Martingale

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos passados nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas o evento atual importa. Em particular, um martingale é uma sequência de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente observados.[1]

O movimento browniano parado é um exemplo de martingale. Ele pode modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade de falência.

Em contraste, em um processo que não é um martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo seguinte. Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir a incerteza sobre os eventos futuros. Assim, o valor esperado do próximo evento, dado o conhecimento do evento presente e de todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o do presente evento se uma estratégia de ganho for usada. Martingales excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico do jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos.

Histórico[editar | editar código-fonte]

Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de estratégias de aposta popular na França do século XVIII.[2][3] A mais simples destas estratégias foi projetada para um jogo em que o apostador ganhava se a moeda desse cara e perdia se a moeda desse coroa. A estratégia fazia o apostador dobrar sua aposta depois de cada derrota a fim de que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além de um lucro igual à primeira aposta. Conforme o dinheiro e o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, a possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como algo certo. Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que a quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma vantagem matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites às apostas). Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, pode ser usado para descrever a trajetória de tais jogos.

O conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por Paul Lévy em 1934, ainda que ele não lhes tivesse dado este nome.[4] O termo "martingale" foi introduzido em 1939 por Jean Ville,[5] que também estendeu a definição à martingales contínuos.[6] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por Joseph Leo Doob entre outros.[7] Parte da motivação daquele trabalho era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[8]

Definições[editar | editar código-fonte]

Uma definição básica de um martingale de tempo discreto diz que ele é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis aleatórias) de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo ,

Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente observação.[9]

Sequências martingale em relação a outra sequência[editar | editar código-fonte]

Mais geralmente, uma sequência é considerada um martingale em relação a outra sequência se, para todo ,

Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo em relação ao processo estocástico é um processo estocástico tal que, para todo ,

Isto expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de qualquer observação no tempo , dadas todas as observações até o tempo , é igual à observação no tempo (considerando que ).

Definição geral[editar | editar código-fonte]

Em geral, um processo estocástico é um martingale em relação a uma filtração e medida de probabilidade se

  • for uma filtração do espaço de probabilidade subjacente ();
  • for adaptado à filtração , isto é, para cada no conjunto de índices , a variável aleatória for uma função mensurável ;
  • Para cada , estiver no espaço Lp , isto é,
  • Para todo e todo , sendo , e todo
em que denota a função indicadora do evento .
A última condição é denotada como
que é uma forma geral de valor esperado condicional.[10]

É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual os valores esperados são assumidos). É possível que seja um martingale em relação a uma medida, mas não em relação a outra. O Teorema de Girsanov oferece uma forma de encontrar uma medida em relação à qual um processo de Itō é um martingale.[11]

Exemplos de martingales[editar | editar código-fonte]

  • Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número de dimensões) é um exemplo de martingale.
  • O dinheiro de um apostador é um martingale se todos os jogos de aposta com que ele se envolver forem honestos.
  • Uma urna de Pólya contém uma quantidade de bolas de diferentes cores. A cada iteração, uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por várias outras da mesma cor. Para qualquer cor dada, a fração das bolas na urna com aquela cor é um martingale. Por exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo número de bolas não vermelhas alteraria.
  • Suponha que seja o dinheiro de um apostador depois que uma moeda honesta foi jogada vezes, sendo que o apostador ganha $1 se der cara e perde $1 se der coroa. O valor esperado condicional do dinheiro do apostador depois que a moeda for jogada novamente, dado o histórico, é igual ao dinheiro atual. Esta sequência é, portanto, um martingale.
  • Considere , em que é o dinheiro do apostador no exemplo acima. Então, a sequência é um martingale. Isto também pode ser usado para mostrar que o total de vitórias ou derrotas do apostador varia aproximadamente entre menos e mais a raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada.
  • No caso de um martingale de Moivre, suponha que a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade de dar cara e probabilidade de dar coroa. Considere
com se der cara e se der coroa. Considere
Então, é um martingale com relação à . Para mostrar isto,
  • No teste de razão de verossimilhança em estatística, uma variável aleatória é tida como distribuída de acordo com uma densidade de probabilidade ou uma densidade de probabilidade diferente . Uma amostra aleatória é tomada.[12] Considere a razão de verossimilhança
Se for verdadeiramente distribuída de acordo com a densidade e não com a densidade , então é um martingale com relação a .
  • Suponha que uma ameba se divide em duas amebas com probabilidade ou morre com probabilidade . Considere o número de amebas sobreviventes na -ésima geração (em particular, , se a população estiver extinta naquele momento). Considere a probabilidade de eventual extinção. Considerar como uma função de é um exercício instrutivo. A probabilidade de que os descendentes de uma ameba eventualmente morram é igual à probabilidade de que qualquer um de seus descendentes imediatos morra, dado que a ameba original se dividiu.[13] Então
é um martingale em relação a .
Uma série martingale criada por software.
  • Em uma comunidade ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto como uma sequência de variáveis aleatórias. Esta sequência é um martingale sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia.
  • Se for um processo de Poisson com intensidade , então o processo de Poisson compensado é um martingale de tempo contínuo com caminhos amostrais contínuos à direita/limitados à esquerda.

Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas[editar | editar código-fonte]

Há duas generalizações populares de um martingale que também incluem casos em que a observação atual não é necessariamente igual à futura expectativa condicional , mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior à expectativa condicional. Estas definições refletem uma relação entre a teoria do martingale e a teoria do potencial, que é o estudo das funções harmônicas.[14] Assim como um martingale de tempo contínuo satisfaz a , uma função harmônica satisfaz a equação diferencial parcial , em que é o operador de Laplace. Dado um processo de movimento browniano e uma função harmônica , o processo resultante também é um martingale.

  • Um submartingale de tempo discreto é uma sequência de variáveis aleatórias integráveis que satisfaz a
Da mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a
Em teoria do potencial, uma função sub-harmônica satisfaz a . Qualquer função sub-harmônica limitada acima por uma função harmônica para todos os pontos no limite de uma bola é limitada acima pela função harmônica para todos os pontos dentro da bola. Da mesma forma, se um submartingale e um martingale tem expectativas equivalentes para um dado tempo, o histórico do submartingale tende a ser limitado acima pelo histórico do martingale. Grosso modo, o prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação é menor ou igual à expectativa condicional . Consequentemente, a observação atual oferece apoio a partir de baixo da futura expectativa condicional e o processo tende a crescer no tempo futuro.
  • De forma análoga, um supermartingale de tempo discreto satisfaz a
Da mesma forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a
Em teoria do potencial, uma função super-harmônica satisfaz a . Qualquer função super-harmônica limitada abaixo por uma função harmônica para todos os pontos no limite de uma bola é limitada abaixo pela função harmônica para todos os pontos dentro da bola. Da mesma forma, se um supermartingale e um martingale tem expectativas equivalentes para um dado tempo, o histórico do supermartingale tende a ser limitado abaixo pelo histórico do martingale. Grosso modo, o prefixo "super-" é consistente porque a atual observação é maior ou igual à expectativa condicional . Consequentemente, a observação atual oferece apoio a partir de cima da futura expectativa condicional e o processo tende a decrescer no tempo futuro.

Exemplos de submartingales e supermartingales[editar | editar código-fonte]

  • Todo martingale é também um submartingale e um supermartingale. Reciprocamente, todo processo estocástico que é tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale.
  • Considere novamente um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara e perde $1 quando a moeda der coroa. Suponha agora que a moeda possa estar viesada e que ela dê cara com probabilidade .
    • Se for igual a , o apostador em média não perde, nem ganha dinheiro e a riqueza do apostador ao longo do tempo é um martingale.
    • Se for menor que , o apostador perde dinheiro em média e a riqueza do apostador ao longo do tempo é um supermartingale.
    • Se for maior que , o apostador ganha dinheiro em média e a riqueza do apostador ao longo do tempo é um submartingale.
  • Uma função convexa de um martingale é um submartingale pela desigualdade de Jensen. Por exemplo, o quadrado da riqueza de um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale (o que também se segue do fato de que é um martingale). Da mesma forma, uma função côncava de um martingale é um supermartingale.

Martingales e tempos de parada[editar | editar código-fonte]

Um tempo de parada em relação a uma sequência de variáveis aleatórias é uma variável aleatória com a propriedade de que para cada , a ocorrência ou a não ocorrência do evento depende apenas dos valores de . A intuição por trás da definição é que, a qualquer tempo particular , pode-se observar a sequência até o momento e dizer se é hora de parar. Um exemplo na vida real pode ser o tempo em que um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[15]

Em alguns contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento seja probabilisticamente independente de , mas não que isto seja completamente determinado pelo histórico do processo até o tempo . Isto é uma condição mais fraca do que aquela descrita no parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir em algumas das provas em que tempos de parada são usados.

Uma das propriedades básicas de martingales é que, se for um (sub/super)martingale e for um tempo de parada, então, o processo parado correspondente definido por é também um (sub/super) martingale.

O conceito de um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale em um tempo de parada é igual ao seu valor inicial.

Ver também[editar | editar código-fonte]

References[editar | editar código-fonte]

  1. Williams, David (14 de fevereiro de 1991). Probability with Martingales (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9780521406055 
  2. Balsara, N. J. (1992). Money Management Strategies for Futures Traders. [S.l.]: Wiley Finance. p. 122. ISBN 0-471-52215-5 
  3. Mansuy, Roger (2009). «The Origins of the Word "Martingale"» (PDF). Electronic Journal for History of Probability and Statistics. 5 (1). Consultado em 8 de maio de 2017 
  4. Mazliak, Laurent (2009). «How Paul Lévy saw Jean Ville and Martingales» (PDF). Electronic Journal for History of Probability and Statistics. 5 (1). Consultado em 10 de maio de 2017 
  5. Shafer, Glenn (2009). «The education of Jean André Ville» (PDF). Electronic Journal for History of Probability and Statistics. 5 (1). Consultado em 10 de maio de 2017 
  6. Ville, Jean (1 de janeiro de 1939). Étude critique de la notion de collectif (em francês). [S.l.]: Gauthier-Villars 
  7. Locker, Bernard Locker (2009). «Doob at Lyon» (PDF). Electronic Journal for History of Probability and Statistics. 5 (1). Consultado em 10 de maio de 2017 
  8. Meyer, Paul-André (2009). «Stochastic Processes from 1950 to the Present» (PDF). Electronic Journal for History of Probability and Statistics. 5 (1). Consultado em 10 de maio de 2017 
  9. «Martingale - Encyclopedia of Mathematics». www.encyclopediaofmath.org (em inglês). Consultado em 10 de maio de 2017 
  10. Grimmett, G.; Stirzaker, D. (2001). Probability and Random Processes 3rd ed. [S.l.]: Oxford University Press. ISBN 0-19-857223-9 
  11. Watanabe, Shinzo (2009). «The Japanese Contributions to Martingales» (PDF). Electronic Journal for History of Probability and Statistics. 5 (1). Consultado em 10 de maio de 2017 
  12. Tze, Leung Lai (2009). «Martingales in Sequential Analysis and Time Series, 1945–1985» (PDF). Electronic Journal for History of Probability and Statistics. 5 (1). Consultado em 10 de maio de 2017 
  13. Aalen, Odd; Andersen, Per Kragh; Borgan, Ørnulf; Gill, Richard; Keiding, Niels (2009). «History of applications of martingales in survival analysis» (PDF). Electronic Journal for History of Probability and Statistics. 5 (1). Consultado em 10 de maio de 2017 
  14. Kleinert, Hagen (1 de janeiro de 2009). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets (em inglês). [S.l.]: World Scientific. ISBN 9789814273558 
  15. Siminelakis, Paris (24 de março de 2010). «Martingales and Stopping Times» (PDF). Corelab - Computation and Reasoning Laboratory. Consultado em 10 de maio de 2017