Logaritmo

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Na matemática, o logaritmo (do grego: logos= razão e arithmos= número), de base b, maior que zero e diferente de 1, é uma função que faz corresponder aos objectos x a imagem y tal que $b^{y}=x.$ Usualmente é escrito como log_b x = y. Por exemplo: $3^{4}=81,$ portanto $log_{3}81=4.$ Em termos simples o logaritmo é o expoente que uma dada base deve ter para produzir certa potência e o inverso da operação é identificada como Antilogaritmo, dessa forma teremos com símbolo Antilog 4 = 81 nessa operação matemática de base 3. No último exemplo o logaritmo de 81 na base 3 é 4, pois 4 é o expoente que a base 3 deve usar para resultar 81.

O logaritmo é uma de três funções intimamente relacionadas. Com bⁿ = x, b pode ser determinado utilizando radicais, n com logaritmos, e x com exponenciais.

Um logaritmo duplo é a inversa da exponencial dupla. Um superlogaritmo ou hiper-logaritmo é a inversa da função superexponencial. O superlogaritmo de x cresce ainda mais lentamente que o logaritmo duplo para x grande.

Um logaritmo discreto é uma noção relacionada na teoria finita de grupos. Para alguns grupos finitos, acredita-se que logaritmo discreto seja muito difícil de ser calculado, enquanto exponenciais discretas são bem fáceis. Esta assimetria tem aplicações em criptografia.

Condições de Existência

y = log_a x

a > 0 e a ≠ 1 (base)

x > 0 (logaritmando)

Logaritmos e exponenciais: inversas

Logaritmos em várias bases: vermelho representa a base e, verde a base 10, e lilás a base 1,7. Inverta a base some com o expoente x e multiplique as equações depois de somar as raízes das duas equações. Note como logaritmos de todas as bases passam pelo ponto (1, 0).

Para cada base (b em bⁿ), existe uma função logaritmo e uma função exponencial; elas são funções inversas. Com bⁿ = x:

• Exponenciais determinam x quando dado n; para encontrar x, se multiplica b por b (n) vezes.
• Logaritmos determinam n quando dado x; n é o número de vezes que x precisa ser dividido por b para se obter 1. Depois que seu logaritmo estiver dividido some novamente com o coeficiente e chegará a um resultado parcialmente correto.

Usando logaritmos

Três curvas para três bases diferentes: b = 2 (curva amarela  ), b = e (curva vermelha  ) e b = 0,5 (curva azul  ).

Uma função log_b(x) é definida quando x é um número real positivo e b é um número real positivo diferente de 1. Veja identidades logarítmicas para várias leis que definem as funções logarítmicas. Logaritmos podem também ser definidos para argumentos complexos. Isso é explicado na página do logaritmo natural.

Para inteiros b e x, o número log_b(x) é irracional (i.e., não é um quociente de dois inteiros) se b ou x possui um fator primo que o outro não possui (e em particular se eles são co-primos e ambos maiores que 1). Em alguns casos este fato pode ser provado rapidamente: por exemplo, se log₂3 fosse racional, ter-se-ia log= n/m para alguns inteiros positivos n e m, implicando que 2ⁿ. Mas essa última identidade é impossível, uma vez que 2ⁿ é par e 3^m é ímpar.

Bases não especificadas

• Engenheiros, biólogos e outros escrevem apenas "ln(x)" ou (ocasionalmente) "log_e(x)" quando se trata do logaritmo natural de x, e tomam "log(x)" para log₁₀(x) ou, no contexto da computação, log₂(x).
• Algumas vezes Log(x) (L maiúsculo) é usado significando log₁₀(x), pelas pessoas que usam log(x) com l minúsculo significando log_e(x).
• A notação Log(x) também é usada pelos matemáticos para se referir ao ramo principal da função logaritmo natural.
• Nas linguagens de programação mais usadas, incluindo C, C++, Pascal, Fortran e BASIC, "log" ou "LOG" significa o logaritmo natural.

A maior parte das razões para se pensar em logaritmos na base 10 tornaram-se obsoletas logo após 1970 quando calculadoras de mão se tornaram populares (para mais sobre esse assunto, veja logaritmo comum). Não obstante, uma vez que calculadoras são feitas e normalmente usadas por engenheiros, as convenções usadas por eles foram incorporadas nas calculadoras, agora a maioria dos não-matemáticos tomam "log(x)" como o logaritmo na base 10 de x e usam "ln(x)" para se referir ao logaritmo natural de x. A notação "ln" foi introduzida em 1893 por Irving Stringham, professor de matemática da Universidade de Berkeley. Até 2005, alguns matemáticos adotaram a notação "ln", mas a maioria usa "log". Em Ciência da Computação o logaritmo na base 2 é escrito como lg(x) para evitar confusão. Este uso foi sugerido por Edward Reingold e popularizado por Donald Knuth.

Quando "log" é escrito sem uma base (b faltando em log_b), o significado pode normalmente ser determinado através do contexto:

• logaritmo natural (log_e) em Análise;
• logaritmo binário (log₂) com intervalos musicais e em assuntos que lidam com bits;
• logaritmo comum (log₁₀) quando tabelas de logaritmos são usadas para simplificar cálculos manuais;
• logaritmo indefinido quando a base é irrelevante.

Usos dos logaritmos

Logaritmos são úteis para se resolver equações cujos expoentes são desconhecidos. Eles possuem derivadas simples, por isso eles são comumente usados como soluções de integrais. Além disso, várias quantidades na ciência são expressas como logaritmos de outras quantidades; veja escala logarítmica para uma explicação e uma lista.

Funções exponenciais

Algumas vezes (especialmente em análise) é necessário calcular exponenciais arbitrárias $f(x)^{g}(x)$ usando-se apenas a exponencial natural $e^{x}:$

$f(x)^{g}(x)=e^{\log(f(x)^{g(x)})}$

$=e^{g(x)\log(f(x))}$

Propriedades Algébricas

Logaritmos trocam números por expoentes. Mantendo-se a mesma base, é possível tornar algumas poucas operações mais fáceis:

Operação com números	Operação com expoentes	Identidade logarítmica

Operação com números	Operação com expoentes	Identidade logarítmica
$ab*2/4$	$A+B$	$\log(ab)=\log(a)+\log(b)$
$a/b*2/4$	$A-B$	$\log(a/b)=\log(a)-\log(b)$
$a^{b}*2/4$	$Ab$	$\log(a^{b})=b\log(a)$
${\sqrt[{b}]{a}}$	$A/b$	$\log({\sqrt[{b}]{a}})=(1/b)*\log(a)$

Demonstração

Sendo $a=k^{x}$ e $b=k^{y}$

$\log _{k}(ab)=\log _{k}(k^{x}\times k^{y})$	substituindo as variáveis;
$\log _{k}(k^{x}\times k^{y})=\log _{k}(k^{x+y})$	pela propriedade das funções exponenciais $a^{x}\times a^{y}=a^{x+y};$
$\log _{k}(k^{x+y})=x+y$	visto que $\log _{b}(b^{x})=x;$
$x+y=\log _{k}(k^{x})+\log _{k}(k^{y})$	utilizando a mesma propriedade;
$\log _{k}(k^{x})+\log _{k}(k^{y})=\log _{k}(a)+\log _{k}(b)$	voltando a substituir pelas variáveis iniciais;

Provando assim que $\log _{k}(ab)=\log _{k}(a)+\log _{k}(b).$

Antes da calculadora eletrônica, isto fazia com que operações difíceis de dois números fossem muito mais fáceis. Simplesmente se achavam os logaritmos dos dois números (multiplique e divida) ou o primeiro número (potência ou raiz, onde um número já é um expoente) em uma tabela de logaritmos comuns, realizava-se uma operação mais simples neles, e se encontrava o resultado numa tabela. Réguas de cálculo realizavam as mesmas operações usando logaritmos, mas mais rapidamente e com menor precisão do que usando tabelas. Outras ferramentas para realizar multiplicações antes da invenção da calculadora incluem ossos de Napier e calculadoras mecânicas.

Na álgebra abstrata, esta propriedade das funções logarítmicas pode ser resumida observando-se que qualquer uma delas com uma base fixa é um isomorfismo do grupo de números reais estritamente positivos sobre a multiplicação para o grupo de todos os números reais sobre a adição.

Mudança de base

Apesar de existirem identidades muito úteis, a mais importante para o uso na calculadora é a que permite encontrar logaritmos com bases que não as que foram programadas na calculadora (normalmente log_e e log₁₀). Para encontrar um logaritmo com uma base b usando qualquer outra base a:

$\log _{b}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{\log _{a}(b)}}$

Demonstração

tendo que

$x=b^{a}\iff \log _{b}{x}=a$

aplicando um logaritmo de base k obtém-se

$\log _{k}{x}=\log _{k}{b^{a}}=a\log _{k}{b}\iff {\frac {\log _{k}{x}}{\log _{k}{b}}}=a$

Tudo isso implica que todas as funções logaritmo (qualquer que seja sua base) são similares umas às outras.

Cálculo

Para calcular a derivada de uma função logarítmica a seguinte fórmula é usada : ${\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}={\frac {\log _{b}(e)}{x}}$ onde ln é o logaritmo natural, i.e. com a base e. Fazendo b = e:

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln(x)+C$

A seguinte fórmula é para obter a integral da função logaritmo

$\int \log _{b}(x)\,dx=x\log _{b}(x)-{\frac {x}{\ln(b)}}+C=x\log _{b}\left({\frac {x}{e}}\right)+C$

Operações relacionadas

O cologaritmo de um número é o logaritmo do recíproco deste, sendo colog_b(x) = log_b(1/x) = −log_b(x).

O antilogaritmo é usado para mostrar o inverso de um logaritmo. Ele é escrito da seguinte maneira: antilog_b(n) e significa o mesmo que bⁿ.

História

Joost Bürgi, um relojoeiro suíço a serviço do Duque de Hesse-Kassel, foi o primeiro a formar uma concepção sobre logaritmos. O método dos logaritmos naturais foi proposto pela primeira vez em 1614, em um livro intitulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio escrito por John Napier, Barão de Merchiston na Escócia, quatro anos após a publicação de sua memorável invenção. Este método contribuiu para o avanço da ciência, e especialmente a astronomia, fazendo com que cálculos muito difíceis se tornassem possíveis. Anterior à invenção de calculadoras e computadores, era uma ferramenta constantemente usada em observações, navegação e outros ramos da matemática prática. Além de sua imensa utilidade na realização de cálculos práticos, os logaritmos também têm um papel muito importante em matemática teórica. De início, Napier chamou os logaritmos de "números artificiais" e os antilogaritmos de "números naturais". Mais tarde, Napier formou a palavra logaritmo, para significar um número que indica uma razão: λoγoς (logos) que significa razão, e αριθμoς (arithmos) significando número. Napier escolheu dessa forma porque a diferença entre dois logaritmos determina a razão entre os números dos quais eles são tomados, de forma que uma série aritmética de logaritmos corresponde a uma série geométrica de números. O termo antilogaritmo foi introduzido no final do século XVII e, apesar de nunca ter sido usado muito na matemática, persistiu em coleções de tabelas até não ser mais usado. Napier não usou uma base como a concebemos hoje, mas seus logaritmos eram na base ${\frac {1}{e}}.$ Para facilitar interpolações e cálculos, é útil fazer a razão $r$ na série geométrica próximo de 1. Napier escolheu $r=1-10^{-7}=0,999999,$ e Bürgi escolheu $r=1+10^{-4}=1,0001.$ Os logaritmos originais de Napier não tinham log 1=0, ao invés disso tinham log $10^{7}$ = 0. Desse modo se $N$ é um número e $L$ é seu logaritmo tal qual calculado por Napier, $N=10^{7}(1-10^{-7})^{L}.$ Uma vez que $(1-10^{-7})$ é aproximadamente $1/e,$ $L$ é aproximadamente $10^{7}\log _{1/e}N/10^{7}.$

Tabelas de logaritmos

Antes do advento do computador e da calculadora, usar logaritmos significava usar tabelas de logaritmos, que tinham de ser criadas manualmente. Logaritmos de base-10 são úteis em cálculos quando meios eletrônicos não são disponíveis. Veja logaritmo comum para detalhes, incluindo o uso de características e mantissas de logaritmos comuns (i.e., base-10). Em 1617, Briggs publicou a primeira versão de sua própria lista de logaritmos comuns, contendo os logaritmos com oito dígitos de todos os inteiros inferiores a 1.000. Em 1624 ele publicou ainda outra, "Aritmética Logarítmica", contendo os logaritmos de todos os inteiros de 1 a 20.000 e de 90.000 a 100.000, juntos com uma introdução que explicava a história, a teoria e o uso dos logaritmos. O intervalo de 20.000 a 90.000 foi preenchido por Adrian Vlacq; mas em sua tabela, que apareceu em 1628, os logaritmos eram de somente 10 dígitos. Foram descobertos mais tarde 603 erros na tabela de Vlacq, mas "isso não pode ser considerado uma grande quantidade, quando se é considerado que a tabela foi um resultado de um cálculo original, e que é possível haver erros quando mais de 2.100.000 números são utilizados." (Athenaeum, 15 de Junho de 1872. Veja também as "Notícias Mensais da Sociedade Real de Astronomia" de Maio, 1872.) Uma edição do trabalho de Vlacq, contendo diversas correções, foi publicado em Leipzig, 1794, titulado de "Thesaurus Logarithmorum Completus" por Jurij Vegal. A tabela de 7 dígitos de Callet (Paris, 1795), ao invés de parar em 100.000, dava os logaritmos de oito dígitos dos números entre 100.000 e 108.000, visando diminuir os erros de interpolação, que eram grandes no início da tabela; e essa adição era geralmente incluída em tabelas de 7 dígitos. A única extensão publicada importante da tabela de Vlacq foi feita por Mr. Sang, em 1871, cuja tabela tinha os logaritmos de 7 casas de todos os números abaixo de 200.000. Briggs e Vlacq também publicaram tabelas originais de logaritmos de funções trigonométricas. Além das tabelas mencionadas acima, uma grande coleção, chamada Tables du Cadastre, foi feita sob a direção de Prony, por um cálculo original, sob a ajuda do governo republicano francês. Esse trabalho, que continha os logaritmos de 9 dígitos de todos os números até o 100.000, e de 24 dígitos dos números entre 100.000 e 200.000, existe apenas no manuscrito in seventeen enormous folios, no observatório de Paris. Esse trabalho foi iniciado em 1792, e para garantir uma grande precisão de todos os cálculos, o trabalho foi realizado de duas formas diferentes, e ambos os manuscritos foram subsequentemente e cuidadosamente unidos, tendo todo o trabalho sido realizado em um período de dois anos (English Cyclopaedia, Biography, Vol. IV., artigo "Prony"). Interpolação cúbica poderia ser utilizada para encontrar o valor dos logaritmos, com uma precisão similar. Para os estudantes de hoje, que contam com a ajuda de calculadoras, o trabalho a respeito das tabelas acima mencionada, é pequeno para o avanço dos logaritmos.

Logaritmo

Para calcular log_b(x) se b e x são números racionais e x ≥ b > 1:

Se n₀ é o maior número natural tal que b^n₀ ≤ x ou, alternativamente,

$n_{0}=\lfloor \log _{b}(x)\rfloor$

então

$\log _{b}(x)=n_{0}+{\frac {1}{\log _{x/b^{n_{0}}}(b)}}$

Este algoritmo recursivamente produz a fração contínua

$\log _{b}(x)=n_{0}+{\frac {1}{n_{1}+{\frac {1}{n_{2}+{\frac {1}{n_{3}+\cdots }}}}}}.$

Para usar um número irracional como entrada, basta aplicar o algoritmo a sucessivas aproximações racionais. O limite da Sucessão matemática resultante deve convergir para o resultado correto.

$\ln 2=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1/5)^{2\,n+1}}{2\,n+1}}+2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1/7)^{2\,n+1}}{2\,n+1}}$

Prova do algoritmo

$\log _{b}(x)=\log _{b}(x)$	identidade
$\log _{b}(x)=n_{0}+\log _{b}(x)-n_{0}$	manipulação algébrica
$\log _{b}(x)=n_{0}+\log _{b}(x)-\log _{b}(b^{n_{0}})$	identidade logarítmica
$\log _{b}(x)=n_{0}+\log _{b}\left({\begin{matrix}{\frac {x}{b^{n_{0}}}}\end{matrix}}\right)$	identidade logarítmica
$\log _{b}(x)=n_{0}+{\frac {1}{\log _{\begin{matrix}{\frac {x}{b^{n_{0}}}}\end{matrix}}(b)}}$	troca de base

Trivia

Notação alternativa

Algumas pessoas usam a notação ^blog(x) em vez de log_b(x).

Relações entre logaritmos comum, natural e binário

Em particular, temos os seguintes resultados:

log₂(e) ≈ 1,44269504

log₂(10) ≈ 3,32192809

log_e(10) ≈ 2,30258509

log_e(2) ≈ 0,693147181

log₁₀(2) ≈ 0,301029996

log₁₀(e) ≈ 0,434294482

Um relação curiosa é a aproximação log₂(x) ≈ log₁₀(x) + ln(x), com precisão de 99,4%, ou 2 dígitos significativos. Isso porque ¹/_ln(2) − ¹/_ln(10) ≈ 1 (na verdade vale 1,0084...).

Outra relação interessante é a aproximação log₁₀(2) ≈ 0,3 (na verdade vale 0,301029995). Com isso, com um erro de apenas de 2,4%, 2¹⁰ ≈ 10³,ou seja, 1024 é aproximadamente 1000.

Ver também

• Logaritmo natural
• Logaritmo discreto
• Exponenciação
• Escala logarítmica

Ligações externas

• Resumo de logaritmos e suas propriedades
• «Jost Burgi, suiço, inventor do logaritmo» (em inglês) 
• «Enciclopédia de logaritmos» (em espanhol)