Equação diferencial

Soluções de uma equação diferencial (a negro) e as respectivas condições iniciais (a vermelho).

Em matemática, uma equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função que aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas. Dada uma variável x, função de uma variável y, a equação diferencial envolve, x, y, derivadas de y e eventualmente também derivadas de x. Por exemplo:

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2})y=0$

Equações diferenciais têm propriedades intrinsecamente interessantes como:

• solução pode existir ou não.
• caso exista, a solução é única ou não.

A ordem da equação diferencial é a ordem da derivada de maior grau que aparece na equação. A solução de uma equação diferencial de ordem n, conterá n constantes.

As equações diferenciais são usadas para construir modelos matemáticos de fenómenos físicos tais como na dinâmica de fluidos e em mecânica celeste. Deste modo, o estudo de equações diferenciais é um campo extenso na matemática pura e na matemática aplicada.

As equações diferenciais têm inúmeras aplicações práticas em medicina, engenharia, química, biologia e outras diversas áreas do conhecimento. As soluções destas equações são usadas, por exemplo, para projetar pontes, automóveis, aviões e circuitos elétricos.

Tipos

As equações diferenciais dividem-se em dois tipos:

• Uma equação diferencial ordinária (EDO) contém apenas funções de uma variável e derivadas daquela mesma variável.

• Uma equação diferencial parcial (EDP) contém funções com mais do que uma variável e suas derivadas parciais.

Exemplos

Equações diferenciais são extremamente importantes para as ciências, pois nos informam como a variação de uma grandeza afeta outras grandezas relacionadas. A lei mais importante de Física Clássica, a segunda lei de Newton:

${\vec {F}}=m{\vec {a}}$

é na verdade uma equação diferencial de segunda ordem:

${\vec {F}}({\vec {r}},t)=m{\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}$

Equações diferenciais fazem parte de nosso dia a dia, mesmo que não nos demos conta disto.

No entanto, as equações diferenciais são mais difíceis de resolver do que as equações algébricas comuns. À exceção das equações separáveis, a resolução de cada tipo diferente de equação sem que se conheça a técnica é uma obra homérica. Por isso, cada avanço no campo das equações diferenciais em geral é creditado a um matemático diferente (exceto por Leonhard Euler).

Exemplo II

Mostrando que as funções

$y_{1}(x)=e^{5x}\qquad \mathrm {e} \qquad y_{2}(x)=e^{-3x}$

são soluções da equação diferencial e dos métodos numéricos após as únicas bidimensionais da resolução.

$y''-2y'-15y=0$

Resolução por simples substituição da função e as suas derivadas vê-se facilmente que cada uma das funções dada é solução:

${\begin{aligned}&&25e^{5x}-10e^{5x}-15e^{5x}=0\\&&9e^{-3x}+6e^{-3x}-15e^{-3x}=0\end{aligned}}$

Exemplo III

Demonstre que a relação $x+y+e^{xy}=0$

é solução implícita de ${\bigg (}1+xe^{xy}{\bigg )}{\dfrac {dy}{dx}}+1+ye^{xy}=0$

Resolução:

${\begin{aligned}&{\dfrac {d}{dx}}(x+y+e^{xy})=0\\&1+y'+e^{xy}{d(xy) \over dx}=0\\&1+y'+(y+xy')e^{xy}=0\\&(1+xe^{xy}){dy \over dx}+1+ye^{xy}=0\qquad \end{aligned}}$

Classificação

Equações de primeira ordem

As equações diferenciais ordinárias de primeira ordem são da forma $F(x,y,y')=0,$ mas geralmente por meio de simples manipulação algébrica conseguem-se re-escrever na forma de uma ou mais equações:

${dy \over dx}=f(x,y)$

A chamada forma inversa da equação anterior é

${dx \over dy}={\frac {1}{f(x,y)}}$

Qualquer solução implícita de uma das duas equações é solução da outra, e se a inversa de uma solução explícita $y(x)$ da primeira equação existir, será solução ($x(y)$) da equação inversa. A equação pode ser também escrita na chamada forma diferencial.

$f(x,y)dx-dy=0$

Existem em geral muitas soluções de uma equação diferencial de primeira ordem. Dado um valor inicial $y(x_{0})=y_{0},$ é possível calcular a derivada $y'$ no ponto $x_{0}$ (igual a $f(x_{0},y_{0})$ segundo a equação diferencial), e geralmente é possível encontrar uma curva (curva integral) que passe pelo ponto $(x_{0},y_{0})$ e com derivada igual a $f(x,y)$ em cada ponto. O problema de valores iniciais:

${dy \over dx}=f(x,y)\qquad y(x_{0})=y_{0}$

consiste em encontrar a curva integral (ou curvas integrais) que passa pelo ponto $(x_{0},y_{0}).$

Existência e unicidade da solução

As condições suficientes para a existência de uma solução única de uma equação diferencial de primeira ordem são definidas pelo teorema de Picard:

Teorema de Picard

Considere o problema de valor inicial

${dy \over dx}=f(x,y)\qquad y(x_{0})=y_{0}$

se a função $f$ e a derivada parcial de $f$ em função de $y$ são contínuas numa vizinhança do ponto $(x_{0},y_{0}),$ existe uma solução única $y=g(x)$ em certa vizinhança do ponto $(x_{0},y_{0})$ que verifica a condição inicial $g(x_{0})=y_{0}.$

O intervalo onde existe a solução única pode ser maior ou menor que o intervalo onde a função $f$ e a sua derivada parcial $\partial f/\partial y$ são contínuas (o teorema não permite determinar o tamanho do intervalo).

As condições do teorema de Picard são condições suficientes, mas não necessárias para a existência de solução única. Quando $f$ ou a sua derivada parcial $\partial f/\partial y$ não sejam contínuas, o teorema não nos permite concluir nada: provavelmente existe solução única a pesar das duas condições não se verificarem.

Exemplo

Demonstre que a relação

$x^{2}+y^{2}-c^{2}=0$

onde $c$ é uma constante positiva, é solução implícita da equação

${dy \over dx}=-{\frac {x}{y}}$

o que pode se concluir a partir do teorema de Picard?

Resolução:

${\begin{aligned}&2x+2yy'=0\\&y'=-{\frac {x}{y}}\end{aligned}}$

a função $f=-x/y$ e a sua deriavada parcial $\partial f/\partial y=x/y^{2}$ são contínuas em quaisquer pontos fora do eixo dos $x.$ A solução implícita dada conduz às soluções únicas:

$y_{1}={\sqrt {c^{2}-x^{2}}}\qquad y_{2}=-{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}$

no intervalo $-c<x<c.$ O teorema de Picard nada permite concluir nos pontos $y=0,$ mas segundo o resultado obtido acima vemos que em cada ponto $y=0$ existem duas soluções, $y_{1}$ e $y_{2}.$

Lista de equações diferenciais

• Segunda lei de Newton
• Equações de Hamilton
• Decaimento radioativo
• Equação do pêndulo
• Equação de Lane-Emden
• Equação da onda
• Equações de Maxwell
• Equação do calor
• Equação de Laplace
• Equação de Poisson
• Equação de Schrödinger
• Equações de Navier-Stokes
• Equação de Lotka-Volterra
• Equações de Cauchy-Riemann

Ver também

• Equação diferencial linear
• Equação de Bernoulli