Regra de l'Hôpital

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A regra de L'Hôpital, também por vezes denominada regra de Cauchy, foi incorporada no primeiro livro de texto sobre cálculo diferencial, publicado por Guillaume François Antoine, Marquês de l'Hôpital, em 1712. Seu objetivo é calcular o limite de frações nos casos em que há indeterminações do tipo \frac{0}{0} ou \frac{\,\!\infty}{\,\!\infty}.

História[editar | editar código-fonte]

Atualmente sabe-se que a regra não se deve ao Marquês e sim a Johann Bernoulli, um dos membros da célebre Família Bernoulli. A regra integrou a obra do marquês, sendo também atribuída ao mesmo, mediante um acordo entre ele e Bernoulli. Posteriormente descobriu-se tal fato.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Sejam f e g funções deriváveis num intervalo ou união de intervalos I, com  g'(x) \neq 0,\; \forall x \in I.

Se  \lim_{x \to p}f(x) = \lim_{x \to p}g(x) = 0    ou     \lim_{x \to p}f(x) = \lim_{x \to p}g(x) = \infty

Então, se  \lim_{x \to p}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lambda ,

com  \lambda \in \mathbb{R} ou \lambda = +\infty ou \lambda = -\infty:

 \lim_{x \to p}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to p}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Com p=c, p=c^+, p=c^-, p=+\infty ou p=-\infty.

É importante notar-se que esta é uma relação de sentido único (não é uma equivalência) e que \lambda tem de existir (i.e: se o limite do quociente das derivadas não existir, nada se pode concluir).

Aplicações[editar | editar código-fonte]

\lim_{x \to 1}\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1}\frac{2x}{1} = \lim_{x \to 1}2x = 2

\lim_{x \to \,\!\infty}\frac{e^x}{x} = \lim_{x \to \,\!\infty}\frac{e^x}{1} = \lim_{x \to \,\!\infty}e^x = \,\!\infty

A regra pode, ainda, ser estendida para calcularem-se limites tais como

y = \lim_{x \to \,\!\infty}x^{\frac{1}{x}}
ln(y) = ln\left(\lim_{x \to \,\!\infty}x^{\frac{1}{x}}\right)
ln(y) = \lim_{x \to \,\!\infty}\frac{ln(x)}{x}

aplicando a regra de L'Hôpital:

ln(y) = \lim_{x \to \,\!\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=0
y = e^0\,\!
y = 1\,\!

Ou, ainda, o limite fundamental onde se segue:

k = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
ln(k) = ln\left(\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)
ln(k) = \lim_{n\to\infty} n \cdot ln\left(1+\frac{1}{n}\right)
ln(k) = \lim_{n\to\infty} \frac{ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}

derivando...

ln(k) = \lim_{n\to\infty} \frac{\left(\frac{-1}{n^2}\right)}{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(\frac{-1}{n^2}\right)}
ln(k) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)} = 1
k = e\,\!

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Alguns exemplos podem ser fornecidos

\lim_{x \to 0}\frac{tg(x)}{x}=\frac{0}{0}

Aplicando a regra de l'Hôpital

\lim_{x \to 0}\frac{tg(x)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{(tg(x))'}{(x)'}=\lim_{x \to 0}\frac{sec^2(x)}{1}=1

Exemplo 2[editar | editar código-fonte]

A regra pode ainda ser usada para calcular alguns limites notáveis tais como:

\lim_{x \to 0}\frac{sen(x)}{x}=\frac{0}{0}

Aplicando a regra

\lim_{x \to 0}\frac{sen(x)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{(sen(x))'}{(x)'}=\lim_{x \to 0}\frac{cos(x)}{1}=1

Demonstração[editar | editar código-fonte]

A prova da regra de l'Hôpital é simples no caso em que f e g são continuamente diferenciáveis no ponto c e onde é encontrado um limite finito após a primeira tentativa de diferenciação. Esta não é uma prova geral para a regra l'Hôpital, pois é mais estrita, necessitando tanto de diferenciabilidade das duas funções f e g, e que c seja um número real. Uma vez que diversas funções comuns têm derivadas contínuas (por exemplo, polinómios, seno e cosseno, função exponencial), é um caso especial que merece atenção.

Suponha que f e g são continuamente diferenciáveis num número real c, em que f(c)=g(c)=0\,, e que g'(c)\neq 0. Então

\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)} = \lim_{x\to c}\frac{\left(\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\right)}{\left(\frac{g(x)-g(c)}{x-c}\right)} =\frac{\lim_{x\to c}\left(\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\right)}{\lim_{x\to c}\left(\frac{g(x)-g(c)}{x-c}\right)}= \frac{f'(c)}{g'(c)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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