Momento de inércia

Mecânica clássica
Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração.
Cinemática Deslocamento Velocidade Velocidade escalar Aceleração Aceleração centrípeta Movimento uniforme Movimento uniformemente variado Movimento retilíneo Movimento parabólico Movimento circular Movimento circular uniforme Movimento curvilíneo Movimento harmônico simples Movimento harmônico complexo
Dinâmica Força Inércia Produto de inércia Leis de Newton Primeira Lei de Newton Segunda Lei de Newton Terceira Lei de Newton Equações de movimento Ressonância
História História da física
Trabalho e Mecânica Energia cinética Energia potencial Trabalho Conservação da energia Força conservativa Força de contato Função de Lagrange Potência Retropropulsão Princípio de Hamilton
Sistema de partículas Centro de massa Corpo rígido Momento linear Conservação do momento linear Equilíbrio dinâmico Princípio de d'Alembert Sistema massa-mola
Colisões Impulso Colisão elástica Colisão inelástica
Movimento rotacional Posição angular Deslocamento angular Velocidade angular Aceleração angular Momento de inércia Torque Momento angular
Sistemas Clássicos Sistema dinâmico Sistema linear Sistema não linear Sistema hamiltoniano Sistema caótico
Formulações Mecânica newtoniana Mecânica hamiltoniana Mecânica lagrangiana Mecânica KvN Equação de Udwadia-Kalaba Mecânica de Routhian
Gravitação Lei da gravitação universal Princípio da superposição Constante gravitacional Velocidade de escape Leis de Kepler Princípio da equivalência
Físicos Isaac Newton Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange Pierre-Simon Laplace Galileu Galilei William Rowan Hamilton Johannes Kepler

Em mecânica, o momento de inércia, ou momento de inércia de massa, expressa o grau de dificuldade em se alterar o estado de movimento de um corpo em rotação. Diferentemente da massa inercial (que é um escalar), o momento de inércia ou Tensor de Inércia também depende da distribuição da massa em torno de um eixo de rotação escolhido arbitrariamente. Quanto maior for o momento de inércia de um corpo, mais difícil será girá-lo ou alterar sua rotação. Contribui mais para o aumento do valor do momento de inércia a porção de massa que está afastada do eixo de giro. Um eixo girante fino e comprido, com a mesma massa de um disco que gira em relação ao seu centro, terá um momento de inércia menor que este. Sua unidade de medida, no SI, é quilograma vezes metro ao quadrado (kg·m²). Em mecânica clássica, momento de inércia também pode ser chamado inércia rotacional, momento polar de inércia.

Para movimentos planos de um corpo, a trajetória de todos os pontos acontece em planos paralelos e a rotação ocorre apenas em torno do eixo perpendicular a esse plano. Neste caso, o corpo tem um único momento de inércia, medido em torno desse eixo.

Introdução

Definição escalar

Quando está girando, o disco de uma serra elétrica possui uma energia cinética associada à rotação. Para expressar tal energia cinética $K$, não se pode aplicar a fórmula convencional K = 12 mv² ao disco como um todo, pois isso resultaria apenas na energia cinética do centro de massa do disco, que é nula. Em vez disso, há de se tratar o disco, assim como qualquer outro corpo rígido em rotação, como um conjunto de partículas a diferentes distâncias do centro do disco e, portanto, com diferentes velocidades. Dessa forma, a energia cinética total do objeto será a soma das energias cinéticas de cada partícula. Considerando a rotação de um corpo rígido como um conjunto de partículas em movimento circular em torno de um eixo fixo, as distâncias $r_{i}$ de cada partícula $i$ relacionam-se às suas velocidades $v_{i}$ por uma velocidade angular $\omega$, igual para todas as partículas, pela relação $v_{i}=\omega r_{i}$. Com isso, usando a definição de energia cinética para várias partículas, a princípio de massas $m_{i}$ distintas, obtém-se a seguinte expressão:

$K=\sum {\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}=\sum {\frac {1}{2}}m_{i}(\omega r_{i})^{2}={\frac {1}{2}}\left(\sum m_{i}r_{i}^{2}\right)\omega ^{2}$

Nessa expressão, subentende-se que a soma é estendida a todas as partículas do corpo. A grandeza entre parênteses no lado extremo direito da equação depende da forma como a massa do corpo está distribuída em relação ao eixo da rotação. Denomina-se tal grandeza como sendo o momento de inércia do corpo em relação a tal eixo de rotação. O momento de inércia, representado pela letra $I$, depende do corpo e do eixo em torno do qual está sendo executada a rotação, isto é, seu valor só possui significado se for especificado em relação a qual eixo de rotação o corpo gira. Com isso, representando $m$ a sua massa e $r$ sua distância ao eixo de rotação, a definição formal de momento de inércia para uma partícula isolada é:

Definição de momento de inércia (uma partícula) $I=mr^{2}$

Cálculo

Por definição, o momento de inércia $I\,\!$ de uma partícula de massa $m\,\!$ e que gira em torno de um eixo, a uma distância $r\,\!$ dele, é

$I=mr^{2}$.

Se um corpo é constituído de $n$ massas pontuais (partículas), seu momento de inércia total é igual à soma dos momentos de inércia de cada massa:

$I=\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}$,

sendo $m_{i}$ a massa de cada partícula, e $r_{i}$ sua distância ao eixo de rotação.

Para um corpo rígido, podemos transformar o somatório em uma integral, integrando para todo o corpo $C$ o produto da massa $m\,\!$ em cada ponto pelo quadrado da distância $r\,\!$ até o eixo de rotação:

$I_{c}=\int _{C}r^{2}\,dm\,\!$.

Exemplos

Ver artigo principal: Lista de momentos de inércia

Há vários valores conhecidos para o momento de inércia de certos tipos de corpos rígidos. Alguns exemplos (supondo que a distribuição de massa seja uniforme:

• Para um cilindro maciço de massa $M$ e raio da base $R$, em torno de seu eixo:

$I={\frac {1}{2}}MR^{2}$

• Para uma esfera maciça de massa $M$ e raio $R$, em torno de seu centro:

$I={\frac {2}{5}}MR^{2}$

• Para um anel cilíndrico de massa $M$ e raio $R$, em torno de um eixo paralelo à geratriz e passando por seu centro:

$I=MR^{2}$

• Para um cilindro vazado de raio externo $R$ e de raio interno $r$, em torno do seu eixo:

$I={\frac {M}{2}}(r^{2}+R^{2})$

• Para uma barra delgada, com área de seção transversal tendendo a 0 e comprimento $L$, perpendicularmente à barra e passando por seu centro:

$I={\frac {1}{12}}ML^{2}$

• Para uma barra delgada, com área de seção transversal tendendo a 0 e comprimento $L$, perpendicularmente à barra e passando por uma de suas extremidades:

$I={\frac {1}{3}}ML^{2}$

Ver também

• Momento de inércia de área
• Produto de inércia
• Quantidade de movimento angular
• Movimento circular uniforme
• Impulso

Bibliografia

• Halliday, David (2012). Fundamentos de Física Volume 1 - Mecânica (9ª ed). Rio de Janeiro, RJ: LTC - Livros Técnicos e Científicos