Cálculo vetorial

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico

Cálculo vetorial (AO 1945: cálculo vectorial) é uma área da matemática relacionada com a análise real multivariável de vectores em duas ou mais dimensões. Consiste num conjunto de fórmulas e técnicas para a resolução de problemas, muito útil na engenharia e na física.

Consideremos um campo vectorial, que associa um vector a cada ponto no espaço, e um campo escalar, que associa um escalar a cada ponto no espaço. Por exemplo, a temperatura de uma piscina é um campo escalar: a cada ponto podemos associar um valor escalar para a temperatura. O fluir da água nessa mesma piscina é um campo vectorial: a cada ponto podemos associar um vector velocidade.

História

Os quaternions foram descobertos pelo irlandês William Rowan Hamilton em 1843. Hamilton procurava formas de estender os números complexos (que podem ser vistos como pontos de um plano) a dimensões espaciais mais elevadas. Quaternions são feitos de um vector de três dimensões mais um escalar.

Posteriormente, Oliver Heaviside e Willard Gibbs entre outros, desenvolveram a álgebra vectorial e o cálculo vectorial.

Alguns dos apoiantes de Hamilton opuseram-se fortemente aos desenvolvimentos crescentes da álgebra vectorial e cálculo vectorial, afirmando que os quaternions forneciam uma notação superior. Se bem que isto é discutível em três dimensões, os quaternions não podem ser usados em outras dimensões (apesar de extensões como as dos octonions e álgebra de Clifford poderem ser mais aplicáveis). A notação vectorial substituiu quase universalmente os quaternions na ciência e engenharia por volta dos meados do século XX.

Noções

• Campo -- É uma região do espaço matemático onde há grandezas associadas a seus pontos. Se essas grandezas se mantêm constantes ao longo do tempo dizemos que esse campo é estável; se elas tem a mesma direção em todos os pontos dizemos que o campo é UNIFORME; se elas são iguais em todos os pontos dizemos que o campo é HOMOGÊNEO.
• Escalar -- é o nome que se dá a grandezas reais associadas a pontos do espaço. Não possuem sentido ou direção. Exemplos: massa, temperatura, densidade.
• Vectores -- são objectos ou entes matemáticos constituídos pela associação de um módulo (ou valor absoluto), direcção e sentido a cada ponto do espaço. Exemplos: velocidade linear, aceleração, força, velocidade de rotação.

Graficamente, costuma-se representar o vector por uma seta ligando dois pontos do espaço geométrico, que geralmente são designados como letras maiúsculas entre parêntesis; Sendo (O) seu ponto de origem e (P) seu ponto de extremidade, o vector pode então ser simbolizado pela associação desses dois pontos, ou seja, por (OP); seu módulo é simbolizado por |OP|. Outro simbolismo frequente consiste em designar o vector por uma letra minúscula sobreposta de uma pequena seta.

• Álgebra vetorial -- É a área da matemática que trata da operações e transformações de vetores; as definições usadas na álgebra numérica são extensíveis à álgebra vetorial. As definições fundamentais são:
  1. dois vetores são iguais se tem o mesmo módulo, sentido e direção, mesmo que tenham origem em pontos diferentes. Assim (AB) = (CD) se |AB| = |CD| e ambos tem o mesmo sentido e direção.
  2. dois vetores que tenham o mesmo módulo e direção, porém sentidos opostos são chamados de opostos e podem ser representados com a mesma designação, porém uma com o sinal negativo. Exemplo: (AB) = - (BA)
  3. a soma ou resultante de vetores é obtido colocando-se a origem de um na extremidade de outro, independendo da sequência ou ordem de colocação. Assim a resultante de [(OA) +(AB) + (BC)] é (OC)
  4. a diferença entre os vetores [(AB) - (CD)] é o vetor (OP) tal que [(OP) + (CD)] = (AB). Define-se como vetor nulo o vetor cujo módulo é igual a zero. O vetor nulo não tem sentido ou direção.
  5. o produto de um escalar m por um vetor (AB) é um vetor de mesma direção de (AB), módulo igual a [m.|AB|], mesmo sentido se m > 0 e sentido oposto se m< 0.
• Leis operacionais -- Para adição de vetores ou multiplicação de vetor por escalar, valem as leis associativas e comutativas, ou seja:
  1. $[(AB)+(CD)]=[(CD)+(AB)]$ - lei comutativa da adição
  2. $(AB)+[(CD)+(EF)]=[(AB)+(CD)]+(EF)$ - lei associativa da adição
  3. $n\cdot (AB)=(AB)\cdot n$
  4. $m\cdot [n\cdot (AB)]=[m\cdot n]\cdot (AB)$ - lei comutativa da multiplicação
  5. $[m+n]\cdot (AB)=m\cdot (AB)+n\cdot (AB)$ - lei distributiva
  6. $m\cdot [(AB)+(CD)]=m\cdot (AB)+m\cdot (CD)$ - lei distributiva
• Produto escalar de dois vetores - É definido como o escalar resultante do produto dos módulos dos vetores e do cosseno do ângulo formado entre eles. Ex.$(AB)\cdot (CD)=|AB|\cdot |CD|\cdot \cos \theta$, sendo $\theta$ o ângulo entre AB e CD.
• Produto vetorial de dois vetores - É definido como um vetor cujo módulo é o resultado do produto dos módulos dos dois vetores multiplicandos e o seno do ângulo que eles formam; sua direção é perpendicular ao plano definido pelos vetores multiplicandos e o sentido é tal que os dois vetores multiplicandos e o resultante cujo módulo, pela ordem, formem um triédro positivo.

Note-se que o módulo do vetor resultante é igual à área do paralelogramo construído pelos vetores multiplicandos. A lei associativa da multiplicação não se aplica a produtos vetoriais.

• Produtos triplos -- São operações envolvendo simultaneamente produtos escalares e vetoriais entre vários vetores, para as quais, em geral, não se aplicam as leis comutativas e associativas.

Teorema

$x^{\prime }=\gamma (x-v\cdot t)$

$t^{\prime }=\gamma (t-{\frac {v}{c^{2}}}x)$

Onde:

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

é chamado de fator de Lorentz. Este fator, mesmo para uma velocidade extremamente alta para o nosso padrão diário, como uma velocidade de 16 km/s, ou 57 600 km/h, que é a velocidade média da Voyager, um dos objetos mais rápidos construídos pelo homem [1], seria de :

$\gamma ={\frac {1}{{\sqrt {(}}1-{\frac {16^{2}}{300000^{2}}})}}={\frac {1}{0,99999999857777777676}}=1,00000000142222222526$

E o fator de mistura entre tempo e espaço na transformação de Lorentz (o termo que multiplica x na coordenada de tempo do sistema em movimento, dado acima) seria de :

${\frac {v}{c^{2}}}={\frac {16}{300000^{2}}}=0,00000000017777777777$

Ver também

• Teorema de Stokes
• Teorema da Divergência
• Campo escalar
• Campo vetorial
• Integração vetorial
• Identidades de Green
• Integral de linha
• Integral de superfície
• Gradiente
• Divergente
• Rotacional
• Laplaciano

Referências

Fontes adicionais

• Crowe, Michael J. (1967). A History of Vector Analysis. The Evolution of the Idea of a Vectorial System (em inglês). [S.l.]: Dover Publications; Reprint edition. ISBN 0-486-67910-1 
• Schey, H. M. (2005). Div Grad Curl and all that. An informal text on vector calculus (em inglês). [S.l.]: W. W. Norton & Company. ISBN 0-393-92516-1 
• Marsden, J.E. (1976). Vector Calculus (em inglês). [S.l.]: W. H. Freeman & Company. ISBN 0-7167-0462-5 
• Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.