Sistema de partículas em interação

Na teoria da probabilidade, um sistema de partículas em interação (IPS) é um processo estocástico $(X(t))_{t\in \mathbb {R} ^{+}}$ em algum espaço de configuração $\Omega =S^{G}$ dado por um espaço de sítio, um grafo infinito contável $G$ e um espaço de estado local, um espaço métrico compacto $S$. Mais precisamente, IPSs são processos de Marvok de tempo contínuo que descrevem o comportamento coletivo de componentes estocasticamente em interação. IPSs são os análogo de tempo contínuo dos autômatos celulares estocásticos. Entre os principais exemplos são o modelo de eleições, o processo de contato, o processo de exclusão simples  assimétrico (PESA), a dinâmica de Glauber e, em particular, o modelo Ising estocástico.

IPS são geralmente definidos através de seus geradores de Markov dando origem a um processo de Markov único utilizando semigrupos de Markov e o teorema de Hille-Yosida. Novamente o gerador é dada através das denominadas taxas de transição $c_{\Lambda }(\eta ,\xi )>0$ onde $\Lambda \subset G$ é um conjunto finito de sítios e $\eta ,\xi \in \Omega$ com $\eta _{i}=\xi _{i}$ para todo $i\notin \Lambda$. As taxas descrevem tempos de espera exponenciais do processo para saltar da configuração $\eta$ para a configuração $\xi$. Geralmente, as taxas de transição são dadas na forma de uma medida finita $c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )$ em $S^{\Lambda }$.

O gerador $L$ de um IPS tem a seguinte forma: primeiro, o domínio de $L$ é um subconjunto do espaço de "observáveis", isto é, o conjunto de valores reais de funções contínuas no espaço de configuração $\Omega$. Em seguida, para qualquer $f$ observável no domínio de $L$, tem-se

$Lf(\eta )=\sum _{\Lambda }\int _{\xi :\xi _{\Lambda ^{c}}=\eta _{\Lambda ^{c}}}c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )[f(\xi )-f(\eta )]$.

Por exemplo, para o modelo Ising estocástico temos $G=\mathbb {Z} ^{d}$, $S=\{-1,+1\}$, $c_{\Lambda }=0$ se $\Lambda \neq \{i\}$ para alguns $i\in G$ e

$c_{i}(\eta ,\eta ^{i})=\exp[-\beta \sum _{j:|j-i|=1}\eta _{i}\eta _{j}]$

onde $\eta ^{i}$ é a configuração igual a $\eta$ exceto que ela é invertida no sítio $i$. ${\displaystyle }$ é um novo parâmetro modelando a temperatura inversa.