial parcial

Um equação diferencial parcial ou equação de derivadas parciais (EDP) é uma equação envolvendo várias funções incógnita de várias variáveis independentes e dependente de suas derivadas. Estas equações surgem naturalmente em problemas de física matemática, física e engenharia. O estudo das equações diferenciais parciais é uma das áreas com mais intensa pesquisa em matemática, despertando interesse também em contextos de matemática pura.

EDPs descrevem fenômenos físicos cujo comportamento depende da posição, tais como eletrostática, eletrodinâmica, eletromagnetismo, dinâmica dos fluidos, difusão do calor, propagação de ondas. Muitas vezes, fenômenos físicos totalmente distintos podem ser modelados por EDPs idênticas.

Exemplos

Um problema simples de EDP consiste em buscar uma solução suave $u(x,y):[0,1]\times [0,1]\rightarrow \mathbb {R}$ satisfazendo: ${\frac {\partial u}{\partial x}}=1{\hbox{ em }}(0,1)\times (0,1)$

${\frac {\partial u}{\partial y}}=0{\hbox{ em }}(0,1)\times (0,1)$

$u(x,y)=1{\hbox{ em }}\{x=0\}\times [0,1]$

que admite solução $u(x,y)=x+1$

O próximo exemplo é um caso particular da equação do transporte: ${\frac {\partial u}{\partial t}}+v(t){\frac {\partial u}{\partial x}}=0,t>0$ $u(x,t)=f(x),~t=0$

onde $f(x)$ é uma função classe $C^{1}$ e

$v(t)$ é uma função contínua dada e $u(x,t)$ é a incógnita.

A solução desta equação é dada por: $u(x,t)=f\left(x+\int _{0}^{t}v(\tau )d\tau \right),t>0$

Notação

Existem muitas diferentes maneiras de expressar as EDPs, não sendo raro a mesma notação ter significados diferentes para autores diferentes.

Notações bastante difundidas são para a derivada temporal são:

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\partial _{t}u=u_{t}=u'$

Mais prolixas são as notações para as derivadas espaciais.

Se $u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, onde $\mathbf {x} =\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)$ então também são usadas as notações por operadores:

$\nabla u=\left({\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}\right)$: Gradiente

$\nabla ^{2}u=\triangle u=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}$: Laplaciano

Assim, a equação $T_{t}+\mathbf {v} \cdot \left(\nabla T\right)=\triangle T$, onde

$\mathbf {v}$ é um campo de vetores dado em $\mathbf {R} ^{n}$ significa:

${\frac {\partial T}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\partial T}{\partial x_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}T}{\partial x_{i}^{2}}}$

Em problemas envolvendo fluxo de fluidos, é constume definir a derivada material:

${\frac {Du}{Dt}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot (\nabla u)$ onde

$\mathbf {v}$ é campo de velocidades do fluido.

Classificações

Quanto à ordem

A ordem de uma equação diferencial parcial será dada pela ordem da mais alta derivada encontrada na equação:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+5{\frac {\partial u}{\partial y}}+3u=0$ EDP de segunda ordem

Quanto à linearidade

Uma EDP linear de 2ª ordem, com 2 variáveis independentes, tem a forma:

$a(x,y){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2b(x,y){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+c(x,y){\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+d(x,y){\frac {\partial u}{\partial x}}+e(x,y){\frac {\partial u}{\partial y}}+f(x,y)u=\delta (x,y)\quad \quad (1)$

Exemplos

${\partial u \over \partial t}-a{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0$ EDP linear (Equação da difusão linear)

${\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

EDP linear (Equação da convecção linear)

$(1-u){\frac {\partial u}{\partial x}}+2u=e^{y}$ EDP não linear devido ao termo não linear (1-u) dependente de u

${\frac {\partial u}{\partial x}}+\cos {u}=0$ EDP nao linear devido à função não linear cos(u)

Quanto à homogeneidade

Se na equação (1), $\delta (x,y)=0$, a EDP é homogênea.

Classificação de EDP's de 2ª ordem

As equações diferenciais parciais (EDP) de 2ª ordem podem ser classificadas em três tipos: hiperbólicas, parabólicas e elípticas. Se a solução de um problema for descrito pela variável u = u(x,y), a EDP que expressa a relação entre u e as variáveis independentes x e y pode ser escrita, genericamente, como:

$au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy}+du_{x}+eu_{y}+fu=g$

na qual a, b, c, d, f e g são constantes ou funções das variáveis independentes x e y. Os coeficientes a, b e c são tais que:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\neq 0$

Se os coeficientes a, b e c forem constantes, pode-se classificar as EDPs lineares de forma análoga às curvas cônicas tridimensionais, através das seguintes relações:

• EDPs hiperbólicas: $b^{2}-4ac>0$, raízes reais e distintas.
• EDPs parabólicas: $b^{2}-4ac=0$, raízes reais e idênticas.
• EDPs elípticas: $b^{2}-4ac<0$, raízes conjugadas complexas.

A classificação das EDPs nos três grupos representativos tem importância na sua análise teórica, na descrição de métodos numéricos e nas aplicações. A tabela a seguir mostra as principais EDP's de 2ª ordem e suas respectivas classificações:

Nome	Classificação	Equação
Equação de Laplace	elíptica	$u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0$
Equação de Poisson	elíptica	$u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=c$
Equação de Fourier	parabólica	$\alpha (u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})-u_{t}=0$
Equação da onda	hiperbólica	$c^{2}(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})-u_{tt}=0$

Equações da física

Equação de Poisson

A equação de Poisson descreve o potencial elétrico em eletrostática. Também modela estados estacionários (sem variação no tempo) da equação do calor.

$\Delta u=f(x)$

Equação do calor

Se $T(t,x)$ representa a temperatura num instante $t$, na posição $x$ sobre uma barra, a equação de transferência de calor em uma dimensão é:

${\partial T \over \partial t}=a{\partial ^{2}{T} \over \partial {x^{2}}}$

onde $a$ é uma constante. A função $T$ é a variável dependente, e $t$ e $x$ são as variáveis independentes.

Equação da onda

Uma função de onda, em duas dimensões, é uma função $f(x,y,t)$ solução da equação

${\partial ^{2}{f} \over \partial {t^{2}}}=v^{2}{\Bigg (}{\partial ^{2}{f} \over \partial {x^{2}}}+{\partial ^{2}{f} \over \partial {y^{2}}}{\Bigg )}$

onde $v$ é uma constante (velocidade de propagação). Neste caso, existem 3 variáveis independentes, nomeadamente, as duas coordenadas espaciais $x$ e $y$, e o tempo $t$.

Equação de Laplace

O potencial eletrostático $V(x,y,z)$, numa região onde não existam cargas, verifica a equação:

${\partial ^{2}{V} \over \partial {x^{2}}}+{\partial ^{2}{V} \over \partial {y^{2}}}+{\partial ^{2}{V} \over \partial {z^{2}}}=0$

Os exemplos anteriores correspondem todos a equações lineares, nas quais uma combinação linear de soluções é também solução.

Equação de Burgers

A equação de Burgers modela processos convectivos unidimensionais:

$u_{t}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(f(x)u\right)^{2}=f(x,t)$

Resolução de equações simples

As equações de derivadas parciais em que aparece uma única derivada, podem ser integradas facilmente. Consideremos por exemplo a equação

${\frac {\partial ^{2}{v}}{\partial {x^{2}}}}=3y$

como a segunda derivada em ordem a $x$ é igual à derivada da primeira derivada parcial em ordem a $x$, portanto, a derivada parcial $\partial v/\partial x$ será igual à primitiva de $3y$, ao longo de um percurso com $y$ constante

${\begin{aligned}{\partial {v} \over \partial x}&=\int 3ydx\qquad (y\;{\text{constante}})\\&=3xy+f(y)\end{aligned}}$

onde $f(y)$ pode ser qualquer função arbitrária que não dependa de $x$.

Integrando uma segunda vez, com $y$ constante, obtemos a função $v(x,y)$

$v={\frac {3}{2}}yx^{2}+xf(y)+g(y)$

Esta solução é bastante geral, pois depende de duas funções arbitrárias $f$ e $g$. Para obter uma solução única, será necessário saber algumas condições fronteira. As condições fronteira são tão importantes quanto a equação diferencial para determinar a forma da solução, já que com diferentes condições fronteira é possível obter soluções muito diversas.

Método da transformada de Laplace

As equações de derivadas parciais lineares com condições iniciais, podem ser resolvidas por meio da transformada de Laplace. As condições iniciais (na variável $t$) para uma equação de ordem $n$ em $t$, consistem nos valores da função e das suas primeiras $n-1$ derivadas no instante $t=0$. Se, por exemplo, a solução da equação for uma função de duas variáveis, $v(x,t)$, e a equação for de segunda ordem em $t$, as condições iniciais serão

${\begin{aligned}v(x,0)&=&f(x)\\{\partial v \over \partial t}(x,0)&=&g(x)\end{aligned}}$

onde $f$ e $g$ são duas funções de $x$ dadas. A transformada de Laplace de $v(x,t)$ será uma função ${\overline {v}}(x,s)$, definida por meio do seguinte integral

${\overline {v}}(x,s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}v(x,t)dx$

As duas condições fronteira permitem calcular as transformadas das duas primeiras derivadas, usando a propriedade da transformada da derivada; o resultado obtido é

${\begin{aligned}&{\mathcal {L}}{\Big \{}{\partial v \over \partial t}{\Big \}}=s{\overline {v}}(x,s)-f(x)\\&{\mathcal {L}}{\Big \{}{\partial ^{2}{v} \over \partial {t}}{\Big \}}=s^{2}{\overline {v}}(x,s)-sf(x)-g(x)\end{aligned}}$

Como $x$ e $t$ são variáveis independentes, e como a transformada de Laplace foi definida em ordem a $t$, as ordem entre as derivadas em $x$ e a transformada de Laplace são independentes; por exemplo,

${\begin{aligned}&{\mathcal {L}}{\Big \{}{\partial v \over \partial x}{\Big \}}={\partial \over \partial x}{\mathcal {L}}{\big \{}v(x,t){\big \}}={d{\overline {v}} \over dx}\\&{\mathcal {L}}{\Big \{}{\partial ^{2}{v} \over \partial x^{2}}{\Big \}}{\mathcal {L}}{\big \{}v(x,t){\big \}}={d{\overline {v}} \over dx}\end{aligned}}$

Ver também

• Equação diferencial linear
• Equação de Bernoulli

Ligações externas

• «Equações Diferenciais e Equações de Diferenças,Jaime.E.Villate» (PDF)