Integral de linha

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico

Em matemática, integral de linha é uma integral em que a função a ser integrada é calculada ao longo de uma curva. Tal função pode ser um campo escalar ou um campo vetorial. O valor do integral de linha é a soma dos valores do campo em todos os pontos na curva, ponderado por uma função escalar na curva (geralmente de comprimento de arco ou, para um campo de vetores, o produto escalar do campo de vetores com um vetor diferencial na curva). As integrais de linha têm importantes aplicações, como no cálculo de energia potencial, fluxo do calor e circulação de fluídos.

Cálculo vetorial

Em termos qualitativos, uma integral de linha no cálculo de vetor pode ser pensada como uma medida do efeito total de um dado campo ao longo de uma determinada curva. Mais especificamente, a integral de linha ao longo de um campo escalar pode ser interpretada como a área sob o campo apontada para fora por uma curva particular. Isto pode ser visualizado pela superfície criada por $z=f(x,y)$ e uma curva C no plano x,y.

Integral de Linha de um campo escalar

Definição

Se C for uma curva lisa no espaço bi ou tridimensional, então, a integral de linha de f em relação a 's' ao longo de C é:

Integral de linha de um campo escalar, f. A área sob a curva C, traçada sobre a superfície definida por z = f(x,y), é o valor da integral..

$\int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f\left(\mathbf {r} (t)\right)\,\,|\mathbf {r} '(t)|\,dt.$.

onde r: [a, b] → C é uma parametrização bijectiva arbitrária da curva C, de tal modo que r(a) e r(b) correspondem aos extremos de C, com a < b.

A função f é chamado o integrando, a curva C é o domínio da integração e o símbolo ds pode ser intuitivamente interpretado como um elementar comprimento de arco. Integrais de linha de campos escalares de uma curva C não dependem da parametrização escolhida de r

Geometricamente, quando o campo escalar F é definido ao longo de um plano, o gráfico é uma superfície z = f(x,y) no espaço, e a integral de linha é área delimitada pela curva C.

.

Integral de linha de um campo vetorial

Definição

Para um campo vetorial F  : L ⊆ R ⁿ → R ⁿ , a integral de linha ao longo de uma curva lisa orientada , na direção de R , é definida como

A trajetória de uma partícula (em vermelho) ao longo de uma curva dentro de um campo vetorial. A partir de um, a partícula traça o caminho C ao longo do campo de vetores F. O produto escalar (linha verde) do seu vetor velocidade r' (seta vermelha) e o vetor de campo (seta azul) define uma área sob a curva, o que é equivalente a integral de linha do caminho.

$\int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.$

onde · é o produto escalar e R : [a, b] → C é uma parametrização da curva C de tal modo que r (a) e r (b) são os pontos de extremidade de C.

Em outras palavras, a integral do campo vetorial ao longo de uma curva tem o mesmo valor que a integral do componente tangencial do campo vetorial ao longo da curva. Além disso, as integrais de linha de campos vetoriais independem da parametrização r em valor absoluto, mas eles dependem de sua orientação. Especificamente, uma inversão na orientação da parametrização muda o sinal da linha integral.

Independência do Caminho

Seja F um campo vetorial contínuo com domínio D, dizemos que a integral de linha $\int \limits _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$ é independente do caminho se $\int \limits _{C_{1}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int \limits _{C_{2}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$ para quais quer dois caminhos C₁ e C₂ em D que tenham os mesmos pontos iniciais e finais. Com isso podemos dizer que as integrais de linha de campos conservativos são independentes do caminho.

Se um vetor de campo F é o gradiente de um campo escalar G, isto é,

$\nabla G=\mathbf {F} ,$

em seguida, a derivado da composição de funções de G e r(t) é

${\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)$,

que passa a ser o integrando para a integral de linha da F em r(t). Daqui resulta que, dado um caminho de C , em seguida,$\int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).$

Em outras palavras, a integral de F sobre C depende unicamente dos valores de G nos pontos de r(b) e r(a) e é, assim, independente do caminho entre eles.

Aplicações

A integral de linha tem muitas aplicações na física. Por exemplo, o trabalho feito em uma partícula viajando em uma curva C, dentro de um campo de força representada como um campo vetorial F é a integral de linha da F em C.

$W=\int \limits _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$

Na mecânica dos Fluídos o campo vetorial usando é o de velocidades V e o conceito de trabalho é substituído por de circulação do campo de velocidades ao longo da curva C. Matematicamente, esta grandeza é definida pela integral de linha fechada C:

$\operatorname {circ} \mathbf {V} =\oint \limits _{C}\mathbf {V} \centerdot d\mathbf {r}$

No eletromagnetismo as integrais de linha aparecem na Lei de Faraday, onde o campo vetorial é o campo elétrico E e a na Lei de Ampère, onde o campo vetorial é o campo de indução magnético B. As expressões de cada uma das leis é, respectivamente:

$\epsilon =\oint \limits _{C}\mathbf {E} \centerdot d\mathbf {r}$, onde ε é a magnitude da força eletromotriz;

$\mu i=\oint \limits _{C}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {r}$, onde μ é uma constante e i é a magnitude da corrente elétrica.

Integração Complexa

A primeira menção a uma noção rigorosa de integrais de funções complexas sobre caminhos aparece numa carta enviada por C. Gauss a F.W. Bessel em 1811. A mesma carta refere um resultado de independência do integral em relação a caminhos de integração com as mesmas extremidades. Estes resultados nunca foram publicados, mas Gauss usou integrais complexos em 1816 numa das suas demonstrações do célebre Teorema Fundamental da Álgebra que é considerado em detalhe no capítulo seguinte.

Em 1814, A.L. Cauchy apresentou à Academia das Ciências de Paris uma memória que referia integrais de funções complexas de forma análoga à de L. Euler em 1777. Esta memória só foi publicada em 1825 e nessa altura incluía uma nota, adicionada por Cauchy em 1822, onde se referia que os integrais sobre a fronteira de um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados são nulos para funções complexas continuamente diferenciáveis no fecho do retângulo. Este resultado, que nas condições referidas pode ser obtido do Teorema de Green para funções reais definidas em conjuntos de ℝ, é um caso particular do célebre Teorema de Cauchy, embora com a hipótese excessivamente forte de continuidade das derivadas da função integrada.

Dada dada uma curva no plano complexo $\Gamma \subset \mathbb {C}$ descrita por uma parametrização

$\gamma :[a,b]\subseteq \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,\gamma (t)=X(t)+iY(t)$

e uma função complexa

$f:D\subseteq \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,f(z)=u(z)+iv(z)$

com u, v funções reais e contínuas em Γ. Suponhamos que a derivada da função Υ existe, é contínua e não nula no intervalo [a,b].

  A integral de linha de f em Γ é definida como 
     $\int \limits _{\Gamma }f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f{\Big (}\gamma (t){\Big )}\cdot \gamma '(t)\,dt=$
     $=\int _{a}^{b}\left[u{\big (}\gamma (t){\big )}X'(t)-v{\big (}\gamma (t){\big )}Y'(t)\right]\,dt+i\int _{a}^{b}\left[u{\big (}\gamma (t){\big )}Y'(t)+v{\big (}\gamma (t){\big )}X'(t)\right]\,dt$

Quando f é analítica, a integral de linha tem propriedades interessantes e incomuns, como o Teorema de Cauchy local, Fórmula integral de Cauchy e teorema de Liouville, cujo o resultado permite uma prova formal da importância do teorema fundamental da álgebra.

Ver Também

• Comprimento do arco;
• Teorema da divergência;
• Teorema de Green;
• Teorema de Stokes;
• Integral de superfície;
• Integral de volume;

Ligações Externas

• http://mathinsight.org/line_integral_vector_field_introduction
• https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/line-integrals/v/introduction-to-the-line-integral?playlist=Calculus