Regra de l'Hôpital

Topicos em Cálculo

Teorema fundamental Limite de uma função Continuidade Teorema do valor médio Cálculo  Derivada Mudança de variáveis Funções implícitas e explícitas Teorema de Taylor Taxas relacionadas Regras e identidades: Regra do produto, Regra do quociente, Regra da cadeia Integral  Integral Tábua de integrais Integrais impróprias Integração por: partes, substituição trigonométrica, frações parciais, Ordem de integração Cálculo vetorial  Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Cálculo multivariável  Cálculo matricial Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana

A regra de L'Hôpital, também por vezes denominada regra de Cauchy, foi incorporada no primeiro livro de texto sobre cálculo diferencial, publicado por Guillaume François Antoine, Marquês de l'Hôpital, em 1696. Seu objetivo é calcular o limite de frações nos casos em que há indeterminações do tipo $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\,\!\infty}{\,\!\infty}$.

Enunciado

Sejam $f$ e $g$ funções deriváveis num intervalo ou união de intervalos $I$, com $g'(x) \neq 0,\; \forall x \in I$.

Se $\lim_{x \to p}f(x) = \lim_{x \to p}g(x) = 0$    ou    $\lim_{x \to p}f(x) = \lim_{x \to p}g(x) = \infty$

Então, se $\lim_{x \to p}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lambda$,

com $\lambda \in \mathbb{R}$ ou $\lambda = +\infty$ ou $\lambda = -\infty$:

$\lim_{x \to p}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to p}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

Com $p=c$, $p=c^+$, $p=c^-$, $p=+\infty$ ou $p=-\infty$.

É importante notar-se que esta é uma relação de sentido único (não é uma equivalência) e que $\lambda$ tem de existir (i.e: se o limite do quociente das derivadas não existir, nada se pode concluir).

Aplicações

$\lim_{x \to 1}\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1}\frac{2x}{1} = \lim_{x \to 1}2x = 2$

$\lim_{x \to \,\!\infty}\frac{e^x}{x} = \lim_{x \to \,\!\infty}\frac{e^x}{1} = \lim_{x \to \,\!\infty}e^x = \,\!\infty$

A regra pode, ainda, ser estendida para calcularem-se limites tais como

$y = \lim_{x \to \,\!\infty}x^{\frac{1}{x}}$

$ln(y) = ln\left(\lim_{x \to \,\!\infty}x^{\frac{1}{x}}\right)$

$ln(y) = \lim_{x \to \,\!\infty}\frac{ln(x)}{x}$

aplicando a regra de L'Hôpital:

$ln(y) = \lim_{x \to \,\!\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=0$

$y = e^0\,\!$

$y = 1\,\!$

Ou, ainda, o limite fundamental onde se segue:

$k = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

$ln(k) = ln\left(\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)$

$ln(k) = \lim_{n\to\infty} n \cdot ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$

$ln(k) = \lim_{n\to\infty} \frac{ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}$

derivando...

$ln(k) = \lim_{n\to\infty} \frac{\left(\frac{-1}{n^2}\right)}{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(\frac{-1}{n^2}\right)}$

$ln(k) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)} = 1$

$k = e\,\!$

Exemplo

Alguns exemplos podem ser fornecidos

$\lim_{x \to 0}\frac{tg(x)}{x}=\frac{0}{0}$

Aplicando a regra de l'Hôpital

$\lim_{x \to 0}\frac{tg(x)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{(tg(x))'}{(x)'}=\lim_{x \to 0}\frac{sec^2(x)}{1}=1$

Exemplo 2

A regra pode ainda ser usada para calcular alguns limites notáveis tais como:

$\lim_{x \to 0}\frac{sen(x)}{x}=\frac{0}{0}$

Aplicando a regra

$\lim_{x \to 0}\frac{sen(x)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{(sen(x))'}{(x)'}=\lim_{x \to 0}\frac{cos(x)}{1}=1$ crimildo govate

Demonstração

A prova da regra de l'Hôpital é simples no caso em que f e g são continuamente diferenciáveis no ponto c e onde é encontrado um limite finito após a primeira tentativa de diferenciação. Esta não é uma prova geral para a regra l'Hôpital, pois é mais estrita, necessitando tanto de diferenciabilidade das duas funções f e g, e que c seja um número real. Uma vez que diversas funções comuns têm derivadas contínuas (por exemplo, polinómios, seno e cosseno, função exponencial), é um caso especial que merece atenção.

Suponha que f e g são continuamente diferenciáveis num número real c, em que $f(c)=g(c)=0\,$, e que $g'(c)\neq 0$. Então

$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)} = \lim_{x\to c}\frac{\left(\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\right)}{\left(\frac{g(x)-g(c)}{x-c}\right)} =\frac{\lim_{x\to c}\left(\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\right)}{\lim_{x\to c}\left(\frac{g(x)-g(c)}{x-c}\right)}= \frac{f'(c)}{g'(c)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$

Ligações externas

• Fórum de matemática para dúvidas sobre a Regra de L'Hôpital