Seno: diferenças entre revisões

	Trigonometria
	História ; Funções; Funções inversas ; Aprofundamento ;
	Referência
	Lista de identidades ; CORDIC
	Teoria euclidiana
	Lei dos senos ; Lei dos cossenos ; Lei das tangentes ; Teorema de Pitágoras
	Cálculo
	Integração trigonométrica ; Substituição trigonométrica ; Integrais de funções ; Diferenciação trigonométrica ; ;

Explorar interativamente o histórico

← Ver a alteração anterior Ver a alteração posterior →

Conteúdo apagado Conteúdo adicionado

VisualTexto wiki

Em linha

Revisão das 00h44min de 24 de fevereiro de 2021

Gráfico da função seno^[1], em função do ângulo em radianos

Em um círculo trigonométrico unitário, o seno do ângulo α é a medida do segmento de reta em vermelho.

O seno é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a $\theta ,$ define-se $\operatorname {sen} (\theta )$ como sendo a razão entre o cateto oposto a $\theta$ e a hipotenusa deste triângulo. Ou seja:

$\operatorname {sen} \,\theta ={\frac {\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}}$

Exemplo: Um triângulo retângulo cuja hipotenusa é de valor 10 e seus catetos são de valores 6 e 8. O seno do ângulo oposto ao lado de valor 6 é 6/10 , ou seja, 0,6.

Definição analítica

Pode-se definir função seno pela série de Taylor^[2]: $\operatorname {sen} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para todo }}x$ ^[3] Esta série possui raio de convergência infinito e as bem conhecidas propriedades da função seno podem ser demonstradas diretamente através dela.

Tal definição tem sentido tanto no conjunto dos números reais como no conjunto dos números complexos, e desta maneira pode-se definir o seno de um número complexo $z=x+iy$ como:

$\operatorname {sen} (x+iy)=\operatorname {sen} (x)\cosh(y)+i\operatorname {senh} (y)\cos(x)$

Onde $i$ é a unidade imaginária, $\operatorname {senh}$ é a função seno hiperbólico e $\cosh$ é a função cosseno hiperbólico.

Além disso, o seno pode ser expresso como uma soma de exponenciais complexas, devido á relação de Euler.

$e^{ix}=\cos(x)+i\operatorname {sen} (x)$

$e^{-ix}=\cos(x)-i\operatorname {sen} (x)$

$e^{ix}-e^{-ix}=2i\operatorname {sen} (x)$

$\operatorname {sen} (x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$

A recíproca do seno é a cossecante, e sua inversa é arco seno.

História do nome "seno"

Foi através dos árabes que a trigonometria baseada na meia corda de uma circunferência, que foi apresentada pelos hindus, chegou à Europa.

Os árabes haviam traduzido textos de trigonometria do sânscrito. Os hindus tinham dado o nome de jiva à metade da corda, e os árabes a transformaram em jiba. Na língua árabe é comum escrever apenas as consoantes de uma palavra, deixando que o leitor acrescente mentalmente as vogais. Desse modo, os tradutores árabes registraram jb. Na sua tradução do árabe para o latim, Robert de Chester interpretou jb como as consoantes da palavra jaib, que significa "baía" ou "enseada", e escreveu sinus, que é o equivalente em latim.^[4] A partir daí, a jiba, ou meia corda hindu passou a ser chamada de sinus, e, em português, seno.

Referências

↑ «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 25 de março de 2016
↑ Lars Ahlfors, Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, second edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 1966.
↑ «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 25 de março de 2016
↑ Maor, Eli, Trigonometric Delights Arquivado em 4 de abril de 2004, no Wayback Machine., Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.

Ver também

O Commons possui uma categoria com imagens e outros ficheiros sobre Seno

[1] «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 25 de março de 2016

[Ahlfors-2] Lars Ahlfors, Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, second edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 1966.

[3] «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 25 de março de 2016

[Maor-4] Maor, Eli, Trigonometric Delights Arquivado em 4 de abril de 2004, no Wayback Machine., Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Linha 34: / Linha 34: @@
 A recíproca do seno é a [[cossecante]], e sua inversa é [[arco seno]].
-== Aproximações ==
-Para todo valor de <math display="inline">x</math> que pertença aos reais e esteja no intervalo <math display="inline">\left(0, \frac{\pi}{2}\right)</math>, vale:
-Segue uma lista de funções, erros absolutos máximos, somatório dos erros absolutos e somatório dos erros quadráticos.
-Os erros estão acompanhados das suas respectivas provas matemáticas e uma inequação que dá uma ideia das suas magnitudes.
-=== Aproximação 0 ===
-<math>f(x) = 0</math>
-<math>f(x) \approx \sin(x)</math>
-<math>E_{max} = 1</math>
-<math>E_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |f(x)-sin(x)|dx</math>
-<math>E_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin(x)dx</math>
-<math>E_1 = 1</math>
-<math>E_2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (f(x)-sin(x))^{2} dx</math>
-<math>E_2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^{2}(x) dx</math>
-<math>E_2 = \frac{\pi}{4}</math>
-<math>\frac{1}{2} < \frac{\pi}{4} < \frac{1}{1}</math>
-=== Aproximação 1 ===
-<math>f(x) = 1</math>
-<math>f(x) \approx \sin(x)</math>
-<math>E_{max} = 1</math>
-<math>E_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |f(x)-sin(x)|dx</math>
-<math>E_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-sin(x))dx</math>
-<math>E_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin(x) dx</math>
-<math>E_1 = \frac{\pi}{2} - 1</math>
-<math>\frac{1}{2} < \frac{\pi}{2}-1 < 1</math>
-<math>E^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (f(x)-sin(x))^{2} dx</math>
-<math>E^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-sin(x))^2 dx</math>
-<math>E^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-2sin(x) + sin^2(x)) dx</math>
-<math>E^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} dx - 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin(x)dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^2(x)dx</math>
-<math>E^2 = \frac{\pi}{2} - 2 + \frac{\pi}{4}</math>
-<math>E^2 = \frac{3\pi}{4} - 2</math>
-<math>\frac{1}{3} < \frac{3\pi}{4}-2 < \frac{1}{2}</math>
-=== Aproximação 2 ===
-<math>f(x) = \frac{1}{2}</math>
-<math>f(x) \approx \sin(x)</math>
-<math>E_{max} = \frac{1}{2}</math>
-<math>E_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |f(x)-sin(x)|dx</math>
-<math>E_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \left(\frac{1}{2}-sin(x)\right)dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \left(sin(x) - \frac{1}{2}\right)dx</math>
-<math>E_1 = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} sin(x) dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} sin(x) dx - \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} dx</math>
-<math>E_1 = \frac{\pi}{12} - \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}</math>
-<math>E_1 = -1 + \sqrt{3} - \frac{\pi}{12}</math>
-<math>\frac{1}{3} < -1 + \sqrt{3} - \frac{\pi}{12} < \frac{1}{2}</math>
-<math>E^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (f(x)-sin(x))^{2} dx</math>
-<math>E^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{1}{2}-sin(x)\right)^2 dx</math>
-<math>E^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{1}{4}-sin(x) + sin^2(x)\right) dx</math>
-<math>E^2 = \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin(x)dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^2(x)dx</math>
-<math>E^2 = \frac{\pi}{8} - 1 + \frac{\pi}{4}</math>
-<math>E^2 = \frac{3\pi}{8} - 1</math>
-<math>\frac{1}{6} < \frac{3\pi}{8}-1 < \frac{1}{5}</math>
-=== Aproximação 3 ===
-<math>f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}</math>
-<math>f(x) \approx \sin(x)</math>
-<math>E_{max} = \frac{\sqrt{2}}{2}</math>
-<math>\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1</math>
-<math>E_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |f(x)-sin(x)|dx</math>
-<math>E_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}-sin(x)\right)dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \left(sin(x) - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)dx</math>
-<math>E_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} sin(x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} sin(x) dx - \frac{\sqrt{2}}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} dx</math>
-<math>E_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\pi}{4} - \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\pi}{4}</math>
-<math>E_1 = -1 + \sqrt{2}</math>
-<math>\frac{1}{3} < -1 + \sqrt{2} < \frac{1}{2}</math>
-<math>E^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (f(x)-sin(x))^{2} dx</math>
-<math>E^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}-sin(x)\right)^2 dx</math>
-<math>E^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{1}{2}-\sqrt{2} \cdot sin(x) + sin^2(x)\right) dx</math>
-<math>E^2 = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} dx - \sqrt{2} \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin(x)dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^2(x)dx</math>
-<math>E^2 = \frac{\pi}{4} - \sqrt{2} + \frac{\pi}{4}</math>
-<math>E^2 = \frac{\pi}{2} - \sqrt{2}</math>
-<math>\frac{1}{7} < \frac{\pi}{2}-\sqrt{2} < \frac{1}{6}</math>
-== Inequações Inferiores ==
-Para todo valor de <math display="inline">x</math> que pertença aos reais e esteja no intervalo <math display="inline">\left(0, \frac{\pi}{2}\right)</math>, vale:
-=== Inequação 0 ===
-<math>f(x) = 0</math>
-<math>f(x) \leq sin(x)</math>
-== Inequações Superiores ==
-Para todo valor de <math display="inline">x</math> que pertença aos reais e esteja no intervalo <math display="inline">\left(0, \frac{\pi}{2}\right)</math>, vale:
-=== Inequação 0 ===
-<math>f(x) = 1</math>
-<math>\sin(x) \leq f(x)</math>
 == História do nome "seno" ==
 Foi através dos [[árabes]] que a [[trigonometria]] baseada na meia [[Corda (geometria)|corda]] de uma [[circunferência]], que foi apresentada pelos [[hindu]]s, chegou à [[Europa]].
-Os árabes haviam traduzido textos de trigonometria do [[sânscrito]]. Os hindus tinham dado o nome de ''jiva'' à metade da corda, e os árabes a transformaram em ''jiba''. Na [[língua árabe]] é comum escrever apenas as [[consoantes]] de uma palavra, deixando que o leitor acrescente mentalmente as [[vogal|vogais]]. Desse modo, os [[tradutor]]es árabes registraram ''jb''. Na sua tradução do árabe para o [[latim]], [[Robert de Chester]] interpretou ''jb'' como as consoantes da palavra ''jaib'', que significa "[[baía]]" ou "[[enseada]]", e escreveu ''sinus'', que é o equivalente em latim.<ref name="Maor">Maor, Eli, ''[http://www.pupress.princeton.edu/books/maor/ Trigonometric Delights] {{Wayback|url=http://www.pupress.princeton.edu/books/maor/|date=20040404234808}}'', Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.</ref> A partir daí, a jiba, ou meia corda hindu passou a ser chamada de ''sinus'', e, em [[língua portuguesa|português]], ''seno''.
+Os árabes haviam traduzido textos de trigonometria do [[sânscrito]]. Os hindus tinham dado o nome de ''jiva'' à metade da corda, e os árabes a transformaram em ''jiba''. Na [[língua árabe]] é comum escrever apenas as [[consoantes]] de uma palavra, deixando que o leitor acrescente mentalmente as [[vogal|vogais]]. Desse modo, os [[tradutor]]es árabes registraram ''jb''. Na sua tradução do árabe para o [[latim]], [[Robert de Chester]] interpretou ''jb'' como as consoantes da palavra ''jaib'', que significa "[[baía]]" ou "[[enseada]]", e escreveu ''sinus'', que é o equivalente em latim.<ref name="Maor">Maor, Eli, ''[http://www.pupress.princeton.edu/books/maor/ Trigonometric Delights] {{Wayback|url=http://www.pupress.princeton.edu/books/maor/ |date=20040404234808 }}'', Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.</ref> A partir daí, a jiba, ou meia corda hindu passou a ser chamada de ''sinus'', e, em [[língua portuguesa|português]], ''seno''.
 {{referências|col=2}}

v d e Funções
Tipos	Analítica • Bijetora • Convexa • Divisor • Elementar • Exponencial • Fatorial • Identidade • Inclusão • Inteira • Inversa • Iterada • Limitada • Integral de Tchebychev • Logaritmo • Logaritmo natural • Monótona • Parcial • Polinomial • Retangular • Simples • Sinal • Sobrejetora • Suave
Trigonométricas	Seno • Cosseno • Tangente • Cotangente • Secante • Cossecante
Hiperbólicas	Seno hiperbólico • Cosseno hiperbólico • Tangente hiperbólica • Cotangente hiperbólica • Secante hiperbólica • Cossecante hiperbólica
Famosas	Ackermann • Bessel • Dirichlet • Gama • Heaviside • Mertens • Möbius • Weierstrass
Conceitos	Assimptota/Assíntota • Curva • Derivada • Espaço funcional • Espaço Lp • Gráficos • Integral • Limite • Injectividade • Parte inteira • Primitiva • Projeção • Reta
Funções em economia	Demanda • Oferta • Utilidade