Gradiente

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Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico

No cálculo vetorial o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção na qual, por deslocamento a partir do ponto especificado, obtém-se o maior incremento possível no valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaço em consideração. Constrói-se assim, a partir do campo escalar e de um operador denominado operador gradiente, um campo vetorial, que atrela a cada ponto do espaço o correspondente vetor gradiente para a grandeza em consideração.

O módulo do vetor gradiente indica a taxa de variação da grandeza escalar com relação à distância movida quando desloca-se na direção e sentido do vetor gradiente (deslocamentos infinitesimais).

O campo vetorial e o operador gradientes possuem diversas aplicações em matemática e ciências naturais, indo desde o cálculo de derivadas direcionais à maximização das mesmas. A exemplo, a partir do gradiente do potencial elétrico determina-se o campo elétrico; e a partir do gradiente da energia potencial determina-se o campo de força associado.

Definição

Dois exemplos de gradiente. Em cada caso o valor da função é indicado pela escala de cinzas.

O vector gradiente ou simplesmente gradiente de um campo escalar $f_{(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}$ é determinado via ênupla ordenada definida por:

${\mbox{grad}}\,f=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},\cdots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right\rangle$

ou, via notação de soma de Euler, por:

${\mbox{grad}}\,f=\sum ^{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\hat {e}}_{i}$

onde ${\hat {e}}_{i}$ são os vetores unitários ortogonais que definem a base a partir da qual se coordena o espaço e ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$ representa o respectivo operador derivada parcial.

Já na notação de soma de Einstein, onde índices repetidos no mesmo fator implicam somatório, para o campo escalar φ:

${\mbox{grad}}\,\varphi =\partial _{i}\varphi \cdot {\hat {e}}_{i}$

O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica:

$\nabla {\overrightarrow {f}}_{(x_{1},\dots ,x_{n})}={\mbox{grad}}\,f$

No entanto, por abuso de linguagem, é comum não se indicar a "seta" de vector e a notação poderá torna-se em:

$\nabla f={\mbox{grad}}\,f=D_{f}$

O gradiente também pode ser generalizado em ordem – se fornecemos um campo vectorial obtemos um campo tensorial.

Exemplo

Para a função escalar

$f_{\!\left(x,y,z\right)}=4x+10y^{2}-\sin z$

tem-se, na base cartesiana ${\hat {i}},{\hat {j}},{\hat {k}}$

${\mbox{grad}}\,f={\frac {\partial (4x+10y^{2}-\sin z)}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial (4x+10y^{2}-\sin z)}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial (4x+10y^{2}-\sin z)}{\partial z}}{\hat {k}}$

que fornece por resposta a ênupla

${\vec {\nabla }}f=\left\langle 4;20y;-\cos z\right\rangle$

ou explicitamente

${\vec {\nabla }}f=(4){\hat {i}}+(20y){\hat {j}}+(-\cos z){\hat {k}}$

para qualquer ponto definido pelas coordenadas $\left(x,y,z\right)$, restando apenas a substituição dos respectivos valores x, y e z na expressão acima.

Expressões

Para todo campo escalar $f$ diferenciável em função do espaço cartesiano ${\vec {x}}=\left\langle x,y,z\right\rangle$ temos que:

$\nabla f=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right\rangle$

O gradiente é a derivada de um campo em função do espaço:

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}}}$

Em uma só dimensão o gradiente de uma função que só depende do espaço:

Gradiente da função em 2-D f(x) = xe [^- (x² + y²)] é representada graficamente plotada como setas azuis

$\nabla f={\frac {df}{dx}}$

Propriedades

Linearidade

O gradiente é linear:

$\nabla \left(\alpha f+\beta g\right)=\alpha \nabla f+\beta \nabla g\qquad \left(\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ^{2}\right)$

Onde $\mathbb {F}$ é um corpo constante.

Lei de Leibniz

O gradiente segue a Lei de Leibniz na multiplicação:

$\nabla \left(f\cdot g\right)=f\nabla g+g\nabla f$

E na divisão:

$\nabla \left(f/g\right)={\frac {g\nabla f-f\nabla g}{g^{2}}}\qquad \left(g\neq 0\right)$

A inclinação da função f (x, y) = - (+ cos²x cos²y)² descrito como um campo de vectores projetada no plano inferior.

Ortogonalidade às curvas de nível

O vector gradiente sempre será ortogonal às curvas de nível (veja no artigo "Conjunto de nível"). Seja $f(x\,,y)$ uma função definida em $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ e diferenciável em todo seu domínio.

Seja o conjunto $C:\{(x,y)\in D|f(x,y)=k\}$ onde x e y são funções de um parâmetro t tal que $x(0)=x_{0}\,,y(0)=y_{0}$.

Então, temos:

$f(x(t)\,,y(t))=k$ (diferenciando com relação a t pela regra da cadeia)

${\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}=0$

A equação final pode ser interpretada como o produto escalar do gradiente de f por um vector tangente a f em $(x_{0}\,,y_{0})$, logo os dois são perpendiculares entre si.

Teorema do gradiente

O gradiente é revertido pelo integral de linha de acordo com o teorema do gradiente, que é análogo ao teorema fundamental do cálculo:

$\Delta f=f_{Q}-f_{P}=\int _{\gamma _{P}}^{\gamma _{Q}}\nabla f\cdot {\vec {d\gamma }}$

Derivada direcional

A derivada direcional é um escalar que representa a derivada dum campo escalar ao longo de um versor (no caso abaixo, ${\hat {u}}$).

$\forall {\hat {u}}\quad D\!_{\hat {u}}\,f={\hat {u}}\cdot \nabla f$

Sistemas de coordenadas

O gradiente é escrito nos diferentes sistemas de coordenadas tridimensionais nas seguintes formas:

Coordenadas cartesianas

$\nabla \,f={\frac {\partial f}{\partial x}}{\hat {e}}_{x}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\hat {e}}_{y}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {e}}_{z}$

Para coordenadas espaciais x, y e z.

Coordenadas cilíndricas circulares

$\nabla \,f={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\hat {e}}_{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\hat {e}}_{\phi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {e}}_{z}$

Onde $\rho$ representa a distância ao eixo z, $\phi$ é o ângulo (tomado, em geral sobre o plano z=0 em relação ao eixo x) e z.

Coordenadas esféricas

$\nabla \,f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}{\hat {e}}_{\theta }+{\frac {1}{rsen\theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\hat {e}}_{\phi }$

Onde $r$ representa a distância à origem, $\theta$ é o ângulo entre a reta que liga o ponto à origem e o eixo z e $\phi$ é o ângulo formado pela projeção da reta que liga o ponto à origem no plano z=0 e o eixo x.

Noção intuitiva de gradiente

O gradiente é o vetor que aponta para onde a grandeza resultante da função tem seu maior crescimento.

Gradientes de tensão

Os gradientes de tensão em redes elétricas são, depois dos transientes, os maiores causadores de danos em circuitos eletro-eletrônicos.

O retorno da energia elétrica numa linha de transmissão longa, após uma interrupção da mesma, faz-se acompanhar por transientes de tensão elevada até à estabilização do circuito. Simultaneamente, manifesta-se na rede um movimento oscilatório de baixa frequência, composto por gradientes positivos e negativos, denominados harmônicos, que fazem elevar e reduzir a tensão, acima e abaixo do seu valor nominal.

Fontes externas

• Cálculo, George B. Thomas, (Décima Edição), Volume 2; Addison Wesley/Pearson Education do Brasil, São Paulo, (2002).

Ver também

• Teorema do gradiente
• Divergente
• Rotacional
• Degradê (Arte)
• Laplaciano
• Nabla