Tabela de derivadas

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico

A operação primária do cálculo diferencial é encontrar a derivada de uma função. Na tabela a seguir, f e g são deriváveis em $\mathbb {R}$, e c é um número real. Essas fórmulas são suficientes para derivar qualquer função elementar.

Regras gerais de derivação

Linearidade

$\left({cf}\right)'=cf'$

$\left({f+g}\right)'=f'+g'$

Regra do produto

$\left({fg}\right)'=f'g+fg'$

Regra do quociente

$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$

Regra da Cadeia

$(f\circ g)'=(f'\circ g)g'$

onde (f $\circ$ g)(x) está definido como f(g(x))

Derivadas de funções simples

${d \over dx}c=0$

${d \over dx}x=1$

${d \over dx}cx=c$

${d \over dx}x^{c}=cx^{c-1}\qquad {\mbox{ onde tanto }}x^{c}{\mbox{ quanto }}cx^{c-1}{\mbox{ são definidos}}$

${d \over dx}\left({1 \over x}\right)={d \over dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-{1 \over x^{2}}$

${d \over dx}\left({1 \over x^{c}}\right)={d \over dx}\left(x^{-c}\right)=-{c \over x^{c+1}}$

${d \over dx}{\sqrt {x}}={d \over dx}x^{1 \over 2}={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0$

Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas

${d \over dx}c^{f(x)}={c^{f(x)}\ln c*{df \over dx}},\qquad c>0$

Derivadas de funções trigonométricas

As igualdades abaixo não são independentes. A fórmula para a derivada da tangente, por exemplo, resulta das fórmulas para as derivadas do seno e do co-seno e da fó5rmula para a derivada do quociente:

$\tan '=\left({\frac {\operatorname {sen} }{\cos }}\right)'={\frac {\cos .\operatorname {sen} '-\operatorname {sen} .\cos '}{\cos ^{2}}}={\frac {\cos ^{2}+\operatorname {sen} ^{2}}{\cos ^{2}}}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac {1}{\cos ^{2}}}=\sec ^{2}\\{\frac {\cos ^{2}}{\cos ^{2}}}+{\frac {\operatorname {sen} ^{2}}{\cos ^{2}}}=1+\tan ^{2}.\end{array}}\right.$

${d \over dx}\operatorname {sen} x={\mbox{cos}}x$, ou, dito de outra maneira, $\operatorname {sen} '=\cos \,$;

${d \over dx}\cos x=-{\mbox{sen }}x$, ou, dito de outra maneira, $\cos '=-\operatorname {sen} \,$

${d \over dx}{\mbox{ tg }}x=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}$, ou, dito de outra maneira, $\tan '=1+\tan ^{2}=\sec ^{2}\,$

${d \over dx}\sec x={\mbox{ tg }}x\sec x$

${d \over dx}{\mbox{ cotg }}x=-{\mbox{cossec }}^{2}x={-1 \over {\mbox{sen}}^{2}x}$, ou, dito de outra maneira, $\cot '=-1-\cot ^{2}=-\csc ^{2}\,$.

${d \over dx}{\mbox{ cossec }}x=-{\mbox{cossec }}x{\mbox{ cotg }}x$

${d \over dx}{\mbox{ arcsen }}x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\arccos x={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$. Ou seja, $(\forall x\in ]-1,1[):\operatorname {arccos} '(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$.

${d \over dx}{\mbox{ arctg }}x={1 \over 1+x^{2}}$. Isso é a mesma coisa que dizer que $(\forall x\in \mathbb {R} ):\arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$.

${d \over dx}\operatorname {arcsec} x={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$. Dito de outra maneira, isso significa que $(\forall x\in ]-1,1[):\operatorname {arcsen} '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$;

${d \over dx}{\mbox{ arccotg }}x={-1 \over 1+x^{2}}$. Ou seja, $(\forall x\in \mathbb {R} ):\operatorname {arccot} '(x)=-{\frac {1}{1+x^{2}}}\cdot$

${d \over dx}{\mbox{ arccossec }}x={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

Derivadas de funções hiperbólicas

${d \over dx}{\mbox{ senh }}x=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

${d \over dx}\cosh x={\mbox{ senh }}x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

${d \over dx}{\mbox{ tgh }}x={\mbox{sech}}^{2}\,x$

${d \over dx}\,{\mbox{ sech }}\,x=-{\mbox{ tgh }}x\,{\mbox{ sech }}\,x$

${d \over dx}\,{\mbox{ cotgh }}\,x=-\,{\mbox{ cossech}}^{2}\,x$

${d \over dx}\,\operatorname {csch} \,x=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {cossech} \,x$

${d \over dx}\,\operatorname {arcsinh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arccosh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arctanh} \,x={1 \over 1-x^{2}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arcsech} \,x={-1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arccoth} \,x={1 \over 1-x^{2}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arccossech} \,x={-1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}$