Geometria analítica

Sistema cartesiano de coordenadas.

Em matemática, a expressão geometria analítica possui dois significados distintos. O significado moderno e avançado se refere à geometria das variedades analíticas. Este artigo foca no significado clássico e elementar da expressão.

A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e de geometria cartesiana, é o estudo da geometria por meio de um sistema de coordenadas e dos princípios da álgebra e da análise. Ela contrasta com a abordagem sintética da geometria euclidiana, em que certas noções geométricas são consideradas primitivas, e é utilizado o raciocínio dedutivo a partir de axiomas e teoremas para obter proposições verdadeiras. A geometria anallitica é muito utilizada na física e na engenharia, e é o fundamento das áreas mais modernas da geometria, incluindo geometria algébrica, diferencial, discreta e computacional.

Em geral, o sistema de coordenadas cartesianas é usado para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. A geometria analítica ensinada nos livros escolares pode ser explicada de uma forma mais simples: ela diz respeito a definição e representação de formas geométricas de modo numérico e a extração de informação numérica dessa representação. O resultado numérico também pode, no entanto, ser um vector ou uma forma. O fato de que a álgebra dos números reais pode ser empregada para produzir resultados sobre o contínuo linear da geometria baseia-se no axioma de Cantor-Dedekind.

História

A introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna.^{[carece de fontes]} A geometria analítica é atribuída tradicionalmente a René Descartes, que fez um progresso significante em seus métodos em um ensaio chamado Geometria, que foi um dos anexos publicados no seu Discurso do Método, em 1637. Este trabalho e os seus princípios filosóficos criaram as fundações para o cálculo infinitesimal na Europa, que foi mais tarde desenvolvido independentemente por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz.

Abraham de Moivre também foi pioneiro no desenvolvimento da geometria analítica.

Temas

Os temas importantes de geometria analítica incluem:

• Espaço vectorial
• Definição do plano
• Problemas de distância
• O produto escalar para obter o ângulo entre dois vectores
• O produto vectorial para obter um vector perpendicular a dois vectores conhecidos (e também o seu volume espacial)
• Problemas de intersecção

Muitos destes problemas envolvem álgebra linear.

Geometria analítica moderna

A geometria analítica, no contexto da geometria algébrica, é também o nome da teoria das variedades complexas e dos espaços analíticos mais gerais. Está ligada à geometria algébrica, especialmente pelo trabalho de Jean-Pierre Serre.

Ligações externas

• Analytic Geometry: Capítulo sobre geometria analítica de um livro de cálculo disponível no site da Whitman College. (Em inglês)

Referências

• Venturi, Jacir J.. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 8 ed. Curitiba: [s.n.]. ISBN 85.85132-48-5
• Sebastiani, Marcos. Introdução à Geometria Analítica Complexa. Rio de Janeiro: IMPA, 2004. ISBN 85-244-0218-0