Pi

 Nota: Este artigo é sobre a constante matemática. Para letra graga, veja Π. Para o estado brasileiro, veja Piauí. Para outros significados, veja PI.

Parte de uma série de artigos sobre:
a constante matemática π
3.1415926535897932384626433...
Utilização
Área do círculo Circunferência Uso em outras fórmulas
Propriedades
Irracionalidade Transcendência
Valor
Menor que 22/7 Aproximações Memorização
Pessoas
Arquimedes Liu Hui Tsu Ch'ung Chih Ariabata Madhava Alcaxi Ludolph van Ceulen François Viète Seki Takakazu William Jones John Machin William Shanks Srinivāsa Rāmānujan John Wrench Yasumasa Kanada
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Tópicos relacionados
Quadratura do círculo Problema de Basileia Seis noves em pi

O número π (pronuncia-se [pi]) é uma constante matemática que é razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro, aproximadamente igual a 3,14159. O número π aparece em diversas fórmulas matemáticas e físicas. É um número irracional, que significa que não pode ser expresso como a razão de dois inteiros, por mais que frações como ${\tfrac {22}{7}}$ são comumente utilizadas para ter um valor aproximado. Consequentemente, sua representação decimal nunca acaba, nem entra num padrão que se repete permanentemente. Também é um número transcendente, ou seja, não é a solução de uma equação envolva apenas infinitas somas, produtos, potências, e inteiros. Este último fato implica que resolver o antigo problema da quadratura do círculo com régua e compasso é impossível. Os dígitos decimais de π são aparentemente distribuídos aleatoriamente, mas nenhuma prova para essa conjetura foi encontrada.

Por milhares de anos, matemáticos tentaram expandir seus conhecimentos sobre π, às vezes computando o seu valor a um alto nível de acuracidade. Civilizações antigas, incluindo os egípcios e os babilônicos, exigiam aproximações bastante precisas de π para cálculos práticos. Aproximadamente 250 a.C., o matemático grego Archimedes criou um algoritmo para aproximar π com uma precisão arbitrária. No século V d.C., matemáticos chineses aproximaram π a sete dígitos, enquanto os matemáticos indianos fizeram uma aproximação de cinco dígitos, ambos utilizando técnicas geométricas. A primeira fórmula computacional, baseado numa série infinita, foi descoberta um milênio depois. O primeiro uso da letra π para representar a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro foi o matemático galês William Jones em 1706.

A invenção do cálculo logo levou à computação de centenas de dígitos de π, o suficiente para todas as computações científicas práticas. No entanto, nos séculos XX e XXI, matemáticos e cientistas da computação buscaram novas abordagens que, combinadas com o aumento da potência computacional, estenderam a representação decimal de π para muitos trilhões de dígitos. Essas computações são motivados pelo desenvolvimento de algoritmos eficientes para calcular séries numéricas, bem como pela busca humana por quebrar recordes. Os extensos cálculos envolvidos também foram usados para testar supercomputadores, bem como para testar o hardware de computadores de consumidores.

Pela sua definição estar relacionada à circunferência, π é encontrado em muitas fórmulas de trigonometria e geometria, especialmente aquelas relacionadas a circunferências, elipses e esferas. A constante pode ser encontrada também em fórmulas de outros tópicos da ciência, como cosmologia, fractais, termodinâmica, mecânica e eletromagnetismo. Também aparece em áreas pouco relacionadas à geometria, como teoria dos números e estatística, e na análise matemática moderna pode ser definido sem qualquer referência à geometria. A ubiquidade de π faz com que seja uma das constantes matemáticas mais amplamente conhecidas dentro e fora da ciência. Vários livros dedicados a π foram publicados, e cálculos de recorde dos dígitos de π frequentemente resultam em manchetes de notícias.

Notação

Os primeiros a utilizarem a letra grega $\pi$ foram os matemáticos ingleses, mas para designar a circunferência de um círculo. O primeiro a utilizar a definição atual foi William Jones. Entretanto foi só após Leonhard Euler utilizá-la que houve aceitação da notação pela comunidade científica.

Valor de π

O valor de $\pi$ pertence aos números irracionais. Para a maioria dos cálculos simples é comum aproximar ${\pi }$ por 3,14. Uma boa parte das calculadoras científicas de 8 dígitos aproxima $\pi$ por 3,1415926. Para calcular rotas de navegações interplanetárias, a NASA utiliza $\pi \approx 3,141592653589793$ (com 15 casas decimais). Para calcular um círculo com 46 bilhões de anos-luz de raio em volta do universo observável, seria suficiente uma aproximação de $\pi$ com 40 casas decimais para garantir precisão de 1 átomo de hidrogênio.

Um engenheiro japonês e um estudante americano de Ciência da computação calcularam, usando um computador com doze núcleos físicos, cinco trilhões de dígitos, o equivalente a 6 terabytes de dados.

Aproximação do número pi até a quadrigentésima (400^a) casa decimal: ${\pi }$ = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094.

Aproximações para π

Desde a antiguidade foram encontradas várias aproximações de $\pi$ para o cálculo da área do círculo. Entre os egípcios, por exemplo no papiro de Ahmes, o valor atribuído a $\pi$ seria $\left({\frac {4}{3}}\right)^{4},$ embora também seja encontrado o valor $3{\frac {1}{6}}.$ Na Bíblia (1 Reis 7:23), é possível encontrar que os hebreus utilizavam o valor $3$ como aproximação de $\pi$. Os chineses c. 2.000 a.e.C. usou π = 3 Entre os babilônios, era comum o uso do valor $3$ para calcular a área do círculo, apesar de o valor $3{\frac {1}{8}}$ já ser conhecido como aproximação.

Métodos de cálculo

Existem muitas formas de se obter o valor aproximado de $\pi$ através de métodos numéricos. Consideramos que $\pi$ é um número irracional e transcendente, de forma que os métodos de cálculo sempre envolvem aproximações, aproximações sucessivas e/ou séries infinitas de somas, multiplicações e divisões.

Método clássico

Método clássico para o cálculo de $\pi$

A primeira tentativa rigorosa de encontrar $\pi$ deve-se a um dos mais conhecidos matemáticos da antiguidade, Arquimedes. Pela construção de polígonos inscrito e circunscrito de 96 lados, encontrou que pi seria um valor entre 223/71 e 22/7, ou seja, estaria aproximadamente entre 3,1408 e 3,1429. Tal método é o chamado método clássico para cálculo de pi.

Ptolomeu, que viveu em Alexandria aproximadamente no século III d.C., calculou pi tomando por base um polígono de 720 lados inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio. Seu valor foi aproximadamente 3,1416. Considerando o que sabemos atualmente, sua aproximação foi bem melhor que a de Arquimedes.

A busca pelo valor de ${\pi }$ chegou à China, onde Liu Hui, um copiador de livros, conseguiu obter o valor 3,14159 com um polígono de 3 072 lados. Mas só no final do século V que o matemático Tsu Ch'ung Chih chegou a uma aproximação melhor: entre 3,1415926 e 3,1415927.

Nesta mesma época, o matemático hindu Aryabhata deixou registrado em versos num livro a seguinte afirmação: "Some-se 4 a 100, multiplique-se por 8 e some-se 62 000. O resultado é aproximadamente uma circunferência de diâmetro 20 000".

Analisando matematicamente e considerando a equação citada anteriormente de $c=\pi \cdot d:$

$(4+100)\cdot 8+62000\approx \pi \cdot 20000\Rightarrow$

$104\cdot 8+62000\approx \pi \cdot 20000\Rightarrow$

$832+62000\approx \pi \cdot 20000\Rightarrow$

$62832\approx \pi \cdot 20000\Rightarrow$

${62832 \over 20000}\approx \pi$

O valor de ${\pi },$ portanto, seria 3,1416. Obviamente, quanto maior o número de casas decimais, melhor a aproximação do valor real de pi. Mas devemos considerar que, na época, isso não era algo fácil de se calcular.

O maior cálculo de casas decimais até o século XV foi 3,1415926535897932 feito pelo matemático árabe Ghiyath al-Kashi. O matemático holandês Ludolph van Ceulen, no final do século XVI, calculou um valor de ${\pi }$ com 35 casas decimais, começando com um polígono de 15 lados, dobrando o número de lados 37 vezes, e, logo em seguida, aumentando o número de lados. Por curiosidade, a sua esposa mandou gravar no seu túmulo o valor de ${\pi }$com as supracitadas 35 casas decimais.

Hoje em dia é relativamente mais fácil, com os computadores modernos que calculam até trilhões de casas decimais para ${\pi }.$

Uma aproximação de ${\pi }$ que apresenta diferença de aproximadamente $2{\text{,}}7\times 10^{-7}$ é a seguinte:

${355 \over 113}\approx \pi$

Método de Arquimedes

Baseado no método de Arquimedes é possível formular uma representação matemática para o cálculo de pi, eficiente para um polígono de qualquer número de lados.

Considerando um polígono de n lados e raio 1, temos a medida do lado expressa pela lei dos cossenos:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$

Temos formado um triângulo isósceles, de base $l$ e lados $r=1$:

$l^{2}=r^{2}+r^{2}-2r^{2}\cos \alpha$

$l^{2}=1^{2}+1^{2}-2\cos \alpha$

$l^{2}=2-2\cos \alpha$

$l={\sqrt {2-2\cos \alpha }}$

O ângulo do triângulo isósceles no centro do polígono é expresso por 360º dividido pelo número de lados $n$, portanto:

$l={\sqrt {2-2\cos \left({\frac {360}{n}}\right)}}$

Dessa forma, o perímetro do polígono será de:

$p=n.{\sqrt {2-2\cos \left({\frac {360}{n}}\right)}}$

Como $\pi$ é representado pelo perímetro do polígono dividido pelo seu diâmetro, temos:

$\pi ={\frac {n.{\sqrt {2-2\cos \left({\frac {360}{n}}\right)}}}{2}}$

Aplicando transformações trigonométricas, a fórmula acima pode ser simplificada para:

$\pi =n.\operatorname {sen} \left({\frac {180}{n}}\right)$

Métodos estatísticos

Método Estatístico de Monte-Carlo para o Cálculo de $\pi .$

Outro método interessante para o cálculo de $\pi$ pode ser realizado através de Monte Carlo utilizando-se a estatística. Nesse método são sorteados aleatoriamente pontos num quadrado compreendido entre as coordenadas $O=(0,0)$ e $B=(1,1).$ Em seguida calcula-se a distância dos pontos sorteados $c_{n}=(x_{n},y_{n})$ até a origem $O=(0,0)$. $\pi$ pode ser aproximado através do número de pontos inscritos na circunferência de raio 1 em relação ao total de pontos sorteados no quadrado de lado 1.

No exemplo ao lado, $\pi \cong 4\cdot 386/500=3,088$.

Outro método que utiliza a estatística de Monte Carlo para o cálculo de $\pi$ é conhecido como Agulha de Buffon, proposto no século XVIII pelo naturalista francês Georges de Buffon.

Métodos de séries infinitas

O francês François Viète, estudando o método de Arquimedes, desenvolveu a seguinte série para o cálculo de $\pi$ em 1593:

${\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \dots ={\frac {2}{\pi }}$

O matemático John Wallis, desenvolveu outra série infinita em 1655:

${\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \dots ={\frac {\pi }{2}}.$

Outra série conhecida para o cálculo de $\pi$ foi desenvolvida por Leibniz em 1682, utilizando-se da série de Taylor para a função $\arctan(x)$, tomando-se $x=1$ e, por conseguinte, $\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}$.

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\dots ={\frac {\pi }{4}}.$

Johann Heinrich Lambert publicou, em 1770, uma série na forma de divisões infinitas:

${\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1^{2}}{3+{\frac {2^{2}}{5+{\frac {3^{2}}{7+{\frac {4^{2}}{9+{\frac {5^{2}}{11+{\frac {6^{2}}{\cdots }}}}}}}}}}}}$

Métodos de cálculo numérico

Um dos estudos dos métodos de cálculo numérico é obter a raiz de uma função. Quando consideramos a função $f(x)=\sin(x)$ sabemos que $f(\pi )=\sin(\pi )=0.$ Os principais métodos do calculo numérico para a obtenção da raiz da função $f(x)$ podem incluir uma busca binária no intervalo $[a,b]$ onde se sabemos que $f(3)=\sin(3)>0$ $(a=3)$ e $f(4)=\sin(4)<0$ $(b=4)$ então podemos aprimorar o intervalo para:

$\left[a,{{a+b} \over 2}\right],$ se $f\left({{a+b} \over 2}\right)<0$ e

$\left[{{a+b} \over 2},b\right],$ se $f\left({{a+b} \over 2}\right)\geq 0$

Partindo-se do intervalo $\pi \in [3,4]$ esse método permite refiná-lo sucessivamente para os intervalos

1. $\pi \in [3;3,5]$
2. $\pi \in [3;3,25]$
3. $\pi \in [3,125;3,25]$
4. $\pi \in [3,125;3,1875]$

e assim sucessivamente.

Ainda no cálculo numérico, o método de Newton-Raphson, mais eficiente que uma busca binária permite obter aproximações sucessivas para a raiz da função $f(x)=\sin(x)$ utilizando um ponto inicial $x_{0}$ exigindo que conheçamos $f'(x)=\cos(x).$

Tomando-se $x_{0}=3$ e considerando-se que por Newton-Rapson

$x_{i+1}=x_{i}-{{f(x_{i})} \over {f'(x_{i})}}=x_{i}-{{\sin(x_{i})} \over {\cos(x_{i})}}=x_{i}-{\tan(x_{i})},$

temos a seguinte série para $\pi$

1. $x_{0}=3$
2. $x_{1}=3,14254654$
3. $x_{2}=3,14159265$

Um método otimizado de cálculo numérico para o cálculo de $\pi$ através das raízes de uma função pode ser obtido pela simplificação

$x_{i+1}=x_{i}+\sin(x_{i}),$

pois na proximidade de $\pi ,$ $\cos(x_{i})\cong -1.$

Notemos que nesses algoritmos de cálculo numérico considera-se $\pi$ como transcendental, uma vez que a função $f(x)=\sin(x)$ não pode ser escrita através de um polinômio finito de coeficientes racionais; a função $f(x)=\sin(x)$ é obtida através da expansão da série de Taylor.

Algoritmo de Gauss-Legendre

O algoritmo de Gauss-Legendre, que é um método de cálculo numérico de aproximações sucessivas, foi utilizado por Yasumasa Kanada para obter o recorde mundial no cálculo de casas decimais de pi em 2002.

Método de cálculo isolado das decimais ${\pi }$

Em 1995, David Harold Bailey, em colaboração com Peter Borwein e Simon Plouffe, descobriu uma fórmula de cálculo de ${\pi }$, uma soma infinita (frequentemente chamada fórmula BBP):

$\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)$

Essa fórmula permite calcular facilmente a enésima decimal binária ou hexadecimal de ${\pi }$sem ter que calcular as decimais precedentes. O sítio de Bailey contém sua derivação e implementação em diversas linguagens de programação. Graças a uma fórmula derivada da fórmula BBP, o 4 000 000 000 000 000° algarismo de $\pi$ em base 2 foi obtido em 2001.

Grandezas que dependem de π

Várias relações matemáticas dependem do conhecimento da constante $\pi ,$ as mais conhecidas a nível didático são:

• Perímetro de uma circunferência: $C=2\cdot \pi \cdot r$
• Área do círculo: $A=\pi \cdot r^{2}$
• Volume de uma esfera: $V={4 \over 3}\cdot \pi \cdot r^{3}$

Como a superfície da esfera é $S=4\pi r^{2}$, $\pi$ também está nas fórmulas gravitacionais e do eletromagnetismo da física $\left(F={1 \over 4\cdot \pi \cdot \epsilon _{0}}\cdot {Q\cdot q \over d^{2}}\right)$.

Irracionalidade e transcendência de π

Ver artigos principais: Prova da irracionalidade de π e teorema de Lindemann–Weierstrass

O perímetro da circunferência é 3,1416... vezes maior que o diâmetro, sendo a razão perímetro/diâmetro o $\pi$ (pi)

Johann Heinrich Lambert demonstrou em 1761 que se $x$ é racional e diferente de $0$, então nem $\tan(x)$ nem $e^{x}$ podem ser racionais. Como $\tan \left({\frac {\pi }{4}}\right)=1$, segue-se que ${\frac {\pi }{4}}$ é irracional, e portanto que $\pi$ é irracional.

Lindemann provou em 1882 que $\pi$ é transcendente utilizando o método utilizado por Hermite para provar que e é transcendente. Isto significa que $\pi$ não pode ser a solução de nenhuma equação algébrica de coeficientes racionais. A transcendência de ${\pi }$ estabelece a impossibilidade de se resolver o problema da quadratura do círculo: é impossível construir, somente com régua e um compasso euclideanos, um quadrado cuja área seja rigorosamente igual à área de um determinado círculo.

Questões sem resposta

A questão em aberto mais importante é a de saber se ${\pi }$ é um número normal, isto é, se qualquer sucessão de algarismos aparece nas decimais de ${\pi },$ como seria de se esperar em uma sequência infinita e completamente aleatória de algarismos. Isso deveria ser verdadeiro em qualquer base, e não somente na base 10.

Também não se sabe que algarismos aparecem um número infinito de vezes na constituição de ${\pi }.$

Bailey e Crandall demonstraram em 2000 que a existência da fórmula Bailey-Borwein-Plouffe mencionada acima e de fórmulas similares implicam a normalidade de ${\pi }$ em base 2.

Cronologia do cálculo de π

Ver artigo principal: Cronologia do cálculo de pi

Na tabela a seguir encontram-se listadas distintas precisões alcançadas no cálculo do valor de pi, permitindo ver a evolução ao longo do período histórico.

Matemático	Ano	Casas Decimais
Egípcios (Papiro de Rhind)	1650 A.C.	1
Arquimedes	250 A.C.	3
Zu Chongzhi	480 D.C.	7
Ghiyath al-Kashi	1424	16
Ludolph van Ceulen	1596	35
Georg von Vega	1794	126
Gauss	1824	200
William Shanks	1874	527
Levi B. Smith, John W. Wrench	1949	1 120
Daniel Shanks, John W. Wrench	1961	100 265
Jean Guilloud, M. Bouyer	1973	1 000 000
Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura	1982	16 777 206
Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo	1987	134 217 700
David e Gregory Chudnovsky	1989	1 011 196 691
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi	1997	51 539 600 000
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi	1999	206 158 430 000
Yasumasa Kanada	2002	1 241 100 000 000
Daisuke Takahashi	2009	2 576 980 370 000
Fabrice Bellard	2010	2 699 999 990 000
Shigeru Kondo & Alexander Yee	2010	5 000 000 000 000
Shigeru Kondo & Alexander Yee	2011	10 000 000 000 050
Shigeru Kondo	2013	12 100 000 000 050
Emma Haruka Iwao	2019	31 415 926 535 897

Ver também

• Aproximações de π
• Cronologia do cálculo de pi

Ligações externas

• Curiosidades da Matemática - Evolução cronológica do cálculo de pi
• pi to 10,000 digits - The University of Utah (em inglês)
• Pi, o mais notável símbolo matemático.