Pontos extremos de uma função

Esta função tem um mínimo global em x=-3, um máximo local em x=0 e um mínimo local em x=2.

Em matemática, especialmente na análise real, os pontos de máximo e mínimo, também chamados de pontos extremos de uma função são pontos do domínio onde a função atinge seu valor máximo e mínimo. Ou seja, dizemos que $M$ e $m$ são valores máximos e mínimos apenas se existem pontos no domínio $x_{m}$ e $x_{M}$ tais que:

$m=f(x_{m})\leq f(x)\leq f(x_{M})=M$, para todo $x$ no domínio.

Em geral, não se pode garantir a existência de tais máximos e mínimos, mesmo para funções reais contínuas limitadas. No entanto é possível mostrar que toda função real definida em um conjunto compacto assume tanto um máximo como um mínimo.

Define-se também ponto de máximo local e ponto de mínimo local, que são pontos de máximo (ou de mínimo) de uma função em alguma vizinhança do ponto contida no domínio.

Definição

Uma função real $f$ definida no domínio de X tem um ponto máximo global em x* se $f(x^{*})\geq f(x)$ para todo x em X. Similarmente, a função tem um ponto mínimo global em x* se $f(x^{*})\leq f(x)$ para todo x em X.

O valor da função no ponto máximo é chamado de valor máximo da função e o valor da função no ponto mínimo é chamado de valor mínimo da função.

Se o domínio X é um espaço métrico então f tem um ponto máximo local no ponto x* se existir algum Ɛ 0  de modo que f(x*)  f(x) para todo x em X dentro da distância Ɛ de x*. Similarmente, a função tem um ponto mínimo local no x* se f(x*)  f(x) para todo x em X dentro da distância Ɛ de x*. Uma definição similar pode ser usada quando X é um espaço topológico, desde que a definição possa somente ser reescrita em termos de sua vizinhança. Note que um ponto máximo global é sempre um ponto máximo local, e igualmente para pontos mínimos.

Uma função contínua real com um domínio compacto sempre tem um ponto máximo e mínimo. Um importante exemplo é uma função cujo domínio é um intervalo aberto de números reais (e limitado)  (veja o gráfico acima).

Máximos e mínimos

Encontrar o máximo e mínimo global é o objetivo da otimização matemática. Se uma função é contínua em um intervalo fechado, então o teorema do valor extremo máximo e mínimo global existe. Além disso, o máximo global (ou mínimo) também pode ser um máximo local (ou mínimo) no interior do domínio, ou deve estar no limite do domínio. Então o método de encontrar o máximo global (ou mínimo) é através de todo máximo local (ou mínimo) no inteiro e também nos pontos máximos (ou mínimos) dos limites, e admitir o maior ou menor. Métodos dos intervalos fechados, para calcular máximos e mínimos absolutos de uma função $f:[a,b]$ pertence ao conjunto dos números reais, IR devemos:

1.     Derivar $f(x)$ e encontrar $C$, com $f'(C)=0$

2.     Encontrar os valores $C$, onde $f'(C)$ não existe.

3.     Calcular $f(a)$ e $f(b)$.

4.     Comparar $f(a)$ e $f(b)$ e os valores $f(C)$:

·        O maior é o máximo absoluto

·        O menor é o mínimo absoluto.

EX: $f(x)=x^{3}-3x^{2}+1$                 $[-1/2.4]$     

*Primeiro passo derivar a função.

$f'(x)=3x^{2}-6x$

* segundo passo achar o valor de x quando a derivada é 0 (achar as raízes da derivada)

$f'(x)=0$

$3x^{2}-6x=0$

$3x(x-2)=0$

Usando a regra de Bhaskara, para que o resultado seja igual a zero, ou 3x =0, ou (x – 2) = 0

portanto as raízes são

$x_{1}=0$ e $x_{2}=2$

*Terceiro passo, substituir o ponto do intervalo $[-1/2.4]$, na função.

$f(x)=x^{3}-3x^{2}+1$

*Quarto passo, substituir os valores das raízes da derivada na função

Onde

$f(x)=x^{3}-3x^{2}+1$

(4) ponto máximo absoluto                    (2) ponto mínimo absoluto

(17) máximo absoluto                            (-3) mínimo absoluto

O extremo local de uma função diferenciável pode ser encontrada através do teorema de Fermat, em que encontra os pontos críticos. Um modo é distinguir aonde o ponto critico é máximo local ou mínimo local usando o teste da primeira derivada, ou o teste de várias derivadas, dando uma suficiente diferenciabilidade.

Funções com mais de uma variável 

Superfície de Peano, um contraexemplo para o critério de máximo local do século XIX

Para funções de mais do que uma variável as mesmas condições se aplicam. Por exemplo, na figura a direita, a condição necessária para o máximo local são similares a utilizadas para uma função com somente uma variável. A primeira derivada parcial em z (a variável a ser maximizada) é zero no máximo. A segunda derivada parcial é negativa. Isto é necessário, porém não é uma condição suficiente para um máximo local porque há a possibilidade de um ponto mínimo. Para resolver essas condições para o máximo, a função z tem que ser completamente diferenciável. O teste da segunda derivada parcial pode ajudar classificar o ponto em que é máximo relativo ou mínimo relativo. Em contraste, há diferenças entre funções de uma variável e funções de mais do que uma variável na identificação do extremo global. Por exemplo, se um limite de uma função diferenciável f definidade em um intervalo fechado na linha dos reais tem um único ponto crítico, no qual é um mínimo local, então este é também um mínimo global (usando o Teorema do valor intermediário e o Teorema de Rolle prova isto por redução pelo absurdo). Em duas ou mais dimensões, estes argumentos falham, como a função mostra

$f(x,y)=x^{2}+y^{2}(1-x)^{3},x,y\in R$

O ponto critico é (0,0) no qual é o mínimo local com $f(0,0)=0$. No entanto, este não pode ser um global, porque $f(2,3)=-5$.

Exemplos

• $f(x)=x^{2}$ definida na reta admite um mínimo em $x=0$ mas não admite máximo.
• $f(x)=x^{3}$ não tem mínimo ou máximo global. Entretanto a primeira derivada $3x^{2}$ é 0 em $x=0$, este é um ponto de inflexão.
• $f(x)=|x|$ tem um mínimo global em $x=0$ que não pode ser encontrado pelas derivadas, porque a derivadas não existe em x=0.
• $f(x)=cos(x)$ definida na reta admite infinitos pontos de máximo e infinitos pontos de mínimo.
• $f(x)=\sin(x)$ definida na reta admite infinitos pontos de máximo e infinitos pontos de mínimo.

Pontos críticos

Ver artigo principal: Ponto crítico (funções)

Seja $f:D\to \mathbb {R}$ uma função real diferenciável em um domínio $D$ contido nos reais. Então todo ponto de máximo ou de mínimo local é também um ponto crítico da função, ou seja, sua derivada é nula.

Para demonstração isso, seja $x_{0}$ um ponto de máximo local, a derivada é dada por:

$f'(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

Podemos supor que $h$ é suficientemente pequeno de forma que $f(x_{0}+h)\leq f(x_{0})$.

O que nos permite concluir, usando a existência do limite:

$f'(x_{0})=\lim _{h\to 0+}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\leq 0$

$f'(x_{0})=\lim _{h\to 0-}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\geq 0$

A demonstração no caso de um ponto de mínimo é análoga.

Referências

Stewart. James. Calculo. volume 1. 7 ed. São Paulo. Cengage Learning. 2013

Ver também

• Multiplicadores de Lagrange, método para encontrar extremos de uma função.
• Limites superior e inferiores