Cálculo variacional

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico

O cálculo de variações é um problema matemático que consiste em buscar máximos e mínimos (ou, mais geralmente, extremos relativos) de funções contínuas definidas sobre algum espaço funcional. Constituem uma generalização do cálculo elementar de máximos e mínimos de funções reais de uma variável. Ao contrário deste, o cálculo das variações lida com os funcionais, enquanto o cálculo ordinário trata de funções. Funcionais podem, por exemplo, ser formados por integrais envolvendo uma função incógnita e suas derivadas. O interesse está em funções extremas - aquelas que fazem o funcional atingir um valor máximo ou mínimo - ou de funções fixas - aquelas onde a taxa de variação do funcional é precisamente zero.

Talvez o exemplo mais simples seja o de encontrar a curva com o menor comprimento possível ligando dois pontos. Se não houver restrições, a solução é (obviamente) uma linha reta ligando estes pontos. No entanto, se as possibilidades para esta curva estiverem restritas a uma determinada superfície no espaço, então a solução é menos óbvia e, possivelmente, muitas soluções podem existir. Tais soluções são conhecidas como geodésicas. Um problema relacionado a este é representado pelo princípio de Fermat: a luz segue o caminho de menor comprimento óptico ligando dois pontos, onde o comprimento óptico depende do material de que é composto o meio. Um conceito correspondente em mecânica é o princípio da mínima ação.

Formulação geral

Um dos problemas típicos em cálculo diferencial é o de encontrar o valor de $x$ para o qual uma dada função $f(x)$ alcança um valor extremo (máximo ou mínimo). No cálculo de variações, o problema em questão é encontrar uma função $f(x)$ para a qual um funcional $I[f]$ atinge um valor extremo. O funcional $I[f]$ é composto por uma integral que depende de $x$, da função $f(x)$ e algumas de suas derivadas.

$I[f]=\int _{a}^{b}-h(x,f(x),f'(x),...)\,dx$

Onde a função $f(x)$ pertence a algum espaço de funções (espaço de Banach, espaço de Hilbert), e tanto ela como suas derivadas podem ter restrições.

Esta fórmula integral pode ser mais complicada permitindo a $x$ ser um vetor, e portanto incluindo derivadas parciais para $f$.

Em casos mais simples, a resolução do problema pode ser reduzida a resolução da Equação de Euler na forma:

${\frac {\partial h}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial h}{\partial f'}}\right)=0$

Problemas históricos

Problema Isoperimétrico

Qual é a área máxima que pode cercar-se com uma curva de comprimento especificado?

Exemplo: Sejam dois pontos $A=(a,0),B=(b,0)$ sobre o eixo x, sendo a distância entre eles estabelecida. Ou seja, $AB=l$. O problema de haver uma curva que maximize a área entre ela e o eixo x seria:

Haverá uma função $f(x)$ de modo que,

$I[f]=\int _{a}^{b}f(x)dx=$ max

com as restrições

$G[f]=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx=l$ (comprimento de arco)

$f(a)=f(b)=0$

Braquistócrona

O problema da curva braquistócrona remonta a Johann Bernoulli (1696). Se refere a encontrar uma curva no plano cartesiano que vá do ponto $P=(x_{0},y_{0})$ a origem de modo que um ponto material que desliza sem fricção sobre ela tarda o menor tempo possível em ir de $P$ a origem. Usando princípios de mecânica clássica o problema pode formular-se como,

$T[f]=\int _{0}^{x_{0}}{\frac {\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}\ dx=$ min

onde g é a gravidade e as restrições são, $f(0)=0$, $f(x_{0})=y_{0}$. Há de se notar que em $x=x_{0}$ existe uma singularidade.

Ver também

• Equação de Euler-Lagrange.
• Princípio de Hamilton
• Lagrangiana
• Hamiltoniano
• Catenóide
• Braquistócrona
• Geodésica