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O número $π$ (pronuncia-se [pi]) é uma constante matemática que é razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro, aproximadamente igual a 3,14159. O número $π$ aparece em diversas fórmulas matemáticas e físicas. É um número irracional, que significa que não pode ser expresso como a razão de dois inteiros, por mais que frações como $227$ são comumente utilizadas para ter um valor aproximado. Consequentemente, sua representação decimal nunca acaba, nem entra num padrão que se repete permanentemente. Também é um número transcendente, ou seja, não é a solução de uma equação envolva apenas infinitas somas, produtos, potências, e inteiros. Este último fato implica que resolver o antigo problema da quadratura do círculo com régua e compasso é impossível. Os dígitos decimais de $π$ são aparentemente distribuídos aleatoriamente,^{[nota 1]} mas nenhuma prova para essa conjetura foi encontrada.

Por milhares de anos, matemáticos tentaram expandir seus conhecimentos sobre $π$ , às vezes computando o seu valor a um alto nível de acuracidade. Civilizações antigas, incluindo os egípcios e os babilônicos, exigiam aproximações bastante precisas de $π$ para cálculos práticos. Aproximadamente 250 a.C., o matemático grego Archimedes criou um algoritmo para aproximar $π$ com uma precisão arbitrária. No século V d.C., matemáticos chineses aproximaram $π$ a sete dígitos, enquanto os matemáticos indianos fizeram uma aproximação de cinco dígitos, ambos utilizando técnicas geométricas. A primeira fórmula computacional, baseado numa série infinita, foi descoberta um milênio depois.^[1]^[2] O primeiro uso da letra π para representar a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro foi o matemático galês William Jones em 1706.^[3]

A invenção do cálculo logo levou à computação de centenas de dígitos de $π$ , o suficiente para todas as computações científicas práticas. No entanto, nos séculos XX e XXI, matemáticos e cientistas da computação buscaram novas abordagens que, combinadas com o aumento da potência computacional, estenderam a representação decimal de $π$ para muitos trilhões de dígitos.^[4]^[5] Essas computações são motivados pelo desenvolvimento de algoritmos eficientes para calcular séries numéricas, bem como pela busca humana por quebrar recordes.^[6]^[7] Os extensos cálculos envolvidos também foram usados para testar supercomputadores, bem como para testar o hardware de computadores de consumidores.

Pela sua definição estar relacionada à circunferência, $π$ é encontrado em muitas fórmulas de trigonometria e geometria, especialmente aquelas relacionadas a circunferências, elipses e esferas. A constante pode ser encontrada também em fórmulas de outros tópicos da ciência, como cosmologia, fractais, termodinâmica, mecânica e eletromagnetismo. Também aparece em áreas pouco relacionadas à geometria, como teoria dos números e estatística, e na análise matemática moderna pode ser definido sem qualquer referência à geometria. A ubiquidade de $π$ faz com que seja uma das constantes matemáticas mais amplamente conhecidas dentro e fora da ciência. Vários livros dedicados a $π$ foram publicados, e cálculos de recorde dos dígitos de $π$ frequentemente resultam em manchetes de notícias.

Fundamentos[editar | editar código-fonte]

Nome[editar | editar código-fonte]

O símbolo utilizado pelos matemáticos para representar a razão entre o comprimento de uma circunferência pelo seu diâmetro é a letra grega $π$ minúscula, às vezes escrito como pi.^[8] Em português, $π$ é pronunciado como [pi].^[9] Em usos matemáticos, a letra $π$ minúscula é diferenciada de sua forma maiúscula $Π$ , utilizado para denotar o produtório, análogo a como $Σ$ é utilizado para denotar o somatório.

A escolha do símbolo $π$ é discutia na seção Adoção do símbolo $π$ .

Definição[editar | editar código-fonte]

$π$ é comumente definido como a razão do comprimento de uma circunferência $C$ pelo seu diâmetro $d$ :^[10]

\pi ={\frac {C}{d}}

A razão ${\textstyle {\frac {C}{d}}}$ é constante, independente do tamanho da circunferência. Por exemplo, se uma circunferência possui o dobro do diâmetro de outra circunferência, o seu comprimento também será o dobro, preservando a razão mencionada. Esta definição de $π$ implica o uso de geometria (euclidiana) plana; por mais que a noção de circunferência pode ser estendida para qualquer geometria (não euclidiana) curva, esse não satisfazem a fórmula ${\textstyle \pi ={\frac {C}{d}}}$ .^[10]

Aqui, o comprimento de uma circunferência é o comprimento do arco ao redor do perímetro da circunferência, uma quantidade que pode ser formalmente definida independentemente da geometria utilizando limites — um conceito do cálculo.^[11] Por exemplo, pode-se calcular diretamente o comprimento do arco da metade superior da circunferência unitária, dado em coordenadas cartesianas pela equação $x 2 + y 2 = 1$ , como a integral:^[12]

\pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.

Uma integral como essa foi adotada como a definição para $π$ por Karl Weierstrass, quem a definiu diretamente como uma integral em 1841.^{[nota 2]}

Integração não é mais usualmente utilizado para a primeira definição analítica, porque, conforme Remmert explica, cálculo diferencial precede tipicamente o cálculo integral nos currículos das universidades, então é desejado uma definição para $π$ que não necessite utilizar integrais.^[12] Uma dessas definições, de Richard Baltzer^[13] e popularizado por Edmund Landau,^[14] é a seguinte: $π$ é o dobro do menor número positivo no qual seu cosseno é igual a 0.^[10]^[12]^[15] $π$ também é o menor número positivo no qual o seno é igual a zero, e a diferença entre duas raízes consecutivas da função seno e cosseno. O cosseno e o seno podem ser definidos independentemente da geometria, como uma série de potências^[16] ou a solução de uma equação diferencial.^[15]

Semelhantemente, $π$ pode ser definido utilizando as propriedades das função exponencial complexa $exp z$ , de uma variável complexa $z$ . Como o cosseno, a função exponencial complexa pode ser definida de diversas maneiras diferentes. O conjunto de números complexos no qual $exp z$ é igual a um é então uma progressão aritmética (imaginária) da forma:

\{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki\mid k\in \mathbb {Z} \}

e há um único número real positivo $π$ com essa propriedade.^[17]^[18]

Uma variação da mesma, utilizando conceitos matemáticos sofisticados de topologia e álgebra, é o seguinte teorema:^[19] há um único (Salvo por automorfismo) isomorfismo contínuo do grupo $R / Z$ de números reais sob a adição módulo inteiro (o grupo circular), no grupo multiplicativo de números complexos de valor absoluto um. O número $π$ é definido como metade da magnitude da derivada deste homomorfismo.^[20]

Irracionalidade e normalidade[editar | editar código-fonte]

$π$ é um número irracional, o que significa que não pode ser escrito como uma razão de dois números inteiros. Frações como $227$ e $355113$ são usualmente utilizadas para aproximar $π$ , mas nenhuma fração comum (razão entre dois números inteiros) pode expressar seu exato valor.^[21] Visto que $π$ é irracional, ele possui um infinito número de dígitos em sua representação decimal, nem é uma dízima periódica. Há diversas provas da irracionalidade de $π$ ; elas geralmente requerem cálculo e utilizam a técnica de redução ao absurdo. O grau no qual $π$ pode ser aproximado por números racionais (chamado de medida de irracionalidade) não é precisamente conhecido; é estimado que seja maior que a medida de $e$ ou $ln 2$ , mas menor que a medida dos números de Liouville.^[22]

Os dígitos de $π$ não aparentam possuir nenhum tipo de padrão, passando em testes de aleatoriedade estatística, incluindo o teste de normalidade; um número de comprimento infinito é dito normal quando em todas as sequências de dígitos (de comprimento qualquer) aparecem com a mesma frequência. A conjectura de que $π$ seja normal não foi provada nem refutada.^[23]

Desde a chegada dos computadores, inúmeros dígitos estiveram disponíveis para realizar análise estatística. Yasumasa Kanada realizou uma análise estatística detalhada nos dígitos decimais de $π$ , encontrando consistência na normalidade; por exemplo, a frequência dos dígitos de 0 a 9 foram submetidos a testes de significância estatística, e nenhum padrão foi encontrado.^[24] Qualquer sequência aleatória de dígitos contém subsequências de comprimento arbitrário que parecem não aleatórios, pelo teorema do macaco infinito. Portanto, porque a sequência de dígitos de $π$ passa em testes estatísticos de aleatoriedade, ele contém algumas sequências de dígitos que aparentam não ser aleatórias, como a sequência de seis noves consecutivos que começa na 762.ª casa decimal da representação decimal de $π$ .^[25] Isto também é conhecido como o "ponto de Freynman" no "folclore matemático", em homenagem a Richard Feynman, porém não há nenhuma ligação conhecida com Feynman.

Transcendência[editar | editar código-fonte]

Em adição de ser irracional, $π$ também é um número transcendente, o que significa que não é a solução de nenhuma equação polinomial não constante com coeficientes racionais, como ${\textstyle {\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0}$ .^[26]^{[nota 3]}

A transcendência de $π$ tem duas importantes consequências: a primeira é que $π$ não pode ser expresso utilizando uma combinação finita de raízes quadradas ou raízes $n$ -ésimas (como ${\sqrt[{3}]{31}}$ ou ${\sqrt {10}}$ ). A segunda é que, como não é possível construir [en] números transcendentes com régua e compasso, a quadratura do círculo é impossível. Noutras palavras, é impossível construir, utilizando apenas régua e compasso, um quadrado cuja área é exatamente igual à área de um dado círculo.^[27] A quadratura do círculo era um dos importantes problemas da Antiguidade Clássica.^[28] Matemáticos amadores da modernidade às vezes tentam quadrar o círculo e reivindicam sucesso — mesmo sendo de fato algo matematicamente impossível.^[29]^[30]

Frações contínuas[editar | editar código-fonte]

Como é irracional, $π$ não pode ser representado como uma fração comum. Mas todo número, incluindo $π$ , pode ser representado como uma série infinita de frações uma dentro da outra, chamada de fração contínua:

\pi =3+\textstyle {\cfrac {1}{7+\textstyle {\cfrac {1}{15+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{292+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}

Truncando a fração contínua em qualquer ponto produz uma aproximação racional para $π$ ; as quatro primeiro são $3$ , $227$ , $333106$ , e $355113$ . Estes números estão entre as aproximações históricas mais conhecidas e mais amplamente utilizadas da constante. Cada aproximação gerada desta forma se aproxima cada vez mais de $π$ ; ou seja, cada fração é mais próxima de $π$ que uma de denominador igual ou menor.^[31] Visto que $π$ é transcendente, por definição não é algébrico e não pode ser um irracional quadrático. Portanto, não há uma fração contínua periódica para $π$ . Por mais que fração contínua simples (mostrada acima) não demonstra nenhum padrão óbvio,^[32]^[33] diversas frações contínuas generalizadas apresentam, como, por exemplo:^[34]

{\begin{aligned}\pi &=3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}

A fração do meio dessas se deve ao matemático de meados do século XVII William Brouncker, veja § Fórmula de Brouncker.

Valores aproximados e dígitos[editar | editar código-fonte]

Algumas Aproximações de pi incluem:

Inteiros: 3
Frações: Frações aproximadas incluem (em ordem crescente de acurácia) 227, 333106, 355113, 5216316604, 10399333102, 10434833215, e 24585092278256779.^[31] (Lista são termos selecionados de OEIS: A063674 e OEIS: A063673.)
Dígitos: Os primeiros 50 dígitos decimais são 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510...^[35] (ver OEIS: A000796)

Dígitos noutras bases

Os primeiros 48 dígitos binários (base 2, chamado de bits) são 11.001001000011111101101010100010001000010110100011... (ver OEIS: A004601)
Os primeiros 38 dígitos em ternário (base 3) são 10,0102110122220102110021111102212222201... (ver OEIS: A004602)
Os primeiros 20 dígitos em hexadecimal (base 16) são 3,243F6A8885A308D31319...^[36] (ver OEIS: A062964)
Os primeiros 5 dígitos em sexagesimal (base 60) são 3;8,29,44,0,47^[37] (ver OEIS: A060707)

Números complexos e identidade de Euler[editar | editar código-fonte]

Qualquer número complexo, consideremos $z$ pode ser expresso utilizando um par de números reais. No sistema de coordenadas polares, um número (raio ou $r$ ) é utilizado para representar a distância de $z$ da origem do plano complexo, e o outro (ângulo ou $φ$ ) é a rotação do eixo dos positivos reais:^[38]

z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ),

onde $i$ é a unidade imaginária que satisfaz $i 2 = -1$ . A frequente aparição de $π$ na análise complexa pode ser relacionada ao comportamento da função exponencial de uma variável complexa, descrita pela fórmula de Euler

e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,

onde $e$ é a base do logaritmo natural. Esta fórmula estabelece uma correspondência entre as potências imaginárias de $e$ e pontos no círculo unitário centrado na origem do plano complexo. Quando $φ = π$ , o resultado é a identidade de Euler, considerado uma beleza da matemática por mostrar uma profunda conexão entre cinco importantes constantes matemáticas:^[39]^[40]

e^{i\pi }+1=0.

Existem $n$ diferentes números complexos $z$ que satisfaçam $z n = 1$ , sendo chamadas de raízes $n$ -ésimas da unidade,^[41] dadas pela fórmula:

e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).

História[editar | editar código-fonte]

Antiguidade[editar | editar código-fonte]

As aproximações mais conhecidas de $π$ datadas do primeiro milênio a.C. tinha uma precisão de duas casas decimais; isto foi aperfeiçoado pelos matemáticos chineses, em particular na metade do primeiro milênio, a com precisão de sete casas decimais. Após isso, nenhum progresso adicional foi feito até o final do período medieval.

As primeiras aproximações de $π$ foram encontradas na Babilônia e Egito, ambos com um porcento de diferença do valor verdadeiro. Na Babilônia, uma Tábua de argila datada de 1900–1600 a.C. tem uma afirmação geométrica que, por implicação, trata $π$ como $258 = 3,125$ .^[42] No Egito, o Papiro de Rhind, datado de aproximadamente1650 a.C., mas copiada de um documento datado de 1850 a.C., tinha uma fórmula para a área do círculo que considerava $π$ como ${\textstyle \left({\frac {16}{9}}\right)^{2}\approx 3,16}$ .^[33]^[42] Alguns piramidologistas teorizaram que a Grande Pirâmide de Gizé com proporções relacionadas com $π$ , esta teoria não é amplamente aceita pelos estudiosos.^[43] Nos Shulba Sutras dos matemáticos indianos, datando uma tradição oral do primeiro ou segundo milênio a.C. são fornecidas aproximações interpretadas de várias maneiras como aproximadamente 3,08831, 3,08833, 3,004, 3 ou 3,125.^[44]

Era da aproximação por polígonos[editar | editar código-fonte]

O primeiro registro de um algoritmo para rigorosamente calcular o valor de $π$ foi uma abordagem geométrica usando polígonos, desenvolvido por volta de 250 a.C. pelo matemático grego Arquimedes, implementando o método da exaustão.^[45] Este algoritmo poligonal dominou por mais de mil anos, e, como resultado, $π$ às vezes é referido como a constante de Arquimedes.^[46] Arquimedes computou os limites superior e inferior de $π$ ao desenhar um hexágono dentro e fora duma circunferência, e dobrando sucessivamente o número de lados até alcançar um polígono regular de 96 lados. Ao calcular os perímetros desses polígonos, ele provou que $22371 < π < 227$ (isto é, $3,1408 < π < 3,1429$ ).^[47] O limite superior de Arquimedes de $227$ pode ter causado a crença popular generalizada de que $π$ é igual a $227$ .^[48] Por volta de 150 d.C., o cientista greco-romano Ptolomeu, em Almagesto, deu o valor de 3,1416 a $π$ , que ele pode ter obtido de Arquimedes ou de Apolônio de Perga.^[49]^[50] Matemáticos alcançaram 39 dígitos de $π$ usando algoritmos poligonais em 1630, um recorde foi batido em 1699, quando foi utilizado uma série infinita para alcançar 71 dígitos de $π$ .^[51]

Na China antiga, valores para $π$ incluíam 3,1547 (em torno de 1 d.C.), ${\sqrt {10}}$ (100 d.C., aproximadamente 3,1623), e $14245$ (século III, aproximadamente 3,1556).^[52] Por volta de 265 d.C., o matemático Liu Hui do Reino de Wei criou um algoritmo iterativo baseado em polígono e usou-o com um polígono de 3 072 lados para obter o valor de 3,1416 para $π$ .^[53]^[54] Posteriormente Liu inventou um método mais rápido para calcular $π$ e obteve um valor de 3,14 com um polígono de 96 lados, aproveitando que as diferenças de área de polígonos sucessivos formam uma série geométrica com fator 4.^[53] O matemático chinês Zu Chongzhi, por volta de 480 d.C, calculou que $3,1415926<\pi <3,1415927$ e sugeriu as aproximações ${\textstyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3,14159292035...}$ e ${\textstyle \pi \approx {\frac {22}{7}}=3,142857142857...}$ , os quais ele denominou Milü ("razão próxima") e Yuelü ("razão aproximada"), respectivamente, usando o algoritmo de Liu Hui aplicando num polígono de 12 288 lados. Com um valor correto para seus sete primeiros dígitos decimais, esse valor permaneceu como a aproximação mais precisa de $π$ disponível pelos próximos 800 anos.^[55]

O astrônomo indiano Ariabata usou um valor de 3,1416 em Aryabhatiya (499 d.C.).^[56] Fibonacci em c. 1220 computou 3,1418 usando um método poligonal, de forma independente de Arquimedes.^[57] O autor italiano Dante empregou aparentemente o valor de ${\textstyle 3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}\approx 3,14142}$ .^[57]

O astrônomo persa Alcaxi produziu nove sexagesimais, aproximadamente o equivalente a 16 dígitos decimais, em 1424, usando um polígono com 3 × 2²⁸ lados,^[58]^[59] que permaneceu como o recorde mundial por cerca de 180 anos.^[60] O matemático francês François Viète em 1579 chegou a 9 dígitos com um polígono de 3 × 2¹⁷ lados.^[60] O matemático flandres Adriaan van Roomen chegou a 15 casas decimais em 1593.^[60] Em 1596, o matemático holandês Ludolph van Ceulen atingiu 20 dígitos, um recorde que mais tarde aumentou para 35 dígitos (como resultado, $π$ foi chamado de "número de Ludolph" na Alemanha até o início do século XX).^[61] O cientista holandês Willebrord Snellius atingiu 34 dígitos em 1621,^[62] e o astrônomo Christoph Grienberger chegou a 38 dígitos usando 10⁴⁰ lados.^[63] Christiaan Huygens conseguiu chegar a 10 casas decimais em 1654 usando um método ligeiramente diferente equivalente à extrapolação de Richardson [en].^[64]^[65]

Séries infinitas[editar | editar código-fonte]

O cálculo de $π$ foi revolucionado com o desenvolvimento de técnicas de séries infinitas nos séculos XVI e XVII. Uma série infinita é a soma dos termos de uma sequência infinita. Séries infinitas possibilitou que matemáticos computassem $π$ com muito mais precisão do que Arquimedes e outros que utilizaram técnicas geométricas.^[66] Por mais que séries infinitas foram mais exploradas para $π$ por matemáticos europeus, como James Gregory e Gottfried Wilhelm Leibniz, a abordagem também apareceu na escola de Querala em algum momento do século XIV ou XV.^[67]^[68] Em torno de 1500 d.C., uma descrição escrita duma série infinita que poderia ser utilizada para computar $π$ foi deixada em verso sânscrito em Tantrasamgraha por Nilakantha Somayaji.^[67] As séries foram apresentadas sem provas, mas elas foram apresentadas numa obra posterior, Yuktibhāṣā, em torno de 1530 d.C. Diversas séries infinitas são descritas, incluindo séries para seno (que Nilakantha atribui a Madhava de Sangamagrama), cosseno e arco tangente. Madhava usou uma série infinita para estimar 11 dígitos de $π$ por volta de 1400.^[69]

Em 1593, François Viète publicou o que é conhecido agora como a fórmula de Viète, um produto infinito [en] (em vez de uma soma infinita, que é mais comumente utilizada para calcular $π$ ):^[70]^[71]^[72]

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots

Em 1655, John Wallis publicou o que é conhecido agora como o produto de Wallis, também um produto infinito:^[70]

{\frac {\pi }{2}}=\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\right)\cdot \left({\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\right)\cdot \left({\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\right)\cdot \left({\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\right)\cdots

Um retrato formal de um homem de cabelos compridos. — Isaac Newton usou séries infinitas para computar 15 dígitos de $π$ , escrevendo posteriormente "tenho vergonha de lhe dizer até quantas casas decimais levei esses cálculos".^[73]

Na década de 1660, o cientista inglês Isaac Newton e o matemático Gottfried Wilhelm Leibniz descobriram o cálculo, que levou o desenvolvimento de diversas séries infinitas para aproximar $π$ . O próprio Newton usou uma série de arco seno para computar uma aproximação de 15 dígitos de $π$ em 1665 ou 1666, escrevendo "tenho vergonha de lhe dizer até quantas casas decimais levei esses cálculos, não tendo nada para fazer no momento."^[73]

Em 1671, James Gregory e, de forma independente, Leibniz em 1673, descobriram a expansão das séries de Taylor para arco tangente:^[67]^[74]^[75]

\arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots

Esta série, às vezes chamada de série de Gregory–Leibniz, igual a $π 4$ quando avaliada com $z = 1$ .^[75] No entanto, ela converge de forma inconvenientemente lenta (isto é, se aproxima da resposta bem gradualmente), levando aproximadamente dez vezes mais termos para calcular cada dígito adicional.^[76]

Em 1699, o matemático inglês Abraham Sharp usou a série de Gregory–Leibniz para ${\textstyle z={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ para computar 71 dígitos de $π$ , quebrando o recorde anterior de 39 dígitos, que foi estabelecido com um algoritmo poligonal.^[77]

Em 1706John Machin usou a série de Gregory–Leibniz para gerar um algoritmo que converge muito mais rapidamente:^[3]^[78]^[79]

{\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}.

Machin alcançou 100 dígitos de $π$ com esta fórmula.^[80] Outros matemáticos criaram variantes, agora conhecidas como verificar termo para en:Machin-like formulae, que foram utilizadas para estabelecerem diversos recordes sucessivos para calcular dígitos de $π$ .^[80]^[81]

Isaac Newton alcançoua convergência da série de Gregory–Leibniz em 1684 (numa obra não publicada; outras pessoas descobriram o resultado de forma independente):^[82]

\arctan x={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2})^{3}}}+\cdots

Razão de convergência[editar | editar código-fonte]

Algumas séries infinitas para $π$ convergem mais rápido que outras. Dado à escolha duas séries infinitas para $π$ , matemáticos geralmente escolherão aquela que converge mais rápido, visto que uma convergência mais rápida reduz a quantidade de cálculos necessários para calcular $π$ para uma dada precisão.^[83]^[84] Uma série infinita simples para $π$ é a série de Gregory–Leibniz:^[85]

\pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots

Como os termos desta série infinita são adicionados à soma, o total vai gradualmente se aproximando a $π$ , e — com uma quantidade suficiente de números de termos — pode chegar tão perto de $π$ quanto desejado. No entanto, ela converge lentamente — após 500 mil termos, ela produz apenas cinco dígitos decimais de $π$ corretos.^[86]

Uma série (publicada por Nilakantha no século XV) que converge mais rápido que a série de Gregory–Leibniz é:^[87]^[88]

\pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots

A seguinte tabela compara as taxas de convergência dessas duas séries:

Séries infinitas para $π$	Após 1.º termo	Após 2.º termo	Após 3.º termo	Após 4.º termo	Após 5.º termo	Converge para:
$\pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}+\cdots$	4,0000	2,6666 ...	3,4666 ...	2,8952 ...	3,3396 ...	$π$ = 3,1415 ...
$\pi ={3}+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-\cdots$	3,0000	3,1666 ...	3,1333 ...	3,1452 ...	3,1396 ...	$π$ = 3,1415 ...

Após cinco termos, a soma da série de Gregory-Leibniz está dentro de 0,2 do valor correto de $π$ , enquanto a soma da série de Nilakantha está dentro de 0,002 do valor correto. A série de Nilakantha converge mais rápido e é mais útil para calcular dígitos de $π$ . Séries que convergem ainda mais rapidamente incluem a série de Machin e a série de Chudnovsky, sendo que a segunda produz 14 dígitos decimais por termo.^[83]^[84]

Irracionalidade e transcendência[editar | editar código-fonte]

Nem todos os avanços relacionados a $π$ tinham como objetivo aumentar a precisão das aproximações. Quando Euler resolveu o problema de Basileia em 1735, encontrar o valor exato da soma dos inversos dos quadrados, ele estabeleceu uma conexão entre $π$ e os números primos que posteriormente contribuiu para o desenvolvimento e estudo da função zeta de Riemann:^[89]

{\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots

O cientista suíço Johann Heinrich Lambert provou em 1768 que $π$ é irracional, o que significa que não é igual a nenhuma razão entre dois inteiros. A prova de Lambert explorou uma representação em fração contínua da função tangente.^[90] O matemático francês Adrien-Marie Legendre provou em 1794 que $π 2$ também é irracional. Em 1882, o matemático alemão Ferdinand von Lindemann provou que $π$ é transcendente,^[91] confirmando a conjetura feita por Legendre e Euler.^[92]^[93] Posteriormente, Hilbert, Hurwitz e outros autores modificaram e simplificaram as provas.^[93]

Adoção do símbolo $π$ [editar | editar código-fonte]

O primeiro uso conhecido da letra grega π para representar a razão do comprimento duma circunferência e seu diâmetro foi pelo matemático galês William Jones em 1706.

Leonhard Euler popularizou o uso da letra grega π nas obras que ele publicou em 1736 e 1748.

Nas primeiras utilizações, a letra grega $π$ era usada para denotar o semiperímetro (semiperipheria em latim) de uma circunferência^[8] e era combinada numa razão com $δ$ (para diâmetro ou semidiâmetro) ou $ρ$ (para raio) para formar as constantes da circunferência.^[94]^[95]^[96]^[97] (Até então, matemáticos utilizavam às vezes letras como $c$ ou $p$ .^[98]) A primeira utilização registrada é " $δ . π$ " de Oughtred, para expressar a razão do perímetro e o diâmetro nas edições de 1647 e posteriores de Clavis Mathematicae.^[98]^[99] Semelhantemente, Barrow utilizou " ${\textstyle {\frac {\pi }{\delta }}}$ " para representar a constante $3,14...$ ,^[100] enquanto que Gregory utilizou " ${\textstyle {\frac {\pi }{\rho }}}$ " para representar $6,28...$ ^[96]^[101]

O primeiro uso da letra grega $π$ sozinha para representar a razão do comprimento duma circunferência ao seu diâmetro foi pelo matemático galês William Jones em sua obra de 1706 Synopsis palmariorum matheseos.^[3]^[102] A letra grega aparece na frase " ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}}$ Periphery ( $π$ )" na página 243, calculado para uma circunferência de raio um. No entanto, Jones escreve que sua equações para $π$ são "do verdadeiramente engenhoso Sr. John Machin", levando à especulação de que Machin pode ter empregado a letra grega antes de Jones.^[98] A notação de Jones não foi imediatamente adotada pelos outros matemáticos, com a fração ainda sendo utilizada até 1767.^[94]^[103]

Euler começou a usar uma única letra para a constante a partir do ensaio de 1727 Tentamen explicationis phaenomenorum aeris, por mais que ele utilizou $π = 6,28...$ , a razão do perímetro pelo raio, neste e em algumas escritas posteriores.^[104]^[105] Euler usou $π = 3,14...$ pela primeira vez em sua obra de 1736 Mechanica,^[106], e continuou em sua obra amplamente lida de 1748 Introductio in analysin infinitorum (ele escreveu: "por uma questão de brevidade, escreveremos esse número como $π$ ; assim, $π$ é igual à metade do comprimento duma circunferência de raio $1$ ").^[107] Como Euler se correspondia fortemente com outros matemáticos na Europa, o uso da letra grega se espalhou rapidamente, e a prática foi universalmente adotada posteriormente no mundo ocidental,^[98] embora a definição ainda variasse entre $3,14...$ e $6,28...$ até 1761.^[108]

Busca moderna por mais dígitos[editar | editar código-fonte]

Era da computação e algoritmos iterativos[editar | editar código-fonte]

O algoritmo iterativo de Gauss–Legendre:
Inicie

\textstyle a_{0}=1,\quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}},\quad t_{0}={\frac {1}{4}},\quad p_{0}=1.

Itere

\textstyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}},

\textstyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2},\quad \quad p_{n+1}=2p_{n}.

Então uma estimativa para

π

é dada por

\textstyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.

O desenvolvimento de computadores na metade do século XX revolucionou novamente a busca por dígitos de $π$ . Os matemáticos John Wrench e Levi Smith alcançaram 1 120 dígitos em 1949 usando uma calculadora de mesa.^[109] Usando uma série infinita de arco tangente (arctan), uma equipe liderada por George Reitwiesner and John von Neumann atingiram 2 037 dígitos no mesmo ano com um cálculo que levou 70 horas de tempo de computação no computador ENIAC.^[110]^[111] O recorde, sempre baseado em uma série de arco tangente, foi quebrado repetidamente (3 089 dígitos em 1955,^[112] 7 480 dígitos em 1957; 10 mil dígitos em 1958; 100 mil dígitos em 1961) até que um milhão de dígitos fossem atingidos em 1973.^[110]

Dois desenvolvimentos adicionais por volta de 1980 mais uma vez acelerou a habilidade de computar $π$ . A primeira foi a descoberta de novos métodos iterativos para computar $π$ , que eram muito mais rápidos que séries infinitas; a secunda é a invenção de algoritmos de multiplicação rápidos que poderiam rapidamente calcular grandes números.^[113] Tais algoritmos são particularmente importantes nas computações modernas de $π$ , pois a maioria do tempo dos computadores são voltados à multiplicação.^[114] Eles incluem o algoritmo de Karatsuba, multiplicação de Toom–Cook, e métodos baseados na transformada rápida de Fourier.^[115]

Os algoritmos iterativos foram publicados de forma independente em 1975–1976 pelo físico Eugene Salamin e o cientista Richard Brent.^[116] Isso evita a dependência de séries infinitas. Um algoritmo iterativo repete um cálculo específico, cada iteração usando as saídas das etapas anteriores como entradas, e produz um resultado em cada etapa que converge para o valor desejado. Esta abordagem foi na realidade inventada mais de 160 anos antes, por Carl Friedrich Gauss, no qual agora é denominado o método da média aritmética-geométrica ou algoritmo de Gauss-Legendre.^[116] Conforme foi modificado por Salamin e Brent, também é conhecido como algoritmo Brent-Salamin.

Após 1980 os algoritmos iterativos foram amplamente utilizados, porque eram mais rápidos que os algoritmos por séries infinitas: enquanto uma série infinita tipicamente aumentam o número de dígitos corretos aditivamente em termos sucessivos, os algoritmos iterativos geralmente multiplicam o número de dígitos corretos em cada etapa. Por exemplo, o algoritmo Brent–Salamin dobra o número de dígitos a cada iteração. Em 1984, os irmãos John e Peter Borwein produziram um algoritmo iterativo que quadruplicava o número de dígitos a cada passo; e em 1987 um que aumentava o número de dígitos cinco vezes em cada passo.^[117] Métodos iterativos foram utilizados pelo matemático japonês Yasumasa Kanada para registrar diversos recordes de dígitos de $π$ computados entre 1995 e 2002.^[118] A rápida convergência vem com um preço a ser pago: os algoritmos iterativos requere significantemente mais memória que séries infinitas.^[118]

Motivos para computar $π$ [editar | editar código-fonte]

Para a maioria dos cálculos numéricos envolvendo $π$ , apenas alguns dígitos fornecem precisão suficiente. Conforme Jörg Arndt e Christoph Haenel, 39 dígitos são os suficientes para realizar a maioria dos cálculos cosmológicos, pois esta é a precisão necessária para calcular o comprimento da circunferência do universo observável com uma precisão de um átomo. Contabilizando dígitos adicionais necessários para compensar erro de arredondamento computacional, Arndt conclui que umas poucas centenas de dígitos de $π$ seriam suficientes para qualquer aplicação científica. Apesar disso, pessoas trabalharam vigorosamente para computar milhares e milhões de dígitos.^[119] Este esforço pode ser parcialmente atribuído à compulsão humana de quebrar recordes, e tais conquistas com $π$ costumam ser manchetes em todo o mundo.^[120]^[121] Também há benefícios práticos, como testar supercomputadores, testar algoritmos de análise numérica (incluindo algoritmos de multiplicação de alta precisão); e na própria matemática pura, prover dados para analisar a aleatoriedade dos dígitos de $π$ .^[122]

Séries de rápida convergência[editar | editar código-fonte]

Calculadoras modernas de $π$ não usam exclusivamente algoritmos iterativos. Novas séries infinitas foram descobertas nas décadas de 1980 e 1990 que eram tão rápidas quanto algoritmos iterativos, mas mais simples e utilizando menos memória.^[118] Os algoritmos iterativos rápidos foram antecipados em 1914, quando o matemático indiano Srinivāsa Rāmānujan publicou dezenas de novas fórmulas inovadoras para $π$ , notável pela sua elegância, profundidade matemática e rápida convergência.^[123] Uma de suas fórmulas, baseada nas equações modulares, é

{\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}\left(396^{4k}\right)}}.

Essa série converge muito mais rápido que a maioria das séries de arco tangente, incluindo a fórmula de Machin.^[124] Bill Gosper foi o primeiro a usá-la para avançar no cálculo de $π$ , conseguindo um recorde de 17 milhões de dígitos em 1985.^[125] A fórmula de Ramanujan antecipou os algoritmos modernos desenvolvidos pelos irmãos Borwein (Jonathan e Peter) e os irmãos Chudnovsky [en].^[126] A fórmula de Chudnovsky desenvolvida em 1987 é

{\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {10005}}{4270934400}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!\,k!^{3}(-640320)^{3k}}}.

Ela produz aproximadamente 14 dígitos de $π$ por termo^[127] e tem sido usada para estabelecer diversos recordes de cálculo de $π$ , incluindo o primeiro a bater um bilhão (10⁹) de dígitos em 1989 pelos irmãos Chudnovsky, 10 trilhões (10¹³) de dígitos em 2011 por Alexander Yee e Shigeru Kondo,^[128] e 100 trilhões de dígitos por Emma Haruka Iwao em 2022.^[129] Para fórmulas similares, veja séries de Ramanujan–Sato. expandir

Em 2006, o matemático Simon Plouffe usou o algoritmo PSLQ de relação de inteiros^{[nota 4]} para gerar diversas novas fórmulas para $π$ , conforme a seguinte predefinição:

\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right),

onde $q$ é $e π$ (constante de Gelfond), $k$ é um número ímpar e $a$ , $b$ , $c$ são certos números racionais que Plouffle computou.^[130]

Fora da matemática[editar | editar código-fonte]

Descrever fenômenos físicos[editar | editar código-fonte]

Por mais que não seja uma constante física, $π$ aparece rotineiramente em equações descrevendo princípios fundamentais do universo, geralmente devido à relação de $π$ com a circunferência e ao sistema esférico de coordenadas. Uma fórmula simples do campo da mecânica clássica dá o período $T$ aproximado de um pêndulo simples de comprimento $L$ , balançando com uma pequena amplitude ( $g$ é a aceleração gravitacional da Terra):^[131]

T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}.

Uma das fórmulas-chave da mecânica quântica é o princípio da incerteza de Heisenberg, que mostra que a incerteza da posição de uma partícula ( $Δ x$ ) e momento linear ( $Δ p$ ) não pode ser ambas arbitrariamente pequenas ao mesmo tempo (onde $h$ é a constante de Planck):^[132]

\Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}.

O fato que $π$ é aproximadamente igual a 3 desempenha um importante papel na vida relativamente longa do ortopositrônio. A inversa da vida para a menor ordem da constante de estrutura fina $α$ é^[133]

{\frac {1}{\tau }}=2{\frac {\pi ^{2}-9}{9\pi }}m_{\text{e}}\alpha ^{6},

onde $m e$ é a massa do elétron.

$π$ está presente em algumas fórmulas de engenharia estrutural, como á fórmula de flambagem derivada por Euler, que fornece a carga axial máxima $F$ que uma coluna longa e delgada de comprimento $L$ , módulo de elasticidade $E$ e momento de inércia de área $I$ pode suportar sem flambagem:^[134]

F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}.

O campo da dinâmica dos fluidos contém $π$ na lei de Stokes, que aproxima a força de fricção $F$ exercido em pequenos objetos esféricos de raio $R$ , se movendo com uma velocidade $v$ num fluido com viscosidade dinâmica $η$ :^[135]

F=6\pi \eta Rv.

Em eletromagnetismo, a constante permeabilidade do vácuo μ₀ aparece nas equações de Maxwell, que descrevem as propriedades dos campos elétricos e magnéticos e radiação eletromagnética.^[136] Antes de 20 de maio de 2019, era definido exatamente como^[137]

\mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}{\text{ H/m}}\approx 1.2566370614\ldots \times 10^{-6}{\text{ N/A}}^{2}.

Sob condições ideais (declive uniforme suave em um substrato homogeneamente erodível), a sinuosidade de um rio com diversos meandros se aproxima de $π$ . A sinuosidade é a relação entre o comprimento real e a distância em linha reta da nascente à foz. Correntes mais rápidas ao longo das bordas externas das curvas de um rio causam mais erosão do que ao longo das bordas internas, empurrando assim as curvas ainda mais para fora e, posteriormente, fazendo com que se encontrem. No entanto, quando diferentes partes do rio se encontram, o fluxo de água segue o caminho mais curto, criando um braço morto no processo. O equilíbrio entre esses dois fatores opostos leva a uma relação média de $π$ entre o comprimento real e a distância direta entre a nascente e a foz.^[138]^[139]

Memorizar dígitos[editar | editar código-fonte]

Pifilologia é a prática de memorizar um grande número de dígitos de $π$ .^[140] e recordes mundiais são mantidos pelo Guinness World Records. O recorde de memorizar dígitos de $π$ , certificado pelo Guinness World Records, é de 70 mil dígitos, recitado na Índia por Rajveer Meena em 9 horas e 27 minutos em 21 de março de 2015.^[141] Em 2006, Akira Haraguchi, um engenheiro japonês aposentado, alegou ter recitado cem mil casas decimais, mas a afirmação não foi verificada pelo Guinness World Records.^[142]

Uma técnica comum é memorizar uma história ou poema que a quantidade de letras da palavra representa os dígitos de $π$ : a primeira palavra possui três letras, a segunda uma, a terceira tem quatro, a quarta tem uma, a quinta tem cinco, e assim por diante. Tais auxiliares de memorização são chamados de mnemônicos.

Na cultura popular[editar | editar código-fonte]

Talvez devido à sua simplicidade de sua definição e sua presença onipresente em fórmulas, $π$ se representou na cultura popular mais do que qualquer outra construção matemática.^[143]

No museu científico Palais de la découverte, em Paris, há uma sala circular conhecida como sala do pi. Em suas paredes estão escritos 707 dígitos de $π$ . Os dígitos são grandes caracteres de madeira preso ao teto em forma de cúpula. Os dígitos foram baseados num cálculo de 1873 pelo matemático inglês William Shanks, que inclui um erro no 528.º dígito. O erro foi detectado em 1946 e corrigido em 1949.^[144]^[145]

No romance Contact de 1985 de Carl Sagan é sugerido que o criador do universo enterrou uma mensagem nas profundidades dos dígitos de $π$ . Esta parte da história foi omitida na adaptação em filme do romance.^[146]^[147] Os dígitos de $π$ também foram incorporados nas letras da música "Pi" do álbum Aerial de Kate Bush.^[148] No episódio "Wolf in the Fold" de 1967 de Star Trek, um computador fora de controle foi contido ao ser instruído para "computar o último dígito do valor de $π$ ".^[47]

Nos Estados Unidos, o Dia do Pi cai no doa 14 de março (escrito 3/14 no estilo norte-americano), sendo popular entre os estudantes.^[47] $π$ e sua representação digital é geralmente utilizada por "geeks matemáticos" autoproclamados por piadas internas entre grupos de pessoas interessadas em matemática e tecnologia. Um grito de torcida universitária atribuído variadamente ao Instituto de Tecnologia de Massachusetts (MIT) ou ao Instituto Politécnico Rensselaer inclui "3,14159".^[149]^[150] O Dia do Pi em 2015 foi particularmente significante porque a data e hora 3/14/15 9:26:53 refletia ainda mais dígitos de $π$ .^[151]^[152] Nos locais nos quais as datas são geralmente escritas no formato dia/mês/ano, 22 de julho representa o "Dia da Aproximação de Pi", visto que $22/7 = 3,142857$ .^[153]

Algumas pessoas propuseram que o $π$ fosse substituído por $τ = 2 π$ (expandir volta (geometria)),^[154] argumentando que $τ$ , definido como uma volta ou a razão do comprimento duma circunferência pelo seu raio, é mais natural que $π$ e simplifica diversas fórmulas.^[155]^[156] Este uso de $τ$ não chegou à matemática convencional,^[157] mas isso levou pessoas a comemorarem o Dia do Dois Pi ou Dia do Tau em 28 de junho desde 2010.^[158]

Em 1897, um matemático amador tentou persuadir a legislatura de Indiana para aprovar o projeto de lei de Indiana sobre Pi, que descrevia um método para realizar a quadratura do círculo e continha um texto que implicava vários valores incorretos de $π$ , incluindo 3,2. O projeto de lei é notório como uma tentativa de estabelecer um valor de constante matemática por decreto legislativo. O projeto foi aprovado pela Câmara dos Representantes de Indiana, mas rejeitado pelo Senado e, portanto, não se tornou lei.^[159]^[160]^[161]

Na cultura computacional[editar | editar código-fonte]

Na cibercultura contemporânea, indivíduos e organizações fazem homenagens ao número $π$ . Por exemplo, o cientista computacional Donald Knuth fez que o número da versão do seu programa TeX se aproximasse de $π$ . As versões eram 3, 3.1, 3.14, e assim por diante.^[162] $τ$ foi adicionada a algumas linguagens de programação como uma constante predefinida, como Python^[163] e Rust.^[164]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Notas

↑ Em particular, $π$ é conjeturado um número normal, o que implica um tipo específico de aleatoriedade estatística em seus dígitos em todas as bases.
↑ A inegral precisa que Weierstrass utilizou era $\pi =\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}.$ Remmert 2012, p. 148
↑ O polinômio exibido é os primeiros termos da expansão em série de Taylor da função seno.
↑ PSLQ significa Partial Sum of Least Squares (soma parcial dos mínimos quadrados)

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${\overline {{\tfrac {16}{5}}-{\tfrac {4}{239}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{3}}}-{\tfrac {4}{239^{3}}}}}+{\tfrac {1}{5}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{5}}}-{\tfrac {4}{239^{5}}}}}-,\,\&c.=$
$3.14159, & c. = π$ . This Series (among others for the same purpose, and drawn from the same Principle) I receiv'd from the Excellent Analyst, and my much Esteem'd Friend Mr. John Machin; and by means thereof, Van Ceulen's Number, or that in Art. 64.38. may be Examin'd with all desireable Ease and Dispatch.
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Bibliografia[editar | editar código-fonte]

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Ligações externas[editar | editar código-fonte]

O Commons possui uma categoria com imagens e outros ficheiros sobre $π$

Curiosidades da Matemática - Evolução cronológica do cálculo de pi
pi to 10,000 digits - The University of Utah (em inglês)
Pi, o mais notável símbolo matemático.

[1] Em particular, $π$ é conjeturado um número normal, o que implica um tipo específico de aleatoriedade estatística em seus dígitos em todas as bases.

[14] A inegral precisa que Weierstrass utilizou era $\pi =\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}.$ Remmert 2012, p. 148

[29] O polinômio exibido é os primeiros termos da expansão em série de Taylor da função seno.

[133] PSLQ significa Partial Sum of Least Squares (soma parcial dos mínimos quadrados)

[FOOTNOTEAndrewsAskeyRoy199959-2] Andrews, Askey & Roy 1999, p. 59.

[3] Gupta, R. C. (1992). «On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series». Ganita Bharati (em inglês). 14 (1–4): 68–71

[jones-4] Jones, William (1706). Synopsis Palmariorum Matheseos (em inglês). London: J. Wale. pp. 243, 263. There are various other ways of finding the Lengths, or Areas of particular Curve Lines or Planes, which may very much facilitate the Practice; as for instance, in the Circle, the Diameter is to Circumference as 1 to
${\overline {{\tfrac {16}{5}}-{\tfrac {4}{239}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{3}}}-{\tfrac {4}{239^{3}}}}}+{\tfrac {1}{5}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{5}}}-{\tfrac {4}{239^{5}}}}}-,\,\&c.=$
$3.14159, & c. = π$ . This Series (among others for the same purpose, and drawn from the same Principle) I receiv'd from the Excellent Analyst, and my much Esteem'd Friend Mr. John Machin; and by means thereof, Van Ceulen's Number, or that in Art. 64.38. may be Examin'd with all desireable Ease and Dispatch.
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