Tábua de integrais

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico

Integração é uma das duas operações básicas em cálculo. Como, ao contrário da diferenciação, é uma operação não-trivial, existem tabelas de integrais conhecidas que frequentemente se mostram úteis. Esta página relaciona algumas das antiderivadas mais comuns.

Usa-se C como constante arbitrária de integração que só pode ser determinada se tivermos conhecimento do valor da integral em algum ponto específico. Cada função possui infinitas antiderivadas, diferenciadas entre si pelo valor específico de C.

O uso da plica $'$ denota a derivada da função em ordem a $x$.

Estas fórmulas são apenas outra forma de apresentação das asserções da tabela de derivadas e somente podem ser utilizadas para as integrais indefinidas.

Propriedades da Integral Indefinida

• $\int cf(x)\,dx=c\int f(x)\,dx$
• $\int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$
• $\int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left(d[f(x)]\int g(x)\,dx\right)dx$ ou, de outra forma,
• $\int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx$

Integrais Indefinidas de Funções Simples

Funções Racionais

Ver artigo principal: Anexo:Lista de integrais de funções racionais

• $\int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ para }}n\neq -1$
• $\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln {\left|x\right|}+C$
• $\int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\,dx={\frac {1}{a}}arctan({x}/{a})+C$

Logaritmos

Ver artigo principal: Anexo:Lista de integrais de funções logarítmicas

• $\int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C$
• $\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C$

Funções Exponenciais

Ver artigo principal: Anexo:Lista de integrais de funções exponenciais

• $\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C$
  • Caso particular: $a=e,\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

Funções Irracionais

Ver artigo principal: Anexo:Lista de integrais de funções irracionais

• $\int {1 \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx=\arcsin {\frac {x}{a}}+C$
  • Caso particular: $a=1,\int {1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\arcsin {x}+C$
• $\int {-1 \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx=\arccos {\frac {x}{a}}+C=(-1)arcsin{\frac {x}{a}}+C$
  • Caso particular: $a=1,\int {-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\arccos {x}+C$

Funções Trigonométricas

Ver artigo principal: Anexo:Lista de integrais de funções trigonométricas

• $\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$
• $\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$
• $\int \tan {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C$
• $\int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C$
• $\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C$
• $\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$
• $\int \sec {x}\tan {x}\,dx=\sec {x}+C$
• $\int \csc {x}\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C$
• $\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$
• $\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$
• $\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$
• $\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$

Mario Balotelli

Integrais Definidas

Existem funções cujas antiderivadas não podem ser expressas de forma fechada. No entanto, os valores das integrais definidas dessas funções em intervalos comuns podem ser calculados. Algumas integrais definidas de uso frequente estão relacionadas abaixo.

• $\int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$
• $\int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$
• $\int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$
• $\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{4}}{15}}$
• $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$

Funções Especiais

Algumas funções são determinadas através de integrais definidas:

• A função gama $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx$

Referências

• LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica., 3.ed. São Paulo, Harbra, 1994.
• «Tabela de Integrais». - www.profwillian.com (original: [1]), por Jack Pogorelsky Jr.