Augustus De Morgan

Augustus De Morgan
Augustus De Morgan
Conhecido(a) por	Teoremas de De Morgan
Nascimento	27 de junho de 1806 Madura, Índia
Morte	18 de março de 1871 (64 anos) Londres, Reino Unido
Nacionalidade	Britânico
Alma mater	Trinity College (Cambridge), Universidade de Cambridge
Orientador(es)(as)	George Peacock, William Whewell
Orientado(a)(s)	James Joseph Sylvester
Instituições	University College London, University College School
Campo(s)	Matemática, lógica
Tese	1826

Augustus De Morgan (Madura, Índia, 27 de junho de 1806 — Londres, 18 de março de 1871) foi um matemático e lógico britânico. Formulou as Leis de De Morgan e foi o primeiro a introduzir o termo e tornar rigorosa a ideia da indução matemática.

Augustus De Morgan foi educado no Trinity College, em Cambridge, e em 1828 tornou-se professor de matemática na então recém-criada universidade, em Londres, cargo que ocupou até 1866, com exceção de um período de cinco anos (de 1831 a 1836). Foi o primeiro presidente da London Mathematical Society, fundada em 1866.

Como professor não tinha rivais e nenhum tópico era insignificante demais para sua cuidadosa atenção. Um de seus primeiros trabalhos, Elementos de aritmética, de 1831, distingui-se pelo tratamento filosófico das ideias de número e magnitude. Além disso, contribuiu para o simbolismo matemático propondo o uso do solidus (traço inclinado) para a impressão das frações.

Sua maior contribuição para o conhecimento foi como reformador da lógica. Efetivamente, o renascimento dos estudos de lógica que começaram na primeira metade do século XIX deveu-se quase que inteiramente aos trabalhos de De Morgan e Boole, outro matemático inglês.

As realizações mais importantes de De Morgan foram o lançamento das fundações de relações e a preparação do caminho para o nascimento da lógica simbólica (ou matemática).

Publicações selecionadas

• 1836. An Explanation of the Gnomonic Projection of the Sphere. London: Baldwin.
• 1837. Elements of Trigonometry, and Trigonometrical Analysis. London: Taylor & Walton.
• 1837. The Elements of Algebra. London: Taylor & Walton.
• 1838. An Essay on Probabilities. London: Longman, Orme, Brown, Green & Longmans.
• 1840. The Elements of Arithmetic. London: Taylor & Walton.
• 1840. First Notions of Logic, Preparatory to the Study of Geometry. London: Taylor & Walton.
• 1842. The Differential and Integral Calculus. London: Baldwin.
• 1845. The Globes, Celestial and Terrestrial. London: Malby & Co.
• 1847. Formal Logic or The Calculus of Inference. London: Taylor & Walton.
• 1849. Trigonometry and Double Algebra. London: Taylor, Walton & Malbery.
• 1860. Syllabus of a Proposed System of Logic. London: Walton & Malbery.
• 1872. A Budget of Paradoxes. London: Longmans, Green.

Biografia

Infância

Augustus De Morgan nasceu em Madurai, Madras Presidency, Índia em 1806. Seu pai foi o Coronel Augustus De Morgan que detinha vários nomeações a serviço do Exercito do Leste da Índia. Sua mãe descendente de James Dodson, que calculou a tabela de antilogaritmos, que é, o número correspondente a um logaritmo exato. Augustus De Morgan ficou cego de um olho um ou dois meses após o seu nascimento. Quando Augustus tinha sete meses de idade a sua família mudou para Inglaterra. Como seu pai e avô nasceram na Índia. De Morgan costumava dizer que não era Inglês, Escocês, ou Irlandês, mas um Bretão “livre”, usando o termo técnico aplicado para uma graduação em Oxford ou Cambridge que não é membro em nenhuma das Faculdades.

Quando De Morgan tinha dez anos de idade, seu pai faleceu. Sra. De Morgan morou em muitos lugares no sudoeste da Inglaterra, e seu filho recebia sua educação básica em varias escolas sem grande importância. Seus talentos matemáticos foram notados até completar quatorze anos, quando uma família amiga o descobriu fazendo um desenho de uma figura Euclidiana com uma régua e compassos. Ela explicou que o objetivo de Euclides para Augustus, e deu a ele a iniciação a demostração.

Ele recebeu sua educação secundaria do Sr. Parsons, um companheiro de Oriel College, Oxford, que apreciava clássicos mais que a matemática. Sua mãe era um membro ativo e entusiasta da Igreja da Inglaterra, e desejava que seu filho se tornasse um sacerdote: mas na época De Morgan tinha começado a mostrar sua disposição em não conformidade.

Educação Universitária

Em 1823, aos dezesseis anos, ele entrou para Trinity College, Cambridge, onde ele veio sobre influencia de George Peacock e William Whelwell, que tornaram seus amigos ao longo da vida: do passado ele desenvolveu um interesse na renovação da álgebra, e depois um interesse na renovação da lógica - Os dois assuntos do futuro do trabalho de sua vida. Seu tutor em Cambridge era John Phillips Hingman.

Na faculdade ele tocou flauta para recreação e foi destaque nos clubes musicais. Sua amor de conhecimento para seu próprio bem interferiu com o treinamento para a grande corrida matemática; como consequencia resultou o quarto argumentador. Isto o conferiu a formação de bacharel de artes; mas para ter o grau mais elevado de mestre de artes e assim se tornou elegível para a sociedade então foi necessário passar um teste teológico. Para se candidatar a qualquer teste De Morgan sentiu uma forte objeção. Contudo ele tinha sido criado na Igreja da Inglaterra. Por volta de 1875 testes teológicos para grau acadêmico foi anulado na Universidade de Oxford e Cambridge.

Universidade de Londres

Como nenhuma vaga foi aberta para ele na universidade, ele decidiu ir para o tribunal, e passou a residir em Londres, mas preferia ensinar matemática do que ler leis. Aproximadamente nesse tempo movimento para fundação da Universidade de Londres (agora Universidade College London) tomou forma. As duas antigas universidades de Oxford e Cambridge foram tão vigiados por testes teológicos que nem judeu ou dissidente fora da Igreja da Inglaterra podia entrar como estudante, muito menos ser apontado para qualquer função. Um grupo de homens liberais resolveram encontrar a dificuldade por estabelecer em Londres uma Universidade sobre o principio da neutralidade religiosa. De Morgan, então 22 anos de idade, foi nomeado como professor de matemática. Sua aula introdutória “Sobre o estudo da matemática” é um discurso sobre educação mental de valor permanente, e tem sido recentemente reimpresso nos Estados Unidos.

A Universidade de Londres era uma instituição nova, e as relações do Conselho de administração, o senado de professores e o corpo de estudantes não foram bem definidos. Uma disputa surgiu entre o professor de anatomia e seus estudantes, e em consequencia da ação tomada pelo conselho, muitos professores reassumiram, liderados por De Morgan. Outro professor de matemática foi nomeado, que então se afogou alguns anos depois. De Morgan tinha se mostrado um príncipe de professores: Ele foi convidado para retornar ao seu lugar, que depois se tornou o centro continuo de seus trabalhos por trinta anos.

O mesmo corpo de reformadores - liderados por Lord Brougham, um escocês eminente na ciência e na política que tinha instituído a Universidade de Londres - fundou na mesma epóca a Sociedade para a Difusão do Conhecimento Útil. Seu objetivo era espalhar o conhecimento cientifico por meios baratos e tratados escritos claramente pelos melhores escritores da epóca. Um dos mais volumosos e efetivos escritores era De Morgan. Ele escreveu um grande trabalho sobre O Diferencial e Cálculo Integral que foi publicado pela Sociedade, e ele escreve um sexto dos artigos no Penny Cyclopedia, publicado pela sociedade, e emitido nos números da Penny. Quando De Morgan morava em Londres ele achou um agrádavel amizade em William Frend, não obstante sua heresia matemática era sobre quantidades negativas. Ambos eram aritméticos e estátisticos, e de pensamentos religiosos eram similares. Frend viveu no que era então o súburbiu de Londres, na sua casa de campo antigamente ocupada por Daniel Dafoe e Isac Watts. De Morgan e sua flauta eram muito bem vindos.

A Universidade de Londres da qual De Morgan era um professor era uma instituição diferente da Universidade de Londres. A universidade de Londres foi fundada por volta de dez anos depois pelo governo com propósitos de garantir formação depois da prova, sem nenhuma qualificação ou residência. A Universidade de Londres era afiliada como uma faculdade de ensino com a Universidade de Londres e seu nome foi mudado para Universidade College. A Universidade de Londres não era um sucesso como um corpo examinador: Uma universidade de Ensino era necessário. De Morgan era um professor de muito sucesso da matemática. Era seu plano lecionar por quatro horas e no fim de cada aula passava alguns problemas e exemplos ilustrativos do assunto lecionado; seus estudantes eram pedidos para resolver os problemas e então entregar os resultados, que ele revisava e retornava antes da próxima aula. Na opinião de De Morgan uma compreensão completa e assimilação mental de grandes princípios superavam em importância qualquer mera habilidade analítica na aplicação da metade do entendimento dos princípios para casos particulares.

Durante este período, ele também promoveu o trabalho do autodidata matemático Indiano Ramchundra, que foi chamado de De Morgan Ramanujam. Ele supervisionou a publicação do livro de Ramchundra “Maxima and Minima” em 1859 em Londres. Na introdução deste livro, ele foi reconhecido estando consciente da tradição lógica Indiana. Embora não é conhecido se isto tinha qualquer influencia no seu trabalho.

Família

No outono de 1837, ele casou com Sophia Elizabeth, filha mais velha de William Frend e sua esposa, a neta do arqui-diácono Francis Balckburn.

De Morgan tinha três filhos e quatro filhas, incluindo o autor de conto de fadas Mary de Morgan. Seu filho mais velho era o oleiro William De Morgan. Seu segundo filho George adquiriu grande distinção na matemática na Universidade College e na Universidade de Londres. Ele e outro aluno de mesmo espirito conceberam a ideia de fundar a Sociedade Matemática de Londres, onde papeis matemáticos foram não só recebidos (como pela Sociedade Real) mas na verdade lida e debatida. O primeiro encontro foi mantido na Universidade College: De Morgan foi o primeiro presidente, seu filho o primeiro secretario, era o começo da Sociedade Matemática de Londres.

Aposentadoria e Morte

Augustus De Morgan.

Em 1866 a cadeira de filosofia da mente na Universidade College ficou vaga, James Martineau, um Clérigo único e professor de filosofia da mente, foi recomendado formalmente pelo senado pelo Conselho; mas no conselho existia alguns que contestavam um único clérigo, e outros que contestavam a filosofia teísta. Um leigo da escola de Bain e Spencer foi nomeado. De Morgan considerou que o padrão da neutralidade religiosa tinha decaído, e imediatamente resignou. Ele agora tinha 60 anos. Seus pupilos asseguraram a ele uma pensão de £500 p.a. mas infortúnios aconteceram. Dois anos depois seu filho George - o “jovem Bernoulli”, como Augustus amava ouvir ser chamado, em alusão para o eminente pai e filho matemáticos de mesmo nome - faleceu. Este desastre foi seguido pela morte da sua filha. Cinco anos depois de ter se demitido da Universidade College De Morgan faleceu de prostração nervosa em 18 de março de 1871.

Trabalho Matemático

De Morgan foi um brilhante e espirituoso escritor, se como um polêmico ou como um correspondente. No seu tempo lá, floresceram dois Sir. William Hamiltons que eram constantemente confundidos. Um era Sir. William Hamilton, 9º barão (que é, seu título herdado), um escocês, professor de lógica e metafísico na Universidade de Edinburgh; os outros era cavaleiros (que é, um título ganho), um irlandês, professor de astronomia na Universidade de Dublin. O barão contribui para lógica, especialmente a doutrina de qualificação de predicado, o cavaleiro, cujo qual o nome inteiro era William Rowan Hamilton, contribuiu para matemática, especialmente para álgebra geométrica, e foi o primeiro a descrever Quarternidade. De Morgan estava interessado no trabalho de ambos, e correspondeu a ambos, mas a correspôndencia com o escocês terminou em uma controversia publica, ao passo que com o irlandês foi marcado pela amizade e terminou só pela morte. Em uma das cartas para Rowan, De Morgan diz,

Que seja conhecido até que eu tenha descoberto que você e outro Sir. W. H. são reciprocamente polares com respeito a mim (intelectualmente e moralmente, para o barão escocês um urso polar, e você, eu diria um cavalheiro polar). Quando eu enviei um pouco da investigação de Edinburgh. The W. H. daquela laia diz que tomei dele. Quando enviei um a você, você o pegou de mim, generalizando de relance, conceder isto assim generalizado sobre uma vasta sociedade, e me fez o segundo descobridor de um teorema conhecido.

A correspondencia de De Morgan com o matemático Hamilton ultrapassava vinte e quatro anos, ela contem discursos não só de assuntos matemáticos, mas também de assuntos de interesse geral, Foi marcado pela genialidade da parte de Hamilton e pela inteligencia da parte de De Morgan. O que se segue é uma espécime; Hamilton escreveu,

Minha copia do trabalho de Berkley não é minha, você sabe, eu sou Irlandês

De Morgan repliedDe Morgan respondeu,

Sua frase ‘Minha copia não é minha, não é um touro, é perfeitamente bom nglês para usar a mesma palavra em dois diferentes sentidos em uma sentença, particurlamente quando existe uso. Incongruência da linguagem não é problema, para expressar seu significado. Mas incongruência das ideias (como no caso do irlandês puxado pela corda, e descobrindo isso não terminou, clamou que alguem tinha cortado a outra ponta da corda) é o genuíno touro.

De Morgan era cheio de peculiaridades pessoais. Na ocasião da instalação do seu amigo, Lord Broughan, como reitor da Universidade de Edinburgh, o senado ofereceu conferir a ele o título honorário de LL. D.: Ele recusou a honra com um termo impróprio. Uma vez ele imprimiu seu nome: Augustus De Morgan, H-O-M-O-P-A-U-C-A-R-U-M-L-I-T-E-R-A-R-U-M (Latim para homens de letras).^{[carece de fontes]}

Ele não gostava das províncias fora de Londres, e quando sua família aproveitava o litoral, e homens de ciência tinha um bom momento no encontro da Associação Britânica no interior ele permaneceu nas quentes e sujas Bibliotecas da metrópole. Ele disse que sentia-se como Sócrates, que declarou que quanto mais ele era de Atenas mais ele era feliz. Ele nunca solicitou para ser um companheiro da Sociedade Real, e ele nunca foi a um encontro da sociedade; Ele disse que não tinha ideias ou simpatia em comum com os filósofos físicos. Sua atitude era possivelmente devido a sua enfermidade física, que o preveniu de ser ou um observador ou um experimentador. Ele nunca votou nas eleições, e ele nunca visitou a camara dos deputados, ou a [torre de Londres]] ou a Abadia de Westminster.

Os escritos de De Morgan foram publicados em formato de trabalhos colecionáveis, e formavam uma pequena biblioteca, por exemplo seus escritos para a Sociedade de Conhecimento Útil. Principalmente atráves dos esforços de Peacock e Whewell, uma sociedade filósofica tinha sido inaugurada em Cambridge; e para suas transações De Morgan contribuiu com quatro memorias para os fundamentos da algebra, e um número igual na lógica formal. A melhor apresentação de sua visão sobre algebra é encontrada em um volume, entitulado Trigonometry and Double Algebra, publicado em 1849; e suas visões iniciais da lógica é encontrada no volume publicado em 1847. Seu trabalho que mais se destacou em Orçamento do paradoxo; Originalmente apareceu as cartas nas colunas do jornal Athenæum, foi revisado e ampliado por De Morgan nos ultimos anos de sua vida, e foi publicado postumamente por sua viúva.

A teoria de George Peacock foi melhorada por D. F. Gregory, um jovem membro de Cambridge, que não insistiram sobre a permanência de formas equivalentes, mas a permanencia de leis formais. Sua nova teoria da algebra como ciência dos símbolos e suas leis de combinação foi levada a sua questão lógica por De Morgan, sua doutrina no assunto ainda é seguida por algebristas ingleses em geral. Assim George Crystal publicou seu Textbook of Algebra on De Morgan’s Theory ( Livro texto de Álgebra sobre a Teoria de De Morgan); Apesar de um leitor atento pode perceber que ele praticamente abandonou o livro quando ele se ocupa com o assunto de series infinitas. A teoria de De Morgan é afirmada no seu volume Trigonometry on Double Algebra. No capítulo (do livro) inicial “Álgebra simbolíca” ele escreveu.

Abandonando o significado dos símbolos, também abandonamos as palavras que os descreviam. Assim adicionado para ser, para o presente, um vazio som de sentido. É um modo de representação pela + quando + recebe seu significado, também a palavra adição. É mais importante que o estudante deve ter na cabeça que, com um exceção, sem palavras ou sinais aritméticos ou álgebra tem um átomo de significado completo deste capitulo, o objetivo de qual os símbolos, e suas leis de combinação, dando um álgebra simbólica qual poderia seguir tornando a gramatica de centenas de significados distintos algébricos. Se qualquer um fosse afirmar que + e - poderiam significar um premio e uma punição, e , , , etc.. poderia significar virtudes e vícios, o leitor poderia acreditar nele, o contradize-lo, o que lhe agradava, mas não fora deste capitulo. A unica exceção notada assim, qual tinha algum significado compartilhado, é o sinal colocado entre os dois símbolos como em . Isso indica que os dois símbolos tem o mesmo significado resultante, por qualquer passos atingidos. Que e , se quantificadores, são da mesma quantidade; se operações, elas eram do mesmo efeito, etc..

Aqui, poderia ser perguntado, por que p símbolo = prova refratária para teoria simbólica? De Morgan admite que existe uma exceção, mas uma exceção prova a regra, não de forma usual, mas senso ilógico de estabelecer, mas no velho sentido lógico de testar a validade. Se a exceção pode ser estabelecida, a regra deve falhar, ou pelo menos de ser modificado. Aqui eu estou falando não em regras gramaticais, mas em regras da ciência natural

De Morgan procede para dar um inventário dos símbolos fundamentais da álgebra, e também um inventario das leis da álgebra. Os símbolos são 0, 1, +, −, ×, ÷, ()(), e cartas, estes são os únicos, todos os outros derivados. Seu inventário das regras fundamentais expressadas sobre quatorze principais, mas algumas delas eram meras definições. A própria regra pode ser reduzida com a seguinte, cuja, ele admite, não são todas independentes das outras.

1. Lei dos sinais. + + = +, + − = −, − + = −, − − = +, × × = ×, × ÷ = ÷, ÷ × = ÷, ÷ ÷ = ×.
2. Lei comutativa. a+b = b+a, ab=ba.
3. Lei distributiva. a(b+c) = ab+ac.
4. Lei dos índices. a^b×a^c=a^b+c, (a^b)^c=a^bc, (ab)^d= a^d×b^d.
5. a−a=0, a÷a=1.

As duas ultimas podem ser chamadas de regras de redução. De Morgan confessa dar um inventário completo das leis quais os símbolos da álgebra deve seguir. “Qualquer sistema de símbolos qual obedece essas leis e não outras, exceto eles são formados pela combinação desses símbolos, é álgebra simbólica ” Do seu ponto de vista, nenhum dos princípios acima são regras; eles são leis formais, e só, arbitrariamente relações escolhidas qual álgebra simbólica deve ser assunto. Ele não menciona a lei, qual ja tinha apontado para Gregory, nomeadamente, $(a+b)+c=a+(b+c),(ab)c=a(bc)$ e para qual foi depos dado o nome de lei associativa. Se as leis comutativas falham, a associativa pode aguentar, mas não vice versa. É uma coisa lamentável para o simbologista ou formalista que a algebra universal $m^{n}$ e não igual a $n^{m}$; para então a lei comutativa teria escopo total. Por que ele não o da escopo total? Devido as fundações da álgebra, depois de tudo, real e não formal, material não simbólico. Para os formalistas o índice da operação são extremamente refratário, em consequencia do qual alguns tomam conhecimento deles, mas bani-los para matemática aplicada. Para dar um inventário as leis quais os símbolos da álgebra devem obedecer é uma tarefa impossível, e não faz lembrar da tarefa das quais os filósofos que tentam dar um inventário do conhecimento da mente a priori.

Trigonometria e algebra dupla

O trabalho de De Morgan intitulado trigonometry and double Algebra consiste em duas partes, uma antiga da qual é tratado sobre a trigonometria, e depois uma tratando sobre a generalização da álgebra que é chamada álgebra dupla. O primeiro estagio é o desenvolvimento da álgebra e sua aritmética, onde números só aparecem nos símbolos de operações como $+$, $\times$, etc.O próximo estagio é a aritmética universal, onde caras aparecem ao invés de números, de modo a denotar números universalmente, e os processos são conduzidos sem saber os valores dos símbolos. Sejam $a$ and $b$ enotam qualquer número; então uma expressão como $a-b$ pode ser possível; então na aritmética universal existe uma ressalva, desde que a operação seja possível. O terceiro estagio é a álgebra única, onde os símbolos podem denotar uma quantidade dianteira ou a quantidade de trás para frente, e é adequadamente representada pelo segmentos em uma linha reta passando pela origem. Quantidade negativas são então não mais possíveis; elas são representadas com o segmento de tras para frente. mas uma impossibilidade ainda permanece depois da parte como uma expressão como $a+b{\sqrt {-1}}$qual levanta a solução da equação quadrática. O quarto estagio é a álgebra dupla. O simbolo algébrico denota em geral um segmento da linha em um dado plano. É um simbolo duplo por que ele envolve duas especificações, nomeadamente, comprimento, e direção; e ${\sqrt {-1}}$ é interpretado como denotando um quadrante. A expressão $a+b{\sqrt {-1}}$então representa um linha no plano tendo uma abscisa $a$ e uma ordenada $b$. Argand and Warren cuidaram da álgebra dupla até o momento - mas eles foram incapazes de interpretar esta teoria com uma expressão como $e^{a{\sqrt {-1}}}$. De Morgan tentou reduzir tal expressão de forma $b+q{\sqrt {-1}}$,e ele considerou que tinha mostrado que isso poderia ser sempre reduzido. Um fato marcante é que esta álgebra dupla satisfaz todas as regras fundamentais sobre enumerabilidade, e como todo aparentemente combinações impossíveis de símbolos tem sido interpretados como parecem a completa forma da álgebra. No capitulo 6, ele introduziu funções hiperbólicas e discutiu a conexão do comum e trigonometria hiperbólica.

Se a teoria acima é verdade, o próximo estagio de desenvolvimento deve ser a álgebra tripla e se $a+b{\sqrt {-1}}$ verdadeiramente representa a linha em um dado plano, deve ser possível achar um terceiro termo qual adicionado acima iria representar a linha no espaço. Argand e outros acham que era $a+b{\sqrt {-1}}+c{\sqrt {-1}}\,^{\sqrt {-1}}$ apesar que contradiz a verdade estabelecida por Euler que ${\sqrt {-1}}\,^{\sqrt {-1}}=e^{-{\frac {1}{2}}\pi }$.De Morgan e muitos outros trabalharam duro no problema, mas nada sobre isso surgiu até o problema ser resolvido por Hamilton. Nos agora vemos a razão claramente. O simbolo da álgebra dupla denota não um comprimento e uma direção; mas um multiplicador e quadrupliquem angulo. Nos ângulos são confinados para um plano. Por isso o próximo estagio será álgebra quadrupla, quando o eixo do plano é feito variar. E isso da a resposta para primeira pergunta; álgebra dupla não é nada além de geometria plana analítica, e isso é por que foi fundado para ser analise natural para corrente alternada. Mas De Morgan nunca foi tão longe. Ele morreu com a crença que álgebra dupla deve permanecer com o desenvolvimento completo dos conceitos da aritmética, até agora como aqueles símbolos são preocupados cujo aritmética imediatamente sugere.

Quando o estudo da matemática reviveu na Universidade de Cambridge, assim como a lógica. O espirito milagroso foi Whewell, o mestre da Trinity College, qual os escritos principais foram a Historia da Ciência Indutiva, e Filosofia da Ciência Indutiva. Sem duvida De Morgan foi influenciado em suas investigações logicas por Whewell, mas outros contemporaneos foram influencia onde Sir William Rowan Hamilton de Edinburgh, e Professor Boole da Cork, O trabalho de De Morgan em lógica formal, publicado em 1847, é principalmente marcante por seu desenvolvimento do silogismo númerico definitivo. Os seguidores de Aristotle dizem que de duas proposições particulares como alguns M’s são A’s e outros M’s são B’s nada segue da necessidade sobre a relação de A’d e B’s. Mas eles vão fundo e dizem a ordem que qualquer relação sobre A’s e B’s devem seguir a necessidade, o meio termo deve ser tomado universalmente em uma das premissas. De Morgan apontou que da maioria dos silogismos quais coloca os principios em exata forma quantitativa. Supõe que o número de M’s é $m$ , de M’s que são A’s é $a$ , e de M’s que são B’s é $b$; então existe pelo menos $(a+b-m)$ A’s que são B’s. Supõe que o número de almas a bordo do navio era 1000, que 500 estavam no salão e 700 estavam perdidas. Seguiu a necessidade, que pelo menos 700 + 500 - 1000, é 200, passageiros de salão estavam perdidos. Este único principio é suficiente para provar sua validade de todos modos Aristotelicos. Portanto um principio fundamental de raciocínio é necessário.

Aqui, então De Morgan tinha feito um grande avanço por introduzir quantificadores nos termos. Naquela epoca Sir William Rowan Hamilton estava lecionando em Edinburgh um disciplina de quantificação de predicados, e as correspondencias brotaram. Mesmo assim, De Morgan percebeu cedo que as qualificações de Hamilton era de um caracter diferente; Que significava por exemplo, substituir as duas formas. O papel do A é o papel do B, e o papel do A é parte de B para forma Aristotelica, Todos os A’s são B’s. Hamilton pensava que ele tinha colocado a pedra chave no arco Aristotelico, como ele expressou, Mesmo assim deve ser um arco curioso qual podia suportar 2000 anos sem a pedra chave. Como uma consequencia ele não tinha espaço para as inovações de De Morgan. Ele acusou De Morgan de plagio, e a controversia assola por anos nas colunas do Athenæum, e suas publicações de dois escritores.

As memorias sobre lógica que De Morgan contribuiu para transações da Sociedade Filosófica de Cambridge subsequente para a publicação do seu livro em lógica formal são de longe a mais importante contribuição que ele fez para a ciência, especialmente sua quarta memoria, na qual ele começou o trabalho no campo da lógica de relativos. Isto é o verdadeiro campo para lógicos do século vinte, no qual o trabalho de maior importância é ser feito contra melhorar a linguagem e facilitar o processo de pensamento que ocorre to o tempo na vida pratica. Identificar e diferenciar são duas relações quais tem sido considerada pela lógica; mas existem muitas outras qualidades merecendo o estudo, como igualdade, equivalencia, consanguinidade, afinidade, etc.

Na introdução para o Orçamento dos Paradoxos De Morgan explica o que ele sugeria pela palavra

Um grande número de indivíduos, desde então o nascimento dos métodos matemáticos, tem, cada um, atacado diretamente e indiretamente com as consequencias. Eu chamará cada uma dessas pessoas um paradoxiador, e seu sistema um paradoxo. Eu uso a palavra no sentido antigo; um paradoxo é alguma coisa qual é parte da opinião geral, tanto no assunto, método, ou conclusão. Muitas das coisas antecipadas seriam agora chamadas extravagância, qual é a palavra mais próxima que nos temos do antigo paradoxo. Mas existe a diferença, que por chamar uma coisa extravagante nos damos a entender falar claramente sobre isso; qual nãp foi o senso necessário do paradoxo. Assim no século 16 muitos falaram do movimento da terra como um paradoxo de Copernico e mantinha a ingenuidade de que a teoria em elevada estima, e alguns pensam que mesmo inclinado para ele. Mp s[eculo 17 a privação do significado se instalou, na Inglaterra pelo menos.

Como o som do paradoxiador pode ser diferenciado do falso paradoxiador? De Morgan fornece o seguinte teste:

A maneira pela qual um paradoxiador vai mostrar a si mesmo, como o senso ou absurdo, não vai depender do que ele afirma, mas sobre se ele tem ou não tem feito um conhecimento suficiente do que foi feito por outros, especialmente quanto ao modo de fazê-lo, uma preliminar para inventar o conhecimento de si mesmo ... Novos conhecimentos, quando qualquer finalidade, deve vir pela contemplação do conhecimento de idade, em todos os assuntos que diz respeito o pensamento; dispositivo mecânico, às vezes, não muitas vezes, escapa a esta regra. Todos os homens que agora são chamados descobridores, em todos os assuntos governados pelo pensamento, têm sido homens versados ​​nas mentes dos seus antecessores e aprenderam em que tinham sido antes delas. Não é uma exceção.

Lembro-me que um pouco antes da Associação Americana conheceu em Indianápolis, em 1890, os jornais locais anunciaram uma grande descoberta que era para ser colocado antes dos sábios reunidos - um jovem vivendo em algum lugar do país tinha quadrado do círculo. Enquanto a reunião estava em andamento, observei um jovem indo com um rolo de papel na mão. Ele falou para mim, e queixou-se de que o papel contendo a sua descoberta não tinha sido recebido. Perguntei-lhe se o seu objetivo ao apresentar o papel não era para obtê-lo lido, impresso e publicado para que todos possam se informar do resultado, para os quais ele concordou prontamente. Mas, disse eu, muitos homens têm trabalhado nesta questão, e seus resultados foram testados completamente, e eles são impressos para o benefício de quem pode ler, você já informou-se de seus resultados? Para isso não houve consentimento, mas o sorriso doentio do falso paradoxiador

O Orçamento consiste em uma revisão de uma grande coleção de livros paradoxais que De Morgan tinha acumulado em sua própria biblioteca, em parte por compra em livrarias, em parte, a partir de livros enviados para ele por revisão, em parte, a partir de livros enviados para ele pelos autores. Ele dá a seguinte classificação: quadrados do círculo, triplicadores do ângulo, duplicadores do cubo, construtores de movimento perpétuo, subversores da gravitação, estagnação da terra, os construtores do universo. Você ainda vai encontrar exemplares de todas essas classes no Novo Mundo e no novo século. De Morgan dá o seu conhecimento pessoal de paradoxiadores.

Eu suspeito que eu sei mais da aula de Inglês do que qualquer homem na Grã-Bretanha. Eu nunca manteve qualquer acerto de contas, mas eu sei que um ano com o outro? - E menos nos últimos anos do que na época anterior? - Eu tenho conversado com mais de cinco em cada ano, dando mais de cem e cinquenta exemplares. Disso eu tenho certeza, que é minha culpa se eles não foram mil. Ninguém sabe como eles enxame, exceto aqueles a quem eles naturalmente recorrer. Eles estão em todas as classes e profissões, de todas as idades e personagens. Eles são pessoas muito sérias, e sua finalidade é de boa fé, a divulgação dos seus paradoxos. Um grande número - a massa, na verdade - são analfabetos, e um grande número de resíduos de suas possibilidades, e está dentro ou aproxima penúria. Esses descobridores desprezar o outro.

Um paradoxiador a quem De Morgan pagou o elogio que Aquiles pago Hector - arrastá-lo ao redor dos muros de novo e de novo - era James Smith, um comerciante bem sucedido do Liverpool. Ele descobriu $\pi =3{\tfrac {1}{8}}$.Seu modo de raciocínio era uma caricatura curioso da redução ao absurdo de Euclides. Ele disse que vamos $\pi =3{\tfrac {1}{8}}$, e, em seguida, mostrou que nessa suposição, todos os outros valores de $\pi$ deve ser absurdo. Consequentemente $\pi =3{\tfrac {1}{8}}$ é o valor verdadeiro. O seguinte é uma amostra de arrastar rodada de De Morgan das muralhas de Tróia:

Mr. Smith continua a escrever-me longas cartas, à qual ele sugere que estou a responder. Em seu último de 31 lados de perto escritas de papel de nota, ele me informa, com referência ao meu silêncio obstinado, que embora eu acho que eu e estou pensado por outros para ser um Golias matemática, eu resolvi jogar o caracol matemática, e manter dentro da minha concha. Um caracol matemática! Esta não pode ser a coisa chamada que regula a impressão de um relógio, pois isso significaria que eu estou a fazer o Sr. Smith soar a verdadeira hora do dia, que eu de modo algum comprometem em cima de um relógio que ganha 19 segundo ímpares em cada hora pela falsa quadratica valor de . Mas ele se aventura a dizer-me que seixos do estilingue de verdade simples e bom senso acabará por quebrar o meu escudo, e me colocou fora de combate. A confusão de imagens é divertido:. $\pi =3{\tfrac {1}{8}}$ e James Smith, Esq., do Dock Board Mersey, e colocar fora de combate por seixos de um estilingue . Se Golias tinha havido em uma concha de caracol, David teria rachado o filisteu com o pé. Não é algo como modéstia na implicação de que a pedra de rachar a concha ainda não tenha entrado em vigor, que poderia ter sido pensado que o lançador que por esta altura foram cantando - e três vezes [e um oitavo] Eu encaminhado todos os meus inimigos, e três vezes [e um oitavo] matei o morto.

Na região da matemática pura, De Morgan poderia detectar facilmente o falso do verdadeiro paradoxo, mas ele não era tão proficiente no campo da física. Seu padrasto foi uma paradoxiador, e sua esposa a paradoxiadora, e na opinião dos filósofos física De Morgan não escapou. Sua esposa escreveu um livro que descreve os fenômenos do espiritismo, tabela para discutir, tabela do desvio, etc, e De Morgan escreveu um prefácio no qual ele disse que conhecia alguns dos fatos afirmados, acredita outros no testemunho, mas não fingir para saber se eles foram causados ​​por espíritos, ou tinha alguma origem desconhecida e inimaginável. A partir desta alternativa, ele deixou de fora causas materiais comuns. Faraday fez uma palestra sobre o Espiritismo, na qual estabeleceu que no âmbito do inquérito que devemos estabelecer com a idéia do que é fisicamente possível ou impossível; De Morgan não acredito nisso.

Relações

De Morgan descobriu relação algebrica em seu programa de estudos de um sistema proposto de Lógica (1966: 208-46), publicado pela primeira vez em 1860. Esta álgebra foi prorrogado por Charles Sanders Peirce (que admirava De Morgan e conheceu pouco antes de sua morte), e re-expor e prorrogado em vol. 3 de Vorlesungen da Ernst Schröder über die Algebra der Logik. Relação algebrica provou ser fundamental para os Principios da Matemática de Bertrand Russell e Alfred North Whitehead. Por sua vez, esta álgebra tornou-se o assunto de muito mais trabalho, a partir de 1940, por Alfred Tarski e seus colegas e alunos da Universidade da Califórnia.

Espiritualismo

No final de sua vida, De Morgan se interessou nos fenômenos do espiritismo. Em 1849 ele tinha investigado clarividência e ficou impressionado com o assunto. Mais tarde, ele realizou investigações paranormais em sua própria casa com a médium Maria Hayden. O resultado dessas investigações foi posteriormente publicado por sua esposa Sophia. De Morgan acreditava que sua carreira como um cientista pode ter sido afetado se ele tivesse revelado seu interesse no estudo do espiritismo que ele ajudou a publicar o livro anonimamente. O livro foi publicado em 1863 o título da matéria para o Espírito:. O resultado de dez anos de experiência em manifestações espirituais.

De acordo com (Oppenheim, 1988), a esposa de De Morgan Sophia foi um espírita convicta, mas De Morgan compartilhou um terceiro pensamento sobre os fenômenos espíritas, que Oppenheim definiu como um "esperar para ver a posição", ele não era nem um crente ou um cético, ao invés seu ponto de vista é que a metodologia das ciências físicas não exclui automaticamente os fenômenos psíquicos e que tais fenômenos podem ser explicados no tempo, a possível existência de forças naturais que, como os físicos ainda não tinha identificado.

No prefácio da matéria para o Espírito (1863) De Morgan afirmou:

Pensando que é muito provável que o universo pode conter algumas agências, digamos meio milhão sobre o qual ninguém sabe nada, não posso deixar de suspeitar que uma pequena proporção dessas agências, digamos cinco mil, pode ser solidariamente competente para a produção de [todos os fenômenos espíritas], ou pode ser bastante para a tarefa entre eles. As explicações físicas que tenho visto são fáceis, mas miseravelmente insuficiente: a hipótese espírita é suficiente, mas pesadamente difícil. Tempo e pensamento vai decidir, a segunda pergunta primeiro para obter mais resultados do ensaio.

John Beloff em Parapsicologia: Uma História Concisa (1997) escreveu que a De Morgan foi o primeiro cientista notável na Grã-Bretanha a ter um interesse no estudo do espiritismo e seus estudos influenciaram a decisão de William Crookes também estudar o espiritismo. De Morgan também era ateu e por isso tinha impedido ele de um posição em Oxford e Cambridge.

Legado

Além de seu grande legado matemático, a sede da Sociedade de Matemática de Londres é chamado de De Morgan House e a sociedade estudante do Departamento de Matemática da Universidade College London é chamado de August De Morgan Society.

A cratera De Morgan na Lua é nomeado após ele.

Selected writings

• 1836. An Explanation of the Gnomonic Projection of the Sphere. London: Baldwin.
• 1837. Elements of Trigonometry, and Trigonometrical Analysis. London: Taylor & Walton.
• 1837. The Elements of Algebra. London: Taylor & Walton.
• 1838. An Essay on Probabilities. London: Longman, Orme, Brown, Green & Longmans.
• 1840. The Elements of Arithmetic. London: Taylor & Walton.
• 1840. First Notions of Logic, Preparatory to the Study of Geometry. London: Taylor & Walton.
• 1842. The Differential and Integral Calculus. London: Baldwin.
• 1845. The Globes, Celestial and Terrestrial. London: Malby & Co.
• 1847. Formal Logic or The Calculus of Inference. London: Taylor & Walton.
• 1849. Trigonometry and Double Algebra. London: Taylor, Walton & Malbery.
• 1860. Syllabus of a Proposed System of Logic. London: Walton & Malbery.
• 1872. A Budget of Paradoxes. London: Longmans, Green.

Further reading

• De Morgan, A., 1966. Logic: On the Syllogism and Other Logical Writings. Heath, P., ed. Routledge. A useful collection of De Morgan's most important writings on logic.
• De Morgan, Sophia Elizabeth (1882). Memoir of Augustus De Morgan. London: Longmans, Green and Company 
• Grattan-Guinness, Ivor (2000). The Search for Mathematical Roots 1870-1940. [S.l.]: Princeton University Press 
• Macfarlane, Alexander (1916). Lectures on Ten British Mathematicians of the Nineteenth Century (PDF). New York: John Wiley and Sons 
• Merrill, Daniel D. (1990). Augustus De Morgan and the Logic of Relations. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers 

External links

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Augustus De Morgan», MacTutor History of Mathematics archive (em inglês), Universidade de St. Andrews 
• Papers of Augustus De Morgan held by Senate House Library, University of London
• Library of Augustus De Morgan
• Predefinição:NRA
• Predefinição:Npg name
• Project Gutenberg eBook On the Study and Difficulties of Mathematics

Ver também

• Medalha De Morgan

Ligações externas

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Augustus De Morgan», MacTutor History of Mathematics archive (em inglês), Universidade de St. Andrews 
• Augustus De Morgan (em inglês) no Mathematics Genealogy Project