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Em matemática, o lema de Itō é uma identidade usada em cálculo de Itō para encontrar a diferencial de uma função dependente do tempo de um processo estocástico. É o análogo em cálculo estocástico da regra da cadeia do cálculo comum. Pode ser heuristicamente derivado ao formar a expansão da série de Taylor de uma função, separando suas derivadas de segunda ordem e retendo termos até a primeira ordem no incremento do tempo e a segunda ordem no incremento de processo de Wiener. O lema é amplamente empregado em matemática financeira e sua aplicação mais conhecida é a derivação da equação de Black-Scholes para valores de opção.
O lema de Itō, que recebe este nome em homenagem a Kiyoshi Itō, é ocasionalmente referido como o teorema de Itō-Doeblin em reconhecimento ao trabalho postumamente descoberto de Wolfgang Doeblin.[1]
Enquanto o lema de Itō foi provado por Kiyoshi Itō, o teorema de Itō, um resultado em teoria dos grupos, recebe este nome devido a Noboru Itō.[2]
Derivação informal[editar | editar código-fonte]
Uma prova formal do lema se baseia em tomar o limite de uma sequência de variáveis aleatórias.[3] Esta abordagem não é apresentada aqui, já que envolve uma série de detalhes técnicos. Em vez disto, segue abaixo um esboço de como se pode derivar o lema de Itō ao expandir uma série de Taylor e aplicar as regras do cálculo estocástico.
Considere Xt um processo de tendência-difusão de Itō que satisfaz à equação diferencial estocástica
em que Bt é um processo de Wiener. Se f(t,x) for uma função escalar duplamente diferenciável, sua expansão em uma série de Taylor é
Substituindo Xt por x e μt dt + σt dBt por dx temos
No limite dt → 0, os termos dt2 e dt dBt tendem a zero mais rapidamente que dB2, que é O(dt). Configurando os termos dt2 e dt dBt a zero, substituindo dt por dB2 e coletando os termos dt e dB, obtemos
como exigido.
Formulação matemática do lema de Itō[editar | editar código-fonte]
Nas subseções seguintes, são discutidas versões de lema de Itō para diferentes tipos de processos escolásticos.[4]
Processos de tendência-difusão (drift-diffusion) de Itō[editar | editar código-fonte]
Em sua forma mais simples, o lema de Itō afirma que, para um processo de tendência-difusão de Itō[5]
em que é a diferencial do movimento Browniano. Para qualquer função escalar duplamente diferenciável f(t,x) de duas variáveis reais t e x, tem-se
Isto imediatamente implica que f(t,Xt) é um processo de tendência-difusão de Itō.
Em dimensões mais elevadas, se é um vetor de processo de Itō,[6] tal que
para um vetor e uma matriz , o lema de Itō afirma então que
em que ∇X f é o gradiente de f em relação a X, HX f é a matriz hessiana de f em relação a X, e Tr é o operador traço.
Processo de salto de Poisson[editar | editar código-fonte]
Também é possível definir funções relativas a processos estocásticos descontínuos.[7]
Considere h a densidade do salto. O modelo de processo de Poisson para saltos diz que a probabilidade de um salto no intervalo [t, t + Δt] é hΔt mais termos de ordem mais elevada. h pode ser uma constante, uma função determinística do tempo ou um processo estocástico. A probabilidade de sobrevivência ps(t) é a probabilidade de que nenhum salto ocorra no intervalo [0, t]. A mudança na probabilidade de sobrevivência é
Então
Considere S(t) um processo estocástico descontínuo. é o valor de conforme se aproxima a partir da esquerda. é a mudança não infinitesimal em S(t) como um resultado de um salto. Então
Considere a magnitude do salto e a distribuição de probabilidade de . A magnitude esperada do salto é
Defina , um processo compensado e martingale, como
Então
Considere uma função do processo de salto dS(t). Se S(t) salta Δs, então g(t) salta Δg. Δg é tirado da distribuição que pode depender de , dg e . A parte de salto de é
Se contém tendência, difusão e salto, então o lema de Itō para é
O lema de Itō para um processo que é a soma de processo de tendência-difusão e um processo de salto é simplesmente a soma do lema de Itō para as partes individuais.
Semimartingales não contínuos[editar | editar código-fonte]
O lema de Itō também pode ser aplicado a semimartingales gerais de dimensões, que não precisam ser contínuos.[8] Em geral, um semimartingale é um processo càdlàg e um termo adicional precisa ser adicionado à fórmula para garantir que os saltos do processo estejam corretamente dados pelo lema de Itō. Para qualquer processo càdlàg Yt, o limite à esquerda em é denotado por Yt−, que é um processo contínuo à esquerda. Os saltos são escritos como ΔYt = Yt − Yt−. Então, o lema de Itō afirma que, se X = (X1, X2, ..., Xd) for um semimartingale de dimensões e for uma função de valores reais duplamente e continuamente diferenciável em Rd, então, é um semimartingale e
Isto difere da fórmula para semimartingales contínuos pelo termo adicional somando ao longo dos saltos de , garantindo que o salto do lado direito no tempo seja .
Processos de salto não contínuos múltiplos[editar | editar código-fonte]
Também há uma versão disto para um função duplamente e continuamente diferenciável no espaço e unicamente diferenciável no tempo avaliado em semimartingales (potencialmente diferentes) não contínuos que pode ser escrita da seguinte forma:
Em que denota a parte contínua do -ésimo semimartingale.
Exemplos[editar | editar código-fonte]
Movimento browniano geométrico[editar | editar código-fonte]
Um processo segue um movimento browniano geométrico com volatilidade constante e deriva constante se satisfizer à equação diferencial estocástica dS = S(σdB + μdt) para um movimento browniano . Aplicando-se o lema de Itō com , temos
Segue-se disto
e a exponenciação dá para a expressão
O tempo de correção de − σ22 corresponde à diferença entre a mediana e a média da distribuição log-normal ou, equivalentemente a esta distribuição, a média geométrica e a média aritmética, sendo a mediana (média geométrica) mais baixa. Isto se deve à desigualdade das médias e corresponde ao logaritmo sendo convexo para baixo, então o termo de correção pode, portanto, ser interpretado como uma correção de convexidade. Isto é uma versão infinitesimal do fato de que o retorno anualizado é menor que o retorno médio, sendo diferença proporcional à variância.
O mesmo fator de σ22 aparece nas variáveis auxiliares e da fórmula de Black-Scholes e pode ser interpretado como uma consequência do lema de Itō.
Exponencial de Doléans-Dade[editar | editar código-fonte]
O exponencial de Doléans-Dade (ou exponencial estocástico) de um semimartingale contínuo pode ser definido como a solução da equação diferencial estocástica dY = Y dX com condição inicial Y0 = 1. É às vezes denotado como Ɛ(X). Aplicando-se o lema de Itō com , temos
A exponenciação dá a solução
Fórmula de Black-Scholes[editar | editar código-fonte]
O lema de Itō pode ser usado para derivar a fórmula de Black-Scholes para uma opção.[9] Suponha que o preço de uma ação segue um movimento browniano geométrico dado pela equação diferencial estocástica dS = S(σdB + μ dt). Então, se o valor de uma opção no tempo for , o lema de Itō dá
O termo representa a variação no valor no tempo da estratégia de negociação que consiste em manter em carteira uma quantidade da ação. Seguindo essa estratégia e considerando que qualquer quantidade de dinheiro mantida é remunerada à taxa livre de risco , então o valor total deste portfólio satisfaz à equação diferencial estocástica
Esta estratégia replica a opção se . A combinação destas equações resulta na famosa equação de Black-Scholes
Ver também[editar | editar código-fonte]
Referências[editar | editar código-fonte]
- ↑ Bru, Bernard; Yor, Marc (1 de janeiro de 2002). «Comments on the life and mathematical legacy of Wolfgang Doeblin». Finance and Stochastics (em inglês). 6 (1): 3–47. ISSN 0949-2984. doi:10.1007/s780-002-8399-0
- ↑ W., Weisstein, Eric. «Ito's Lemma». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 11 de maio de 2017
- ↑ «Ito's Lemma and its Derivation». www.sjsu.edu. Consultado em 11 de maio de 2017
- ↑ Itô, Kiyosi (1 de janeiro de 1944). «Stochastic integral». Proceedings of the Imperial Academy (em inglês). 20 (8): 519–524. ISSN 0369-9846. doi:10.3792/pia/1195572786
- ↑ Memoris Of The American Mathematical Society; No 4 (1 de janeiro de 1951). On Stochastic Differential Equations. [S.l.]: American Mathematical Society
- ↑ Kleinert, Hagen (1 de janeiro de 2009). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets (em inglês). [S.l.]: World Scientific. ISBN 9789814273558
- ↑ Tavella, Domingo (7 de abril de 2003). Quantitative Methods in Derivatives Pricing: An Introduction to Computational Finance (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9780471274797
- ↑ Øksendal, Bernt (9 de novembro de 2010). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642143946
- ↑ «previous topic». www.ftsmodules.com. Consultado em 11 de maio de 2017
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