Teoria algébrica dos números: diferenças entre revisões
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| ⚫ | '''Teoria algébrica dos números''' é um ramo da [[teoria dos números]] em que o conceito de [[número]] é expandido para o de [[número algébrico]], que são [[raiz (matemática)|raízes]] de [[polinômio]]s com coeficientes [[número racional|racionais]]. Um [[corpo de números algébricos]] é uma [[extensão de corpo]] finita (e por isso [[extensão algébrica|algébrica]]) dos números racionais. Estes domínios contêm elementos análogos aos [[número inteiro|inteiros]], os chamados [[inteiro algébrico|inteiros algébricos]]. Nesta conformação, as propriedades familiares aos inteiros (''e.g.'' [[domínio de fatoração única|fatoração única]]) não necessitam valer. A virtude da maquinaria empregada — [[teoria de Galois]], [[cohomologia de grupos]], [[teoria dos corpos de classes]], [[representação de grupo]] e [[função-L|funções-L]] — é que ela permite recobrar parcialmente tal ordem para essa nova classe de números. |
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| ⚫ | Muitas questões em teoria de números são melhor atacadas estudando-as ''[[aritmética modular|modulo]] p'' para todos os [[primo]]s ''p'' (veja-se: [[corpo finito|corpos finitos]]). Isto é chamado ''localização'' e leva à construção dos [[número p-ádico|números ''p''-ádicos]]. Este campo de estudo é chamado [[análise local]] e emerge da teoria algébrica de números. |
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| ⚫ | '''Teoria algébrica dos números''' é um ramo da [[teoria dos números]] em que o conceito de [[número]] é expandido para o de [[número algébrico]], que são [[raiz (matemática)|raízes]] de [[polinômio]]s com coeficientes [[número racional|racionais]]. Um [[corpo de números algébricos]] é uma [[extensão de corpo]] finita (e por isso [[extensão algébrica|algébrica]]) dos números racionais. Estes domínios contêm elementos análogos aos [[número inteiro|inteiros]], os chamados [[inteiro algébrico|inteiros algébricos]]. Nesta conformação, as propriedades familiares aos inteiros (''e.g.'' [[domínio de fatoração única|fatoração única]]) não necessitam valer. A virtude da maquinaria empregada — [[teoria de Galois]], [[cohomologia de grupos]], [[teoria dos corpos de classes]], [[representação de grupo]] e [[função-L|funções-L]] — é que ela permite recobrar parcialmente tal ordem para essa nova classe de números.<ref>{{Citar livro|url=https://www.worldcat.org/oclc/1101252358|título=Disquisitiones Arithmeticae|ultimo=Gauss|primeiro=Carl Friedrich|data=1986|local=New York, NY|oclc=1101252358}}</ref> |
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{{Referências}} |
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== Bibliografia == |
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=== Textos introdutórios === |
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* {{citation|last1=Ireland|first1=Kenneth|last2=Rosen|first2=Michael|title=A classical introduction to modern number theory|publisher=Springer|year=2013|isbn=978-1-4757-2103-4|doi=10.1007/978-1-4757-2103-4|volume=84}} |
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=== Textos intermediários === |
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=== Textos de nível avançado === |
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* {{Citation|last1=Fröhlich|first1=Albrecht|author-link=Albrecht Fröhlich|last2=Taylor|first2=Martin J.|author2-link=Martin J. Taylor|title=Algebraic number theory|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=1993|series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|volume=27|isbn=0-521-43834-9|mr=1215934}} |
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* {{Citation|last=Lang|first=Serge|author-link=Serge Lang|title=Algebraic number theory|edition=2|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1994|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|volume=110|place=New York|isbn=978-0-387-94225-4|mr=1282723}} |
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Edição atual tal como às 22h47min de 23 de abril de 2023
Teoria algébrica dos números é um ramo da teoria dos números em que o conceito de número é expandido para o de número algébrico, que são raízes de polinômios com coeficientes racionais. Um corpo de números algébricos é uma extensão de corpo finita (e por isso algébrica) dos números racionais. Estes domínios contêm elementos análogos aos inteiros, os chamados inteiros algébricos. Nesta conformação, as propriedades familiares aos inteiros (e.g. fatoração única) não necessitam valer. A virtude da maquinaria empregada — teoria de Galois, cohomologia de grupos, teoria dos corpos de classes, representação de grupo e funções-L — é que ela permite recobrar parcialmente tal ordem para essa nova classe de números.[1]
Muitas questões em teoria de números são melhor atacadas estudando-as modulo p para todos os primos p (veja-se: corpos finitos). Isto é chamado localização e leva à construção dos números p-ádicos. Este campo de estudo é chamado análise local e emerge da teoria algébrica de números.[2][3]
Referências
- ↑ Gauss, Carl Friedrich (1986). Disquisitiones Arithmeticae. New York, NY: [s.n.] OCLC 1101252358
- ↑ Reid, Constance (1996), Hilbert, ISBN 0-387-94674-8, Springer
- ↑ Reid, Constance (1996), Hilbert, ISBN 0-387-94674-8, Springer
Bibliografia[editar | editar código-fonte]
Textos introdutórios[editar | editar código-fonte]
- Stein, William (2012), Algebraic Number Theory, A Computational Approach (PDF)
- Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (2013), A classical introduction to modern number theory, ISBN 978-1-4757-2103-4, 84, Springer, doi:10.1007/978-1-4757-2103-4
- Stewart, Ian; Tall, David (2015), Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem, ISBN 978-1-4987-3840-8, CRC Press
Textos intermediários[editar | editar código-fonte]
- Marcus, Daniel A. (2018), Number Fields, ISBN 978-3-319-90233-3 2nd ed. , Springer
Textos de nível avançado[editar | editar código-fonte]
- Cassels, J. W. S.; Fröhlich, Albrecht, eds. (2010) [1967], Algebraic number theory 2nd ed. , London: 9780950273426, MR 0215665
- Fröhlich, Albrecht; Taylor, Martin J. (1993), Algebraic number theory, ISBN 0-521-43834-9, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 27, Cambridge University Press, MR 1215934
- Lang, Serge (1994), Algebraic number theory, ISBN 978-0-387-94225-4, Graduate Texts in Mathematics, 110 2 ed. , New York: Springer-Verlag, MR 1282723
