Teoria das categorias

Na matemática, a teoria das categorias provê uma linguagem interdisciplinar capaz de delinear resultados e construções gerais, separando-os dos específicos a cada área, possibilitando a simplificação e clarificação de demonstrações. A teoria centra-se nos conceitos de categoria, que é uma abstração do conceito de composição de funções, de functor, transformações entre categorias, e de transformação natural, a qual provê um significado preciso para expressões como "natural" e "canônico".^[1]

O conceito de categorias, functores e transformações naturais, em maior generalidade, foi introduzido por Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane, em 1945, em seu artigo "General Theory of Natural Equivalences". Nos anos seguintes, a teoria das categorias foi empregada na topologia algébrica e álgebra homológica, por Norman Steenrod, Alexander Grothendieck e outros. Em 1958, Daniel Kan descobre o conceito de functores adjuntos, que, segundo Mac Lane, são "onipresentes na matemática".^[2]^[3]^[4]^[5] Desde então, houve diversos desenvolvimentos.^[6]

Sendo de alto nível de abstração, é recomendada, antes do estudo de teoria das categorias, familiaridade de conceitos básicos de álgebra linear, álgebra abstrata e topologia, por exemplo.^[1]

Categoria

Uma categoria $C$ consiste nos seguintes elementos:

Uma coleção de objetos de $C$ .
Para cada dupla $a, b$ de objetos, uma coleção de setas (ou morfismos) do domínio (ou origem) $a$ até o contradomínio (ou destino) $b$ , para as quais são usadas a notações $f : a \to b$ e $f \in hom C (a, b)$ .
Para cada objeto $a$ , uma seta de $a$ até $a$ , chamada identidade $1 a : a \to a$ .
Para cada tripla de objetos $a, b, c$ , uma operação de composição, levando
cada seta $f : a \to b$ e cada seta $g : b \to c$ a uma seta $g \circ f : a \to c$ .
Devem ser satisfeitas as igualdades:
(Lei da identidade) Para todos objetos $a, b$ e todas as setas $f : a \to b$ , vale $1 b \circ f = f = f \circ 1 a$ .

(Associatividade) Para todos objetos $a, b, c, d$ e todas as setas $f : a \to b$ , $g : b \to c$ e $h : c \to d$ , vale $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$ .^[7]^[8]^[9]

Há, por exemplo, categorias:

cujos objetos são conjuntos, e cujos morfismos são funções entre conjuntos;
cujos objetos são grupos, e cujos morfismos são homomorfismos de grupos;
cujos objetos são espaços topológicos, e cujos morfismos são funções contínuas;
cujos objetos são os elementos de um conjunto pré-ordenado fixo $(P, \leq)$ , e tal que, para quaisquer objetos $x, y \in P$ , o número de morfismos $x \to y$ é exatamente um se $x \leq y$ , e zero se $\neg (x \leq y)$ .^[10]
cujos objetos são vértices de um grafo, e cujos morfismos são caminhos nesse grafo.^[11]

Nestes dois últimos exemplos, percebe-se que os objetos podem não ter "elementos", e os morfismos podem não ter relação com funções.

Para a representação de relações entre os morfismos, usam-se diagramas consistindo de alguns dos objetos e setas de uma categoria; uma sequência de setas, cada uma tendo destino coincidindo com a origem da seguinte, representa a composição de morfismos correspondentes. Um desses diagramas é chamado diagrama comutativo quando quaisquer duas sequências de setas que iniciam num mesmo objeto, e que terminam também num mesmo objeto, têm composições iguais.^[12]^[13]

Dualizar consiste em inverter o sentido de cada uma das setas em um diagrama; cada categoria tem uma categoria oposta. Desse modo, os teoremas e definições em teoria das categorias se organizam em duplas, um enunciado sendo obtido do outro trocando cada categoria pela oposta; por exemplo, um epimorfismo é um monomorfismo na categoria oposta, um coproduto é um produto na categoria oposta etc.^[14]

Tipos de morfismos

Como os objetos de uma categoria podem não ter "elementos", generalizações de conceitos como função injetiva e função sobrejetiva devem envolver somente setas, e pode haver mais de uma generalização possível.

	Como uma categoria consiste de setas, nossa disciplina também poderia ser descrita como aprender como viver sem elementos, usando setas em vez deles.
— Saunders Mac Lane^[15]

Como exemplo, generalizando o conceito de função injetiva, um morfismo $f : a \to b$ é chamado monomorfismo se e só se

para todo objeto

c

e morfismos

g, h : c \to a

satisfazendo

f \circ g = f \circ h

, vale

g = h

.

Na categoria dos conjuntos, na categoria dos grupos e na categoria dos espaços topológicos, os monomorfismos são exatamente as funções injetivas.^[16] Já um morfismo $f : a \to b$ é chamado seção se e só se existe $g : b \to a$ tal que $g \circ f = 1 a$ . Toda seção é um monomorfismo, mas a recíproca pode falhar; com efeito, na categoria dos grupos abelianos, as seções são exatamente os homomorfismos de grupos abelianos $f : A \to B$ que são injetivos e tais que $B$ é a soma direta da imagem de $f$ com algum subgrupo de $B$ .^[17]

Dualizando, um morfismo $f : b \to a$ é um epimorfismo se e só se

para todo objeto

c

e morfismos

g, h : a \to c

satisfazendo

g \circ f = h \circ f

, vale

g = h

.

Na categoria dos conjuntos, os epimorfismos são precisamente as funções sobrejetivas. Na categoria dos anéis, no entanto, a inclusão $ℤ \to ℚ$ é um epimorfismo não sobrejetivo.^[18]

Como outro exemplo, um isomorfismo é um morfismo $f : a \to b$ tal que há $g : b \to a$ satisfazendo $g \circ f = 1 a$ e $f \circ g = 1 b$ . Na categoria dos espaços topológicos, os isomorfismos são precisamente os homeomorfismos.^[19]

Propriedade universal

Construções como produto cartesiano, soma direta, e espaço funcional podem ser generalizadas para todas as categorias. Com exemplo, dados objetos $a, b$ numa categoria $C$ , um objeto $a \times b$ , junto a morfismos $p a : a \times b \to a$ e $p b : a \times b \to b$ , forma um sistema de produto categorial (binário) se e só se, para qualquer outro objeto $c$ e quaisquer morfismos $f : c \to a$ e $g : c \to b$ , existe único morfismo $h : c \to a \times b$ tal que $p a \circ h = f$ e $p b \circ h = g$ .

Diagrama representado o produto categorial.

Dualmente, há o conceito de coproduto (binário). Na categoria dos conjuntos, os produtos correspondem aos produtos cartesianos, e os coprodutos correspondem às uniões disjuntas. Na categoria dos grupos abelianos, os produtos e coprodutos binários coincidem, e são chamados de soma direta.^[20]^[21]

Uma propriedade universal é uma propriedade que envolve a existência de único morfismo que faz certo diagrama comutar. Maneiras de definir rigorosamente o conceito incluem functores representáveis e limites e colimites.^[22]^[23]

Functor

	[…] sempre que novos objetos abstratos são construídos de uma maneira especificada a partir de outros, é recomendado tratar a construção dos mapeamentos induzidos correspondentes nesses novos objetos como parte integral de sua definição.
— Samuel Eilenberg, Saunders Mac Lane^[24]

Um functor é uma correspondência entre objetos de duas categorias que pode ser estendida a uma correspondência entre morfismos, de modo que sejam preservadas as identidades e as composições. Mais precisamente, dadas categorias $C$ e $D$ , um functor (covariante) de $C$ até $D$ , escrito $F : C \to D$ , consiste

de uma atribuição, a cada objeto $x \in C$ , de um objeto $F (x) \in D$ ,
de uma atribuição, a cada morfismo $f : x \to y$ , de um morfismo $F x, y (f) = F (f) : F (x) \to F (y)$ ,

satisfazendo

$F (1 x) = 1 F (x)$ para cada objeto $x \in C$ ,
$F (g \circ f) = F (g) \circ F (f)$ para cada dupla de morfismos $f : x \to y$ e $g : y \to z$ .

Exemplos de correspondências que podem ser estendidas a functores são: a correspondência entre cada conjunto $A$ e seu conjunto de partes $P(A)$ (levando cada $f : A \to B$ à função $f \to = (S \subseteq A) \mapsto {f (x) | x \in S}$ , de imagens de subconjuntos de $A$ ); a correspondência entre cada anel comutativo $K$ e seu grupo de matrizes invertíveis $GL n (K)$ de ordem $n$ .^[25]

Noutros casos, há um functor contravariante, atribuindo um morfismo $F (f) : F (y) \to F (x)$ a cada morfismo $f : x \to y$ , e invertendo a ordem das composições. Exemplos de correspondências que podem ser estendidas a functores contravariantes são: a correspondência entre cada conjunto e seu conjunto de partes (levando cada $f : A \to B$ à função $f \leftarrow = (T \subseteq B) \mapsto {y | f (y) \in T}$ , de pré-imagens de subconjuntos de $B$ ); a correspondência entre cada espaço vetorial e seu espaço dual; a correspondência entre cada anel comutativo e seu espaço de ideais primos.^[26]

Transformação natural

	Não é muito enganoso, pelo menos historicamente, dizer que categorias são o que deve ser definido para definir functores, e que functores são o que deve ser definido para definir transformações naturais.
— Peter Freyd^[27]

Intuitivamente, uma transformação natural é uma família de morfismos numa categoria dados simultaneamente por uma mesma definição, sem depender de escolhas "arbitrárias". Por exemplo, para cada $V$ espaço vetorial, há mapeamento linear natural $e$ de $V$ ao dual de seu dual, dado por $e (v) = f \mapsto f (v)$ . Mais precisamente, uma transformação natural entre functores $F, G : C \to D$ é uma família de morfismos $η X : F (X) \to G (X)$ , para cada $X$ objeto de $C$ , satisfazendo

para qualquer morfismo

f : X \to Y

,

η Y \circ F (f) = G (f) \circ η X

.^[28]

Eis exemplos:

A projeção $G \to G ∕[G, G]$ de cada grupo em sua abelianização (quociente pelo subgrupo comutador) pode ser representada como uma transformação natural.^[29]
A dualidade de Pontryagin pode ser descrita como a existência de isomorfismo natural $G ≅ G \land\land$ , para cada $G$ grupo abeliano localmente compacto, onde $H \land$ denota o grupo topológico dos homomorfismos contínuos de $H$ a $𝕋$ , grupo multiplicativo dos complexos de valor absoluto um.^[30]

Functores e transformações naturais permitem definir o conceito de equivalência de categorias.

Adjunção

Uma adjunção entre functores $F : C \to D$ e $G : D \to C$ é uma família natural de isomorfismos, para quaisquer objetos $c$ de $C$ e $d$ de $D$ , $\hom _{D}(F(c),d)\cong \hom _{C}(c,G(d)).$ Neste caso, diz-se que $F$ é adjunto esquerdo e $G$ é adjunto direito. Exemplos de adjunções incluem:

Sendo $C = Set$ a categoria de conjuntos e $D = K - Vet$ a categoria de espaços vetoriais sobre um corpo fixo $K$ , a adjunção $\hom _{K-\mathbf {Vet} }(K[S],V)\cong \hom _{\mathbf {Set} }(S,G(V))$ onde $K [S]$ é um espaço vetorial de base indexada pelo conjunto $S$ , e $G (V)$ é o conjunto de elementos do espaço vetorial $V$ .^[31]
Sendo $C = Set$ a categoria de conjuntos e $D = Grp$ a categoria de grupos, a adjunção $\hom _{\mathbf {Grp} }(F(S),H)\cong \hom _{\mathbf {Set} }(S,G(H))$ onde $F (S)$ é o grupo livre no conjunto $S$ , e $G (H)$ é o conjunto de elementos do grupo $H$ .
Sendo $D = CompMet$ a categoria dos espaços métricos completos (cujos morfismos são os mapeamentos uniformemente contínuos) e $C = Met$ a categoria dos espaços métricos, a adjunção $\hom _{\mathbf {CompMet} }(K(M),N)\cong \hom _{\mathbf {Met} }(M,G(N))$ onde $K (M)$ é a completação do espaço métrico $M$ , e $G (N) = N$ .^[32]
Sendo $C = D = Ab$ a categoria dos grupos abelianos, e sendo $H$ grupo abeliano fixo, a adjunção $\hom _{\mathbf {Ab} }(A\otimes H,B)\cong \hom _{\mathbf {Ab} }(A,\operatorname {Hom} (H,B))$ onde $\otimes$ denota o produto tensorial entre grupos abelianos, e $Hom(H, B)$ denota o grupo abeliano de homomorfismos de grupo $H \to B$ .^[33]
Sendo $C = Top$ a categoria dos espaços topológicos e $D = CHaus$ a categoria dos espaços compactos de Hausdorff, a adjunção $\hom _{\mathbf {CHaus} }(F(X),K)\cong \hom _{\mathbf {Top} }(X,G(K))$ onde $F (X)$ é a compactificação de Stone–Čech de $X$ , e $G (K) = K$ .^[34]

Se um functor $F : C \to D$ é adjunto esquerdo a $G : D \to C$ , a composição $G \circ F : C \to C$ faz parte de uma mônade em $C$ .^[35]

Aplicações

Abaixo, seguem algumas aplicações elementares da teoria das categorias.

Functores são usados para expressar conceitos de topologia algébrica; com efeito, foi nessa área que o conceito começou a ser reconhecido.^[36]
Os teoremas do functor adjunto podem ser usados para demonstrar a existência (e propriedades) de grupos livres, monoides livres, anéis livres etc. (mas não "corpos livres", que não existem), da compactificação de Stone–Čech e de "maiores quocientes de Hausdorff".^[37]^[38]
Como adjuntos esquerdos são functores cocontínuos, $F (A ⨿ B) ≅ F (A) * F (B)$ , onde $F (_)$ denota o grupo livre, $⨿$ denota a união disjunta, e $*$ denota o produto livre (coproduto de grupos).
Se $M$ é um $(R, S)-$ bimódulo, o functor $M \otimes S_$ é adjunto esquerdo, logo cocontínuo, e em particular é functor exato direito (não "exato esquerdo"); isto tem aplicações à álgebra homológica.^[39]
O grupo $ℤ p$ dos inteiros $p$ -ádicos pode ser descrito como o limite do functor representado diagramaticamente por $\cdots \twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p^{2}\twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p$ e o grupo $ℤ[1 p]∕ℤ$ de Prüfer pode ser descrito como o colimite do functor representado diagramaticamente por^[1] $\mathbb {Z} /p\xrightarrow {[n]\mapsto [p\cdot n]} \mathbb {Z} /p^{2}\xrightarrow {[n]\mapsto [p\cdot n]} \mathbb {Z} /p^{3}\rightarrow \cdots$
Mônades são usadas na linguagem de programação Haskell para modelar, por exemplo, a manipulação de estado global e o não determinismo.^[40]
Tom Leinster emprega teoria das categorias para construir um objeto inicial numa categoria envolvendo espaços de Banach, dando, assim, uma caracterização alternativa do espaço $L 1 ([0 \dots 1])$ das funções Lebesgue-integráveis no intervalo $[0 \dots 1]$ .^[41]

Referências

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↑ (MAC LANE 1998, §I, notas)
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Bibliografia

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v d e Tópicos principais sobre álgebra
Geral	Álgebra elementar Álgebra abstrata Álgebra comutativa Teoria da ordem Teoria das categorias K-Teoria
Estruturas algébricas	Grupo – Teoria dos grupos Anel – Teoria dos anéis Corpo – Teoria dos corpos Álgebra universal
Álgebra linear	Teoria de matrizes Vetor – Espaço vetorial Produto interno – Espaço com produto interno Espaço de Hilbert

v d e Tópicos sobre fundamentos da matemática
Lógica matemática	Axiomas de Peano Indução matemática Sistema axiomático Prova matemática Teoria dos modelos Construtivismo Lógica modal Lista de tópicos da lógica matemática
Teoria dos conjuntos	Conjunto Teoria ingênua dos conjuntos Teoria axiomática dos conjuntos Teoria de conjuntos de Zermelo Axiomas de Zermelo-Fraenkel Teoria descritiva de conjuntos Determinância Paradoxo de Russell Lista de tópicos sobre teoria dos conjuntos
Teoria das categorias	Categoria Teoria dos tipos Topos Glossário de teoria das categorias