Função convexa: diferenças entre revisões
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Tradução ''failed''. Felizmente eu a ajeitei. |
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| Côncava || <math>f(tx+(1-t)y) {\color{Red}\geq} t f(x)+(1-t)f(y)</math><ref name="MAS-COLELL-930"><MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry. '''Microeconomic Theory'''.Oxford university press, 1995. Página 930.</ref> || [[Image:Quasi-concave-function-graph.png|right|thumb| |
| Côncava || <math>f(tx+(1-t)y) {\color{Red}\geq} t f(x)+(1-t)f(y)</math><ref name="MAS-COLELL-930"><MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry. '''Microeconomic Theory'''.Oxford university press, 1995. Página 930.</ref> || [[Image:Quasi-concave-function-graph.png|right|thumb|O gráfico de uma função que é, ao mesmo tempo, côncava e quasiconvexa com os números reais não-negativos.]] |
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| Estritamente côncava (e portanto também côncava) || <math>f(tx+(1-t)y) {\color{Red}>} t f(x)+(1-t)f(y)</math><ref name="MAS-COLELL-930"/> || |
| Estritamente côncava (e portanto também côncava) || <math>f(tx+(1-t)y) {\color{Red}>} t f(x)+(1-t)f(y)</math><ref name="MAS-COLELL-930"/> || |
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| Quasicôncava || <math>f \left ( x \right ) \ge t </math> e <math>f \left ( y \right ) \ge t </math> implicarem necessariamente que <math>f \left [ \alpha x+ \left (1- \alpha \right ) y \right ] {\color{Red}\ge} t </math> <ref name="MAS-COLELL-933"><MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry. '''Microeconomic Theory'''.Oxford university press, 1995. Página 933.</ref> || [[Image:standard deviation diagram.svg|325px|thumb|A [[função densidade de probabilidade]] da [[distribuição normal]] é quasicôncava mas não côncava]] |
| Quasicôncava || <math>f \left ( x \right ) \ge t </math> e <math>f \left ( y \right ) \ge t </math> implicarem necessariamente que <math>f \left [ \alpha x+ \left (1- \alpha \right ) y \right ] {\color{Red}\ge} t </math> <ref name="MAS-COLELL-933"><MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry. '''Microeconomic Theory'''.Oxford university press, 1995. Página 933.</ref> || [[Image:standard deviation diagram.svg|325px|thumb|A [[função densidade de probabilidade]] da [[distribuição normal]] é quasicôncava, mas não côncava]] |
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| Estritamente quasicôncava (e portanto também quasicôncava) || <math>f \left ( x \right ) \ge t </math>, <math>f \left ( y \right ) \ge t </math> e <math>x \ne y</math> implicarem necessariamente que <math>f \left [ \alpha x+ \left (1- \alpha \right ) y \right ] {\color{Red}>} t </math> <ref name="MAS-COLELL-933"/> || |
| Estritamente quasicôncava (e portanto também quasicôncava) || <math>f \left ( x \right ) \ge t </math>, <math>f \left ( y \right ) \ge t </math> e <math>x \ne y</math> implicarem necessariamente que <math>f \left [ \alpha x+ \left (1- \alpha \right ) y \right ] {\color{Red}>} t </math> <ref name="MAS-COLELL-933"/> || |
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| Quasiconvexa || <math>f \left ( x \right ) \le t </math> e <math>f \left ( y \right ) \le t </math> implicarem necessariamente que <math>f \left [ \alpha x+ \left (1- \alpha \right ) y \right ] {\color{Red}\le} t </math> <ref name="MAS-COLELL-933"/> || [[Image:Quasiconvex function.png|right|thumb|Uma função quasiconvexa que não é convexa]] [[Image:Monotonicity example2.png|right|thumb| |
| Quasiconvexa || <math>f \left ( x \right ) \le t </math> e <math>f \left ( y \right ) \le t </math> implicarem necessariamente que <math>f \left [ \alpha x+ \left (1- \alpha \right ) y \right ] {\color{Red}\le} t </math> <ref name="MAS-COLELL-933"/> || [[Image:Quasiconvex function.png|right|thumb|Uma função quasiconvexa que não é convexa]] [[Image:Monotonicity example2.png|right|thumb|Uma função quasilinear é tanto quasiconvexa quanto quasicôncava.]] |
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Revisão das 00h12min de 7 de outubro de 2013
Em matemática, uma função f de [a,b] em R é dita convexa se a região sobre o seu gráfico, ou seja, o conjunto:
for um conjunto convexo. Isto equivale a afirmar que, para quaisquer x e y pertencentes a [a,b] e para todo t ∈ [0,1], tem-se:
Ou seja, uma função é convexa se qualquer média ponderada entre pontos do domínio resulte em um valor que é no máximo igual à média ponderada dos pontos originais da imagem correspondentes aos pontos do domínio. Uma função diz-se estritamente convexa se, para quaisquer x e y pertencentes a [a,b] e para todo t ∈ (0,1), se tiver:
Definição formal
Seja , definida no conjunto convexo . Sejam também dois pontos x e y do domínio e a constante . Então:
A função será... | Se e somente se... | Exemplo visual |
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Convexa | ||
Estritamente convexa | Exemplo | |
Côncava | [1] | |
Estritamente côncava (e portanto também côncava) | [1] | |
Quasicôncava | e implicarem necessariamente que [2] | |
Estritamente quasicôncava (e portanto também quasicôncava) | , e implicarem necessariamente que [2] | |
Quasiconvexa | e implicarem necessariamente que [2] |
Propriedades das funções convexas
- Uma função convexa em [a,b] é sempre contínua em (a,b).
- Uma função contínua num intervalo I é convexa se e somente se:
- para qualquer x,y ∈ I.
- Uma função diferenciável é convexa num intervalo se e só se a sua derivada é monótona não decrescente nesse intervalo.
- Uma função continuamente diferenciavel de uma variável é convexa num intervalo, se e só se:
- , para todos x e y no intervalo.
- Uma função duas vezes diferenciável de uma variável é convexa num intervalo se e somente se, a sua segunda derivada é maior ou igual a zero em todo o intervalo.
- Se a sua segunda derivada é estritamente positiva então a função é estritamente convexa.
- Se uma função convexa possui um mínimo local, ele também será um mínimo global.
- Uma função estritamente convexa possui no máximo um mínimo.
- O máximo de funções convexas também é uma função convexa.
Exemplos
- A função é convexa.
- A função é convexa.
- O valor absoluto é uma função convexa
Extensões
Seja um espaço vetorial e um conjunto convexo contido em , então um função é dita convexa se:
- para todo em [0,1].
E estritamente convexa se:
- para todo em (0,1) e .
Exemplos
- Toda norma ou semi-norma é convexa, pela desigualdade triangular
- Todo funcional linear em é convexo.
Aplicações
- Funções convexas são amplamente utilizadas para demonstrar desigualdades tais como a desigualdade de Young.
- A convexidade desempenha um papel muito importante na aplicação de métodos variacionais para EDPs não-lineares.