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Fatorial

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Fatoriais selecionados; valores em notação científica são arredondados
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3628800
11 39916800
12 479001600
13 6227020800
14 87178291200
15 1307674368000
16 20922789888000
17 355687428096000
18 6402373705728000
19 121645100408832000
20 2432902008176640000
25 1.551121004×1025
50 3.041409320×1064
70 1.197857167×10100
100 9.332621544×10157
450 1.733368733×101000
1000 4.023872601×102567
3249 6.412337688×1010000
10000 2.846259681×1035659
25206 1.205703438×10100000
100000 2.824229408×10456573
205023 2.503898932×101000004
1000000 8.263931688×105565708
10100 1010101.9981097754820

Na matemática, o fatorial (AO 1945: factorial) de um número natural n, denotado por n!, é o produto de todos os naturais menores ou iguais a n. O fatorial de n também é igual ao produto de n e o fatorial de seu antecessor: Por exemplo, O valor de 0! é 1, conforme a convenção para um produto vazio.[1]

Fatoriais foram descobertos em diversas culturas antigas, notavelmente na matemática indiana, nas obras canônicas da literatura de Jain, e por míticos judeus no livro Talmude Sêfer Yetzirá. A operação fatorial é encontrada em diversas áreas da matemática, notavelmente na combinatória, onde seu uso mais básico é contar as diferentes sequências possíveis — as permutações — de n distintos objetos: existem n!. Na análise matemática, fatoriais são usados nas série de potências para a função exponencial e outras funções. Eles também possuem aplicações na álgebra, teoria dos números, teoria das probabilidades e ciência da computação.

Muita da matemática das funções fatoriais começou a ser desenvolvida no final do século XVIII e início do XIX. A aproximação de Stirling gera uma aproximação precisa para fatoriais de números grandes, mostrando que ele cresce mais rápido que o crescimento exponencial. A fórmula de Legendre descreve os exponentes de números primos numa decomposição em fatores primos dos fatoriais, e pode ser utilizada para contar os zeros à direita dos fatoriais. Daniel Bernoulli e Leonhard Euler interpolaram a função fatorial para uma função contínua de números complexos, exceto nos inteiros negativos, chamada de função gama (deslocada).

Várias outras funções e sequências numéricas importantes estão intimamente relacionadas aos fatoriais, incluindo os coeficientes binomiais, duplos fatoriais, primoriais e subfatoriais. Implementações da função fatorial são comumente usadas como exemplo de diferentes estilos de programação de computadores e estão incluídas em calculadoras científicas e bibliotecas de software de computação científica. Embora calcular diretamente fatoriais grandes usando a fórmula do produto ou recorrência não seja eficiente, algoritmos mais rápidos são conhecidos, combinando, num fator constante, o tempo para algoritmos de multiplicação rápidos para números com o mesmo número de dígitos.

A função fatorial é normalmente definida por:

Por exemplo, . Como o fatorial de um número é uma multiplicação de 1 até , , pode ser definido pelo produto de com o fatorial de seu antecessor. Logo, . De forma geral:

que pode ser reescrito da seguinte forma:

Portanto:

Esta definição implica em particular que , pois

A função fatorial também pode ser definida (inclusive para não-inteiros) através da função gama:

A sequência dos fatoriais (sequência A000142 na OEIS) para n = 0, 1, 2,... começa com:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5 040, 40 320, 362 880, 3 628 800...

Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos distintos numa sequência. (Os arranjos são chamados permutações) E o número de opções que podem ser escolhidos é dado pelo coeficiente binomial. Veja também binômio de Newton.

Os fatoriais também aparecem em cálculo. Por exemplo, no teorema de Taylor, que expressa a função f(x) como uma série de série de potências em x. A razão principal é que o n derivativo de xn é n!. Os fatoriais também são usados extensamente na teoria da probabilidade.

Os fatoriais são também frequentemente utilizados como exemplos simplificados de recursividade, em ciência da computação, porque satisfazem as seguintes relações recursivas: (se n ≥ 1):

n! = n (n − 1)!

Como calcular fatoriais

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O valor numérico de n! pode ser calculado por multiplicação repetida se n não for grande demais. É isto que as calculadoras fazem. O maior fatorial, que a maioria das calculadoras suportam é 69!, porque 70! > 10100.

Quando n é grande demais, n! pode ser calculado com uma boa precisão usando a aproximação de Stirling:

Esta é uma versão simplificada que pode ser provada usando a matemática básica do ensino secundário; a ferramenta essencial é a indução matemática. Esta é aqui apresentada na forma de um exercício:

Logaritmo de fatorial

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O logaritmo de um fatorial pode ser usado para calcular o número de dígitos que a base de um fatorial irá ocupar. ln(n!) pode ser facilmente calculado da seguinte forma:

Note que esta função, demonstrada graficamente, é quase linear para valores baixos; mas o fator cresce de maneira arbitrária, embora vagarosa. Por exemplo, este é o gráfico de seus primeiros 20 mil valores:

Uma boa aproximação para ln(n!) é fazer o logaritmo da fórmula de Stirling.

Generalidades

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A função gama similar

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Ver artigo principal: Função gama

A função gama Γ(z) é definida para todos os números complexos z exceto os inteiros não positivos (z = 0, −1, −2, −3, ...). Relaciona-se aos fatoriais pelo fato de que satisfaz um relacionamento recursivo similar àquele da função fatorial:

Junto com a definição Γ(1) = 1 isto gera a equação

Devido a este relacionamento, a função gama é frequentemente tida como uma generalização da função fatorial para o domínio dos números complexos. Isso é justificado pelas seguintes razões:

  • Significado compartilhado — a definição canônica da função factorial é o relacionamento recursivo mencionado, compartilhado por ambos.
  • Unicidade — a função gama é a única função que satisfaz o relacionamento recursivo mencionado para o domínio dos números complexos e é holomórfica e cuja restrição ao eixo positivo real é convexa no log. Ou seja, é a única função que poderia ser uma generalização da função fatorial.
  • Contexto — a função gama é geralmente usada num contexto similar ao dos factoriais (mas, é claro, onde um domínio mais geral for de interesse).

Multifactoriais

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Uma notação relacionada comum é o uso de múltiplos pontos de exclamação para simbolizar um multifactorial, o produto de inteiros em passos de dois (n!!), três (n!!!), ou mais.

n!! denota o factorial duplo de n e é definido recursivamente por

Por exemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 e 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. A sequência de factoriais duplos para n = 0, 1, 2,... é :1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

Algumas identidades envolvendo factoriais duplos são:

Deve-se ser cuidadoso para não interpretar n!! como o factorial de n!, que deveria ser escrito (n!)! e é um número muito maior (para n>2).

O factorial duplo é a variante mais comumente usada, mas pode-se definir o factorial triplo do mesmo modo (n!!!) e assim por diante. Em geral, o k-ésimo factorial, notado por n!(k), é definido recursivamente como

Hiperfactoriais

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Ocasionalmente o hiperfactorial de n é considerado. É escrito como H(n) e definido por

Para n = 1, 2, 3, 4,... os valores de H(n) são 1, 4, 108, 27648,...

A função hiperfactorial é similar à factorial, mas produz números maiores. A taxa de crescimento desta função, contudo, não é muito maior que um factorial regular.

Superfactoriais

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Neil Sloane e Simon Plouffe definiram o superfactorial em 1995 como o produto dos primeiros n fatoriais. Assim, o superfatorial de 4 é

No geral,

A sequência de superfatoriais começa (de n=0) como:

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... (sequência A000178 na OEIS)

Esta ideia pode ser facilmente estendida para superduperfatorial como o produto dos primeiros n superfactoriais (iniciando com n=0), assim

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, ... (sequência A055462 na OEIS)

e aí em diante, recursivamente para todos os fatoriais múltiplos, onde o m-factorial de n é o produto dos primeiros n (m-1)-factoriais, i.e.

onde para e .

Hiperfatoriais (definição alternativa)

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Clifford Pickover, no seu livro Keys to Infinity, de 1995, define o superfactorial de n, escrito comodidade n$ (o $ deveria, na verdade, ser um sinal de fatorial ! com um S sobrepusto) como

onde a notação científica (4) denota o operador hyper4, ou usando a notação da seta de Knuth,

Esta sequência de superfatoriais começa quando se usa:

Fatoração prima de fatoriais

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A potência de p que ocorre na fatoração prima de n! é

Esta fórmula permite que fatoriais grandes sejam fatorados eficientemente.

O Teorema de Wilson diz que (p-1)! + 1 é um múltiplo de p se, e somente se, p for um número primo.

Um exemplo clássico do cálculo de fatorial na linguagem de programação C/Java

int fatorial (int numero) {
    return numero == 0 ? 1 : numero * fatorial(numero - 1);
}
int fatorial (int numero) {
    int resultado = numero;
    if (numero == 0) resultado++;
    while (numero > 1) resultado *= --numero;
    return resultado;
}

Referências

  1. Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1988). Concrete Mathematics. Reading, MA: Addison-Wesley. p. 111. ISBN 0-201-14236-8 

Ligações externas

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