Análise numérica

Clay tablet Babilônio YBC 7289
(c. 1800–1600 BCE) [1] com anotações. (Imagem por Bill Casselman)

A análise numérica é um ramo da matemática que estuda algoritmos que convergem para resultados de problemas matemáticos, resultados estes cuja validade é demonstrada por teoremas convencionais. Um método numérico apresenta uma sucessão que converge para o valor exato. Cada termo dessa sucessão é uma aproximação, que é possível calcular com um número finito de operações elementares. É objetivo da análise numérica encontrar sucessões que aproximem os valores exatos com um número mínimo de operações elementares. .

Embora a análise numérica tenha sido concebida antes dos computadores, tal como o entendemos hoje, o assunto se relaciona a uma interdisciplinaridade entre a matemática e a tecnologia da informação. Também é muito referido o tema com o nome de cálculo numérico

Os procedimentos mais elementares de tal metodologia são o método de Newton e o Método de Newton-Raphson.

Pelo método de Newton, se determinam dois valores extremos, entre os quais deve estar o resultado do problema. A função, então, é aplicada à média dos dois valores e esta, na iteração posterior, passa a ser um dos valores extremos, em substituição a um dos anteriores, dependendo do resultado da função.

No método de Newton-Raphson, o número de iterações para se chegar a um resultado com uma determinada aproximação é diminuído pelo uso da derivada da função.

Histórico

Um dos escritos matemáticos mais antigos é o tablet babilônio YBC 7289, que fornece uma aproximação sexagesimal de $\sqrt{2}$, o comprimento da diagonal de um quadrado unitário.

Ser capaz de calcular as faces de um triângulo (e assim, sendo capaz de calcular raízes quadradas) é extremamente importante, por exemplo, em carpintaria e construção. Em uma parede quadrada que tem dois metros por dois metros, uma diagonal deve medir $\sqrt{8} \approx 2.83$ metros.

Cálculo dos valores de funções

Um dos problemas mais simples é a avaliação de uma função num determinado ponto. Mas mesmo a avaliação de um polinómio não é sempre trivial: o esquema de Horner é muitas vezes mais eficiente do que o método óbvio. De forma geral, é importante estimar e controlar o erro de arredondamento que resulta do uso do sistema de ponto flutuante na aritmética.

Resolução de equações e sistemas de equações

Resolução de equações não lineares

Resolver uma equação não linear, consiste basicamente em determinar os zeros de f(x)=0 em [a,b].

Para que possamos usar algum método numérico temos de localizar um intervalo para um zero. Para termos uma ideia onde o zero se localiza teremos de fazer uma análise gráfica da função. Por exemplo, fazer o gráfico na calculadora ou com programas de computador, como por exemplo o Mathematica ou MATLAB.

Para garantir que a raiz existe e seja única temos de verificar os seguintes teoremas:

1) Seja f(x) € C[a,b]. Se f(a)*f(b)< 0 então existe pelo menos um x € ]a,b[ tal que f(x)=0.

2) Seja f(x) € [a,b]. Se f'(x) existe e tem sinal constante em ]a,b[ então f não pode ter mais de um zero em ]a,b[.

Um dos métodos numéricos para o cálculo de zeros num intervalo é o método da bissecção. Este método consiste na divisão do intervalo em dois. Haverá um intervalo em que o zero estará e outro não. Para o localizarmos usamos o teorema 1. Rejeitamos o intervalo que não tem o zero e ficamos com o subintervalo que tem o zero. Repetimos este procedimento o número de vezes necessárias de modo a obtermos um erro inferior ao pretendido.

Para encontrarmos o erro de ordem k usamos a seguinte fórmula:

$|e_{x_k}| = | z - x_k | \le \frac{b-a}{2^k}$

Ilustração das primeiras etapas da aplicação do método da bissecção

Fórmula para o cálculo do zero da função:

$\begin{array}{ll}I_0=[a,\ b],&\left\vert I_0\right\vert=b-a\\ x_1=\frac{b+a}{2},&\left\vert I_1\right\vert=\frac{b-a}{2}\\ x_2=\frac{b_1+a_1}{2},&\left\vert I_2\right\vert=\frac{b-a}{2^2}\\ x_3=\frac{b_2+a_2}{2},&\left\vert I_3\right\vert=\frac{b-a}{2^3}\\ \quad\ \ \vdots \quad\ \ \vdots \quad &\\ x_k=\frac{b_k+a_k}{2},&\left\vert I_k\right\vert=\frac{b-a}{2^k}\\ \end{array}$

Resolução de sistemas lineares

Um sistema de equações lineares S_n é um conjunto de n equações com n incógnitas. Os sistemas de equações lineares possuem diversas aplicações na matemática e na física sendo um dos principais temas tratados pelo cálculo numérico.

Genericamente um sistema linear pode ser representado como:

$S_n=\left\{\begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n=b_2\\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\dots+a_{nn}x_n=b_n\end{array}\right.$

, ou ainda: $Sn=\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j=b_j$.

Um sistema linear pode ainda ser representado utilizando-se matrizes, na forma: $A_{m\times m}X_m=B_m$, sendo:

$A_{m\times m}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mm} \end{bmatrix}$ , $X_m=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_m \end{bmatrix}$ e $B_m=\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m \end{bmatrix}$ .

Os sistemas lineares podem ser resolvidos através de métodos diretos (exatos) e métodos iterativos (aproximativos).

Os métodos diretos, ou exatos, possibilitam encontrar a solução exata de um sistema de equações lineares a partir de um número finito de operações.

Os métodos iterativos, ou aproximativos, são aqueles em que a solução do sistema de equações linear é obtida a partir de uma sequência de aproximações sucessivas x⁽¹⁾, x⁽²⁾, ... , x^(k) partindo-se de uma aproximação inicial x⁽⁰⁾.

Outras aplicações

Várias outras aplicações existem da análise numérica, como resolução de problemas de autovalores ou valores singulares; Cálculo de integrais; Equações diferenciais.

Em geral, operações que envolvem limite são facilmente aplicadas em análise numérica, já que os respectivos algoritmos seguem a própria definição de limite.

Ver também

• Computação científica
• Lista de tópicos de análise numérica
• Processo de Gram-Schmidt
• Problema de Halting
• Diferenciação numérica

Referências gerais

• BARROSO, Leônidas Conceição e outros. Cálculo numérico: com aplicações. 2.ed. São Paulo: Harbra, 1987. ISBN 85-294-0089-5.
• CLAUDIO, Dalcidio Moraes; MARINS, Jussara Maria. Cálculo numérico computacional: teoria e prática. 3.ed. São Paulo: Atlas, 2000. ISBN 85-224-2485-3.
• Gilat, Amos (2004). MATLAB: An Introduction with Applications, 2nd edition, John Wiley & Sons. ISBN 0-471-69420-7.
• Hildebrand, F. B. (1974). Introduction to Numerical Analysis, 2nd edition, McGraw-Hill. ISBN 0-070-28761-9.
• Leader, Jeffery J. (2004). Numerical Analysis and Scientific Computation. Addison Wesley. ISBN 0-201-73499-0.
• Trefethen, Lloyd N. (2006). "Numerical analysis", 20 pages. To appear in: Timothy Gowers and June Barrow-Green (editors), Princeton Companion of Mathematics, Princeton University Press.
• Numérica ? Notas de aulas Análise , T. Diogo & M. Tomé, 2002, Secção de Folhas AEIST

Ligações externas

• Numerische Mathematik, volumes 1-66, Springer, 1959-1994 (searchable; pages are images). (inglês) (em alemão)
• Scientific computing FAQ
• Numerical analysis DMOZ category
• Lists of free software for scientific computing and numerical analysis (inglês) (francês)
• Numerical Computing Resources on the Internet - a list maintained by Indiana University Stat/Math Center
• Numerical Recipes Homepage - with free, complete downloadable books
• Java Number Cruncher features free, downloadable code samples that graphically illustrate common numerical algorithms
• Numerical Analysis Project by John H. Mathews
• Alternatives to Numerical Recipes